2025年上海市中考数学模拟试卷（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年上海市中考数学模拟试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若实数、满足，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．2．下列方程中，关于的一元二次方程是（

）A． B．C． D．3．下列计算中，正确的是（

）A． B．C． D．4．下列有关统计的说法中，正确的是（

）A．平均数越大，不一定代表样本内各个个体的水平越高B．方差越大，则代表整个样本内个体的差异越小C．在一个群体内进行抽样调查，得到的所有数据都可以类推至整个群体D．当样本内的个体差异极大时，平均数也可以真实反映整个群体的情况5．定义：对于定义域为的函数，若任取在中的实数、（），都有，则称为上的“下阶梯函数”；若，则为“上阶梯函数”，二者统称“阶梯函数”．若函数是定义域为全体实数的“阶梯函数”，且的图像连续不断，则下列说法错误的是（

）A．可以是任意的一次函数B．若对任意实数都有，则是“上阶梯函数”C．若是“下阶梯函数”，则对任意实数、，都有D．若存在实数、使得，则的图像与轴有且只有一个交点6．定义：若在同一个三角形的三边中，一条边是另外两边的比例中项，则称该三角形是关于这条边的“边积三角形”．记的三边长为、、，若且是“边积三角形”，则下列说法错误的是（

）A．、、一定满足B．的取值范围是C．的取值范围是D．事件“是直角三角形”的概率为二、填空题7．﹣8的相反数是．8．函数的定义域为．9．计算：．10．若二次函数的顶点在轴上，则的值为．11．在2025年电影春节档中，电影《哪吒2魔童闹海》大受欢迎，截至2025年2月5日，其总票房已突破90亿人民币．据上海人社局数据，2024年上海市民人均年薪约为14.4万人民币，若《哪吒2魔童闹海》的票房以90亿人民币计，则《哪吒2魔童闹海》的累计票房是2024年上海市民人均年薪的倍（用科学记数法表示）．12．在平行四边形中，，对角线、相交于点O．若要添加一个条件使四边形为正方形，这个条件可以是．13．在一个不透明的盒子里放有大小相同的红球2个，白球2个，甲、乙两人先后从盒中取出1个小球，两人所取球颜色相同的概率为．14．现有一组数据：1，1，5，10，20，17，4，12，1，3，9，13，2，14，1，16．若要用一个统计量来直观表现这组数据的平均水准，则最合适的统计量是（选填平均数、中位数、众数）．15．在中，，将线段绕点旋转度，得到线段，作点关于直线轴对称的点，连接交于点．如果旋转角，那么的长为．16．在函数的学习过程中，图像始终是不可或缺的一部分，它是我们认识一个未知函数的窗口．有些时候，当遇到一些棘手的函数问题时，我们同样可以通过图像法来解决，数形结合是十分重要的一个点，不光是对于考试中应试的重要，更是对于数学学习及未来生活的重要．例：解不等式．解：如图所示，作出函数与的图像．可以发现，直线与抛物线的两个交点的中间部分，抛物线的函数值大于直线的函数值，故而求出两个交点，即可解出此不等式，其解集为．17．在中，，点D是线段AB上一点，且满足，连接，作的平分线交线段于点E．若，则的余弦值为．18．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心作：．若抛物线与⊙O有且只有两个交点，且抛物线不从内部穿过，则的取值范围（用表示）为．三、解答题19．计算：；20．如图，在等边三角形中，点D是边上的一点，连接，以为边作等边三角形（点E落在直线BC的上方），连接．(1)求证：；(2)设，．若，试用与的线性组合表示．21．分段函数，就是对于自变量不同的取值范围，有不同的函数解析式与之对应的函数．如函数就是一个分段函数．现有分段函数．已知该分段函数的图像是连续的，且在给出的这四个二次函数中，其只经过函数图像的顶点．(1)试确定这个分段函数的解析式，并在所给平面直角坐标系中作出其大致图像；(2)若直线与此分段函数的图像有5个不同的交点，请直接写出的取值范围．22．如图是小闵在网上冲浪时看到的一张图片，是一位博主于2025年1月27日在网络上发布的一张搞笑日期图．其中使用了已故篮球明星科比两张身穿8号与24号球衣的图片，通过加、减、乘、除的四则运算，将当日的日期表示了出来．小闵的好友小黄对这张图片非常感兴趣，便与小闵一起展开了对这张图片的探究，请你加入他们．（无恶意，逝者安息）小闵与小黄想要用图片中出现的两个整数8与24来组成日期2月14日，但他们无法完成．(1)请你帮助他们，只用8与24及四则运算符号来表示日期2月14日；小闵与小黄接受了你的指导，很快便完成了．他们随后增加了一条规则：当表示中使用分数时，分子与分母不能够是同一个数．经过对许多日期的尝试，他们都成功了．此时小黄又想到：2月14日这种比较难凑的日子也能凑出来，是不是任意取两个正整数，就可以表示所有的非负有理数呢？小闵说：我觉得是可以的，但是是无限的诶，我枚举不完，这里写不下诶...(2)他们又一次遇到了困难．但小黄的猜想是正确的，请你帮助他证明．23．如图，在正方形中，点、分别是边、上的点，且满足（参考材料：．）(1)设，，求证：；(2)连接交于，交于．求证：．24．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点A、B（点A在点B右侧），交y轴于点C，且满足．(1)用含a与c的代数式表示b；(2)过点C作交抛物线于点D．①若，，求点D的坐标；②连接，以、为边作矩形，连接对角线．若，求b的值．25．如图，点是半圆上的一个动点，连接并以的中点为圆心，为半径作，交线段于点，连接，记与直径除点外的另一个交点为点，连接．(1)求证：点是中点；(2)若，求的值；(3)过点作半圆的切线，交直线于点．若，连接、，求的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年上海市中考数学模拟试卷》参考答案题号123456答案CDDABC1．C【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质判断即可．【详解】解：A、由无法确定是否成立，不符合题意；B、由无法确定是否成立，不符合题意；C、由两边同时乘以3，不等式不变号得到，符合题意；D、由无法确定是否成立，不符合题意．故选：C．2．D【分析】本题考查的是一元二次方程的概念，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的概念判断即可．【详解】解：A．，时不是一元二次方程，不符合题意；B．是分式方程，不符合题意；C．未知数最高次数是3次，不是一元二次方程，不符合题意；D．是一元二次方程，符合题意；故选：D．3．D【分析】本题考查了幂的乘方、合并同类项、因式分解，解题的关键是掌握以上运算法则．根据幂的乘方、合并同类项、因式分解分别计算即可判断求解．【详解】解：、，该选项错误，不合题意；、不是同类项，不能合并，该选项错误，不合题意；、，该选项错误，不合题意；、，该选项正确，符合题意；故选：．4．A【分析】本题考查了平均数，方差，抽样调查等知识点，熟练掌握基本知识点是解题关键；根据平均数，方差，抽样调查的概念逐一进行判断即可．【详解】解：A、平均数反映了一组数据的平均水平，并非平均数大就是各个个体的水平高；故说法正确，符合题意；B、方差越大，则代表整个样本内个体的差异越小；故说法不正确，不符合题意；C、抽样调查需保证样本代表性，若抽样方法不当（如非随机抽样），结论无法推广至群体；故说法不正确，不符合题意；D、个体差异极大时，平均数易受极端值影响，可能无法真实反映群体情况；故说法不正确，不符合题意；故选：A．5．B【分析】本题考查函数的性质，一次函数的性质，根据新定义得到为上的“下阶梯函数”，则随增大而减小；为上的“上阶梯函数”，则随增大而增大，据此求解即可．【详解】解：根据新定义可得：为上的“下阶梯函数”，则随增大而减小；为上的“上阶梯函数”，则随增大而增大；∵函数是定义域为全体实数的“阶梯函数”，且的图像连续不断，∴A、可以是任意的一次函数，选项说法正确，不符合题意；B、当时，由得到，此时是“下阶梯函数”，选项说法错误，符合题意；C、若是“下阶梯函数”，则对任意实数、，都有，，则，选项说法正确，不符合题意；D、若存在实数、使得，则和中一正一负，得到的图像与轴有且只有一个交点，选项说法正确，不符合题意；故选：B．6．C【分析】本题考查了成比例线段、一元二次方程的解法、勾股定理，解决本题的关键是根据“边积三角形”的定义和勾股定理找到三角形各边之间的关系．根据“边积三角形”的定义可得：，根据比例的性质可得：；设，根据三角形三边之间的关系可得：，解得：，根据三角形的三边长度必须是正数，可得：；根据，可得：，，从而可得：；根据勾股定理可知，当是直角三角形时，可得：或与B选项中的结论矛盾，所以不可能是直角三角形．【详解】解：A选项：且是“边积三角形”，，，故A选项正确；B选项：设，则有，，，，，，，是的边，，不等式两边同时除以，可得：，移项得：，令，则二次函数的图象开口向上，当时，可得：，解得：，，当时，成立，又，，当时，，，故B选项正确；C选项：，，，，，，，，整理得：，，故C选项错误；D选项：若是直角三角形，则有，，，，，，整理得：，配方得：，解得：，，与矛盾，不可能是直角三角形，事件“是直角三角形”的概率为，故D选项正确．故选：C．7．8【分析】根据“只有符号不同的两个数互为相反数”求解即可．【详解】解：﹣8的相反数是8，故答案为：8．【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的性质是解题的关键．8．且【分析】本题考查了函数定义域，二次根式的性质、分式的性质，根据二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不能为零求解即可．【详解】解：∵，∴且，解得且，故答案为：且．9．【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键；先利用法则去括号，再合并同类项即可．【详解】，，，，故答案为：．10．13【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，轴上点的坐标特征，先把二次函数的解析式转化为顶点式，求出顶点坐标，再根据轴上点的坐标特征即可求解，利用配方法把二次函数的解析式转化为顶点式求出顶点坐标是解题的关键．【详解】解：∵，∴二次函数的顶点坐标为，∵二次函数的顶点在x轴上，∴，∴．故答案为：13．11．【分析】本题主要考查了科学记数法的运算及同底数幂的除法，熟练掌握科学记数法的表示形式及运算规则是解题的关键．先将票房和人均年薪的单位统一，再用票房除以人均年薪，最后将结果用科学记数法表示．【详解】解：万，亿，，故答案为：．12．或（答案不唯一）【分析】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，由平行四边形中，，得到平行四边形是矩形，再添加菱形有的但矩形没有的性质，例如对角线互相垂直或者一组邻边相等即可得到四边形为正方形．【详解】解：∵平行四边形中，，∴平行四边形是矩形，∴当或时，四边形为正方形，故答案为：或（答案不唯一）．13．【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解题的关键是明确题意，画出相应的树状图、求出相应的概率．列表表示出所有等可能得情况，然后得到两人所取球颜色相同的情况数，然后根据概率公式求解即可．【详解】列表如下：红红白白红（红，红）（白，红）（白，红）红（红，红）（白，红）（白，红）白（红，白）（红，白）（白，白）白（红，白）（红，白）（白，白）由列表可得共有12种等可能的情况，其中所摸球的颜色相同的有4种情况，则所摸球的颜色相同的概率是．故答案为：．14．中位数【分析】本题主要考查了平均数，中位数和众数，平均数受极端值的影响很大，而该组数据中较大的数和较小的数比较多，因此平均数不能很好的表现这组数据的平均水平；众数受个别数据的影响极大，因此众数不能很好的表现这组数据的平均水平，中位数受极端数据的影响比较小，因此中位数能更直观表现这组数据的平均水准．【详解】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，1，1，1，2，3，4，5，9，10，12，13，14，16，17，20，平均数为，众数为1，中位数为，∵这组数据中，较大的数和较小的数比较多，∴平均数受较大和较小的数的影响比较多，并不能很好的反应这组数据的平均水准，∵中位数受极端数据的影响比较小，∴中位数能更直观表现这组数据的平均水准，故答案为：中位数．15．【分析】本题主要考查了旋转的性质、轴对称的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握这些性质并能灵活运用等边三角形的判定及性质是解题的关键．根据旋转和轴对称的性质，得出相关线段和角度的关系，再利用等边三角形的判定及性质得到的长度．【详解】解：∵线段绕点旋转得到线段，∴，．又∵点关于直线轴对称的点是，∴，．∴．∴是等边三角形，∴．故答案为：．16．【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的图象应用，熟练掌握通过函数图象求解不等式解集的方法是解题的关键．先将不等式转化为两个函数相等的方程，求出交点横坐标，再根据函数图象确定不等式的解集．【详解】解：令，解得或，由图象可知，当时，抛物线的函数值大于直线的函数值，所以不等式的解集为．故答案为：．17．【分析】本题主要考查了解直角三角形、全等三角形的判定和性质及角平分线的性质．先证，得出，即可求出的余弦值．【详解】解：如图，设交于F，是的平分线，．，．在和中．．，．．，．故答案为：18．或【分析】本题考查圆的性质、二次函数的图像性质．根据圆和抛物线图像的对称性可知，要满足条件，则，联立圆和抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，则该方程有且仅有一个大于且小于的根，据此即可解答．【详解】解：可化为，它表示动点到定点的距离为定值，即的几何意义是以原点为圆心，为半径的圆，抛物线的图象是关于与x轴垂直的直线对称的，故要使抛物线和圆有且只有两个交点，且抛物线不从内部穿过，则抛物线对称轴为y轴，即，，图像可能是：①

或②

，由得，代入得，即（*），则，则，此时方程（*）的根为，①，解得；②，解得；综上，或．19．【分析】先计算特殊三角函数，负指数幂，零指数幂，分母有理化，再计算二次根式混合运算．【详解】解：【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角三角函数值的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，解题关键是注意运算顺序．20．(1)见解析(2)【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，向量的线性运算；（1）证明得到即可得到；（2）由结合全等可得，则，再根据代入求解即可．【详解】（1）解：∵等边三角形和等边三角形，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：由（1）得，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴，，∴,∴．21．(1)分段函数为，图象见解析(2)【分析】本题考查了画的图象，的图象与性质，抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．（1）依次求出分段函数中相邻两函数的交点坐标，再结合只经过函数图像的顶点求解，然后画了函数图象；（2）结合函数图象，根据函数间的交点求解．【详解】（1）解：如图．，解得：或，即两函数的交点坐标为，，函数的对称轴为，因为只经过函数图像的顶点，所以函数的图象在函数的左边，所以点为它们的交点，且在分段函数上，所以函数必须满足；，解得：或，即两函数的交点坐标为，，因为只经过函数图像的顶点，函数的对称轴为，所以函数在函数的右边，即在及右边，所以此时，，解得：或，即两函数的交点为和，因为只经过函数图像的顶点，所以函数的图象在函数的右边，也在函数的对称轴为右边，所以在的右边，所以此时，综上所述，可画出图象如图，结合分段函数，可得出，，，所以这个分段函数为（2）如图，结合图象，我们知道，当时，有4个不同交点，在点处，也就是时，也有4个不同交点，∵直线与此分段函数的图像有5个不同的交点，∴当时，直线与此分段函数的图像有5个不同的交点．22．(1)2月14日可表示为月日；(2)见解析．【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，熟练掌握有理数四则运算的法则是解题的关键．（1）通过对24和8进行四则运算，找到能分别得到2（对应月份）和14（对应日期）的式子；（2）设出任意两个正整数和任意非负有理数，利用四则运算的规则，推导出非负有理数可用这两个正整数的运算表示．【详解】（1）解：∵，，∴2月14日可表示为月日；（2）证明：设任意两个正整数为，，任意非负有理数，∵，∴任意非负有理数可以用表示（、为任意正整数）．23．(1)见解析；(2)见解析；【分析】（1）通过旋转三角形，将分散的线段和角集中，构造全等三角形，再结合三角函数和角公式推导等式．（2）先证明四点共圆得出直角，得到等腰直角三角形，再证明三角形相似，利用相似三角形性质推导线段关系．【详解】（1）证明：将绕点顺时针旋转，得到．∵旋转，∴，，，．∵，∴，即、、三点共线．∵，，∴．在和中，，∴．∴．∵，，，∴，且，即．根据，令，，则．∵，∴．∴．∴．（2）证明：连接，四边形是正方形，，，且，，点、、、四点共圆，．又，是等腰直角三角形，．同理，．，，．，．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判