广东省湛江市八校2025-2026学年高三上学期8月联考数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广东省湛江市八校2025-2026学年高三上学期8月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数满足，则（

）A．0 B． C．i D．2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．已知向量，，且，则（

）A．6 B． C． D．4．已知直线与圆相交于，两点，则（

）A． B． C． D．5．已知函数的值域为，则的取值范围为（

）A． B．C． D．6．某船在海上从岛（看成质点）出发，沿正北方向行驶10海里，接着沿北偏东的方向行驶10海里，最后沿北偏东的方向行驶10海里到达处，则（

）A．海里 B．海里C．海里 D．海里7．某跳水运动员在10米高的跳台起跳后，其速度（单位：米/秒）与时间（单位：秒）之间的函数关系式为，则该运动员（身高忽略不计）在秒时离水面的高度为（

）A．9.6米 B．9.7米 C．9.8米 D．9.9米8．已知函数的最大值为，最小值为，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8二、多选题9．已知抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，若为等边三角形，则（

）A．点的横坐标为B．直线与轴交点的纵坐标的绝对值为C．直线的斜率为D．若的周长为12，则10．已知圆锥的轴截面为等腰直角三角形，顶点为，底面圆心为，为底面圆的直径，，是底面圆周上异于，的一个动点，下列结论正确的是（

）A．圆锥的侧面积为B．当时，三棱锥的体积最大C．直线与直线夹角的取值范围是D．若二面角的大小为，则的面积为11．已知函数在内的三个零点分别为，则（

）A． B．C． D．三、填空题12．设的内角，，的对边分别是，，，若，则.13．有2位男同学与3位女同学坐在一排参加一个座谈会，若男同学之间不相邻，则有种不同的安排方法.（用数字作答）14．已知，分别为椭圆的上、下顶点，是椭圆上异于，的点，点在坐标平面内，且，，若四边形的面积的最大值为，则.四、解答题15．随着我国人工智能（AI）的突破性发展，近期许多优秀的人工智能（AI）应用软件发布并上线.这些软件凭借强大的创新功能和极具吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广泛的讨论，产生了显著的社会效应.某科技公司新开发了一款人工智能（AI）应用软件，为了测试青年人和中年人对该软件的应用体验是否良好，某机构从中青年用户中随机调查了300人，得到如下列联表：组别应用体验合计良好不良好青年用户中年用户150合计300(1)求出的值，并依据小概率值的独立性检验，请判断这两组不同年龄段的用户对该软件的应用体验是否存在差异；(2)先按应用体验用分层抽样的方法在上述接受调查的青年用户中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人提出进一步改良的建议，求恰有2人的应用体验为不良好的概率.附：，.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816．已知等差数列满足，，数列满足，，.(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)求数列的前项和.17．如图1，在直角梯形中，，，，，，点在上，且.将沿折起，使得平面平面，如图2.(1)求四棱锥的体积；(2)若点在图2中线段上，且，证明：平面.(3)求直线与平面所成角的正弦值.18．在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，记点的轨迹为.(1)求的方程；(2)若直线与曲线交于，两点，与曲线的两条渐近线分别交于，两点，证明：“，为线段的三等分点”的充要条件是“，两点的横坐标之积为”.19．已知函数.(1)求在上的极值；(2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《广东省湛江市八校2025-2026学年高三上学期8月联考数学试题》参考答案题号12345678910答案BDBACDCCACDABD题号11答案BCD1．B【分析】利用复数的乘法运算求解即得.【详解】由，得.故选：B2．D【分析】先化简集合，利用集合的交集运算即可求解.【详解】由，得，，，解得或，又因为，所以.故选：D.3．B【分析】由向量平行的坐标表示，计算即可求解.【详解】因为，，所以，解得.故选：B.4．A【分析】由直线与圆相交时的弦长公式求解即可.【详解】设圆心到直线的距离为，则，所以.故选：A.5．C【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围.【详解】因为的值域为，所以的值域包含，所以，解得.故选：C.6．D【分析】利用向量的加法法则与模长的运算公式求解即可.【详解】该船沿正北方向行驶10海里记为向量，沿北偏东的方向行驶10海里记为向量，沿北偏东的方向行驶10海里记为向量，则，所以海里.故选：D7．C【分析】利用导数的逆运算求出高度与时间的函数即可求解.【详解】设高度与时间的函数关系式为，则，故可设，因为，所以，则该运动员在秒时离水面的高度为米.故选：C.8．C【分析】由题意可得，可求的值.【详解】由，得，函数的定义域为，令，定义域为，定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，所以，则的图象关于点对称，所以.故选：C.9．ACD【分析】依题意画出简图，根据正三角形的性质及抛物线的方程，结合图象逐个分析选项，即可得到正确答案.【详解】解：由题可知∥轴.因为为等边三角形，所以，则点在线段的中垂线上.设的中点为,连接，则.设,,的坐标分别为，，，因为，，所以，所以选项A正确.设直线与轴的交点为，直线与轴的交点为，因为，所以，则.将代入方程，可得，所以得，即,从而，所以选项B错误.因为，所以直线的斜率为，所以选项C正确.若的周长为12，则.因为，所以，解得，所以选项D正确.

或

故选：ACD.10．ABD【分析】A选项，利用圆锥的侧面积公式可判断A；B选项，的面积最大时，三棱锥的体积最大；C选项，设点关于圆心的对称点为，得到为所求角，在中用表示出，结合的取值范围可判断；D选项，取的中点，得，利用勾股定理计算出与的长度，可得的面积.【详解】对于A，由已知可得，，所以，则圆锥的侧面积，A正确.对于B，当时，，此时的面积最大，即三棱锥的体积最大，故B正确.对于C，设点关于圆心的对称点为，则直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即，在等腰三角形中，所以，则，C错误.对于D，可知和都是等腰三角形，取的中点，连接，，可知，，则是二面角的平面角，，可以求得，所以，，，故的面积为，D正确.故选：ABD.11．BCD【分析】利用两角和差的正弦公式化简得，可计算出三个零点判断A，B，利用二倍角公式结合积化和差化简计算可判断C，利用诱导公式结合积化和差公式、二倍角公式计算可判断D.【详解】对于A，B，，令，因为，所以，所以，所以，又，所以，，，解得，，，故A错误，B正确；对于C，，故C正确；对于D，因为，，其中，，.因为，，所以，即，所以，故D正确.故选：BCD.12．5【分析】由正弦定理角化边，即可求解【详解】因为，由正弦定理可得：，又，解得.故答案为：513．72【分析】采用插空法求解.【详解】先排3位女同学，有种方法，再在3位女同学之间形成的4个空位中任选2个安排男同学去坐，有种方法，根据分步乘法计数原理有种不同的安排方法.故答案为：7214．4【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示可得，求出四边形面积关系，结合椭圆的范围求出最大值，进而求出.【详解】在椭圆中，，设，

由，，得，，则，两式相减得，则，而，因此，四边形的面积，当且仅当时取等号，由，，解得，所以.故答案为：415．(1)，存在差异(2)【分析】（1）根据表中已有数据列出方程组，解方程组即可求得；在独立性检验中，先进行零假设，然后将表中数据代入公式计算，最后比较与的大小关系即可得到结论；（2）根据分层抽样比得到这15名青年用户中，应用体验为良好和不良好的人数，结合组合数和古典概型概率计算公式，即可求解.【详解】（1）由已知得青年用户的人数为，则，解得，列联表如下：组别应用体验合计良好不良好青年用户12030150中年用户6090150合计180120300零假设为：这两组不同年龄段的用户对该软件的应用体验不存在差异，根据表中的数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为这两组不同年龄段的用户对该软件的应用体验存在差异，此推断犯错误的概率不大于0.001.（2）由已知得分层抽样比为，则在这15名青年用户中，应用体验为良好的有人，为不良好的有人，所以从中随机抽取3人，恰有2人的应用体验为不良好的概率是.16．(1)，(2)(3)【分析】（1）利用等差数列的性质可求得首项与公差，可求得，由已知可得是等比数列.，计算可求得；（2）利用裂项相消法可求得数列的前项和；（3）利用错位相减法可求得数列的前项和.【详解】（1）由，得.因为，所以，则公差为，所以，所以.因为，所以，则是等比数列.设其公比为，因为，，所以，，则.（2）因为，所以.（3）因为，所以，所以，两式相减得，所以.17．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）过点作，垂足为点，.取的中点，连接.由面面垂直的性质证得平面，并根据题设中的条件结合平面图形的性质求得于，即可求得四棱锥的体积；（2）过点作∥交于点，连接.利用比例相等证得线线平行，进而证得平面平面，即可证得平面；（3）取的中点，连接.以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，设直线与平面所成的角为，求得、平面的法向量，根据公式计算即可得解.【详解】（1）如图，过点作，垂足为点，取的中点，连接.由，可知.又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.由，，得，.在直角梯形中，因为，，所以，，.所以四棱锥的体积为.（2）过点作∥交于点，连接.因为平面，平面，所以平面.因为，所以四边形是平行四边形，则，所以，所以，同理可证平面.因为，所以平面平面.又因为平面，所以平面.（3）取的中点，连接.在中，由，，，可得.因为，所以.以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，由点和的坐标可求得，，所以，，.设平面的法向量为，则取，得.设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18．(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用双曲线的定义求的方程；（2）把直线方程分别与曲线的方程和曲线的渐近线方程联立，利用韦达定理可得与的中点重合，，为线段的三等分点等价于，结合弦长公式证明结论.【详解】（1）因为，所以轨迹是以，分别为左、右焦点的双曲线.设的方程为.由，可得，所以，所以的方程为.（2）证明：设，，，的坐标分别为，，，.由消去得.因为直线与双曲线相交，所以，化简得，所以，.由消去得，所以，，所以，则与的中点重合，所以，为线段的三等分点等价于.又，同理可得，所以，即，所以，显然当时，.故“，为线段的三等分点”的充要条件是“，两点的横坐标之积为”.19．(1)极小值为，极大值为.(2).【分析】（1）利用导函数求得在单调性，进而求得极值；（2）由对于任意的，恒成立，构造函数结合（1）可得在上恒成立，进而分类讨论可求得实数的取值范围.【详解】（1）因为，所以.令，得，解得，，令，得，解得，，所以在上单调递增，