专题05 二次函数图象和性质与系数的四类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级上册（原卷版）

1/10专题05二次函数图象和性质与系数的四类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、二次函数中含参数的图像和性质类型二、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题类型三、二次函数图像与各项系数符号问题类型四、二次函数中含参数的综合问题压轴专练类型一、二次函数中含参数的图像和性质1.参数对图象形状与位置的影响：二次项系数a决定开口方向（a>0向上，a<0向下）和宽窄（|a|越大越窄）；一次项系数b和a共同影响对称轴（x=-b2a2.参数与函数性质的关联：结合a、b、c可确定顶点坐标（-b2a，4ac−3.含参问题的常见类型：含参二次函数与坐标轴交点问题（判别式Δ=b²-4ac的应用）、区间最值讨论（需考虑对称轴与区间位置关系）等。例1．在平面直角坐标系中，拋物线经过点，．则下列说法错误的是（

）A．若，抛物线的对称轴为直线B．若且，则的取值范围为或C．若，则抛物线的开口向下D．若，点在该拋物线上，且，则有【变式1-1】已知二次函数，下列结论正确的是（

）A．当时，函数图象的顶点坐标为B．当时，的值随的增大而增大C．当，时，的取值范围是D．当时，的最大值为8，则或【变式1-2】二次函数，有下列结论：①该函数图象过定点；②当时，函数图象与轴无交点；③函数图象的对称轴不可能在轴的右侧；④当时，点，是曲线上两点，若，，则．其中，正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-3】（23-24九年级上·天津河北·期末）已知二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大，则下列结论正确的是（）①当时，随的增大而减小；②若图象经过点，则；③若，是函数图象上的两点，则；④若图象上两点，对一切正数，总有，则．A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④类型二、一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题1.各函数图象特征：一次函数y=kx+b（k≠0）是直线，k定倾斜方向（正增负减），b定与y轴交点；反比例函数y=k/x（k≠0）是双曲线，k正分布一三象限，负分布二四象限；二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）是抛物线，a定开口，对称轴和顶点影响位置。2.参数关联性判断：同一坐标系中多函数共存时，需通过参数符号（如k、a正负）匹配图象位置，排除矛盾情况（如k正的一次函数与k负的反比例函数同存）。3.交点与范围分析：利用函数交点坐标满足多解析式，结合图象高低判断函数值大小关系，辅助验证图象正确性。例2．已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（

）A． B． C． D．【变式2-1】二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的图象大致为（

）A．B．C． D．【变式2-2】若二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B．C． D．【变式2-3】已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A．B．C．D．类型三、二次函数图象与各项系数符号问题1.

单个系数符号判断：a由抛物线开口方向决定（上正下负）；c是抛物线与y轴交点纵坐标（交y轴正半轴为正，负半轴为负）；b的符号需结合对称轴x=-b2a与a的符号判断（对称轴在y轴左，a、b同号；右则异号）。2.

特殊点与系数关系：当x=1时，y=a+b+c，其值正负对应抛物线在(1,y)的位置；x=-1时，y=a-b+c，同理可判断该表达式符号。3.

判别式与交点关系：判别式Δ=b²-4ac的符号决定抛物线与x轴交点个数（Δ>0有两个，=0一个，<0无），间接反映系数间关系。例3．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，有以下结论：①；②；③（m为任意实数）；④若方程的两根为，，且，则，⑤，其中说法正确的有．【变式3-1】（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论正确的是．（填写序号）①；②；③；④当时，；⑤为任意实数，则，⑥若，且，则．【变式3-2】二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（填序号）【变式3-3】二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③若为任意实数，则有；④；⑤若且，则．其中正确结论有类型四、二次函数中含参数的综合问题1.参数对图象与性质的影响：含参二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）中，a、b、c的符号决定开口方向、对称轴位置、顶点坐标及与坐标轴交点，需结合参数分析增减性、最值等。2.分类讨论与转化思想：针对参数取值范围，讨论对称轴与给定区间的位置关系（同侧、异侧），确定区间最值；将含参问题转化为方程（如交点问题）或不等式（如取值范围）求解。3.综合应用与关联知识：常结合一次函数、几何图形（如三角形、四边形面积），利用函数交点坐标、韦达定理及数形结合，解决存在性、最值等综合问题。例4．已知二次函数．(1)求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）．(2)当时，二次函数的最小值为，求此时二次函数的解析式．【变式4-1】已知二次函数，其中．(1)求该二次函数图象的对称轴；(2)若，当时，该二次函数的最大值与最小值的差等于9，求t的值；(3)若，是图象上不同的两点，当时，求m的值．【变式4-2】已知抛物线经过点．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)平移抛物线，使其顶点在直线上，得到抛物线．（ⅰ）若抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，求抛物线的解析式；（ⅱ）若点，在抛物线上，当时，都有，求抛物线顶点纵坐标的最大值．【变式4-3】已知二次函数．(1)若二次函数经过点，①求二次函数解析式；②当时，求的取值范围；(2)若，点、、在二次函数图象上，请比较的大小．一、单选题1．二次函数的图象上有，两点．下列选项正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，2．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（

）A．B．C．D．3．下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中正确的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．44．如图是抛物线的一部分，抛物线的对称轴为直线，有以下5个结论：①；

②；

③；④

⑤，

其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题5．已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则．6．已知点，，在二次函数的图象上，则，，之间的大小关系是（用“”连接）．7．已知抛物线，点，是抛物线上两点，且．（1）抛物线的对称轴为（用含有的式子表示）；（2）当时，始终满足，则的取值范围是．8．如图，已知抛物线图象的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．下列命题中：①；②；③对于任意实数m，都有；④是抛物线上的两个点，若且＞2，则．真命题的序号是．三、解答题9．已知二次函数（是常数且）．(1)若，求出该函数图象的顶点坐标；(2)若该函数图象经过原点，当时，函数的最大值恰好是，求的值．10．在平面直角坐标系中，已知点在二次函数的图象上．(1)若，求二次函数的顶点坐标；(2)若对于，有，求实数的取值范围．11．已知二次函数为常数，且(1)若函数图象过点，求a的值．(2)当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，a的值．12．已知二次函数．(1)若二次函数经过，求二次函数的解析式；(2)当时，函数有最大值为6，求t的值；(3)在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求t的取值范围．13．已知二次函数（）．(1)若函数经过，求二次函数的解析式；(2)若点，点均在函数图象上，求的值；(3)当时，函数最大值