2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 群论与拓扑学在几何中的应用

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——群论与拓扑学在几何中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设G是一个群，a,b∈G，若a²=b²=e且aba=b⁻¹，则a等于（）。（A）b（B）b⁻¹（C）e（D）a⁻¹2.下列集合对给定的运算，哪一个是群？（）（A）整数集Z，运算为普通的加法。（B）非零实数集R\{0}，运算为普通的乘法。（C）2x2实数方阵的全体，运算为矩阵的加法。（D）2x2实数可逆方阵的全体，运算为矩阵的乘法。3.在实数集R上定义映射f(x)=x³，则f是（）。（A）一个从R到R的双射，但不是同态。（B）一个从R到R的同态，但不是双射。（C）一个从R到R的双射，也是同态。（D）既不是同态也不是双射。4.设S是有限集，|S|=n。则S上所有双射的集合，记作Sym(S)，构成的群（关于映射的复合运算）的阶为（）。（A）n（B）n²（C）n!（D）2ⁿ5.下列哪个拓扑空间是紧致的？（）（A）实数集R上的标准拓扑。（B）所有正整数组成的集合，带有离散拓扑。（C）开区间(0,1)，带有标准拓扑。（D）自然数集N，带有标准拓扑。二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分。）6.设G是群，H是G的子群，a∈G。则aH与Ha的交集aHa⁻¹是H的一个______。7.设G是群，a∈G。若aⁿ=e（单位元），且对于所有整数k，aᵏ≠e当且仅当|k|<|n|，则n称为a的______。8.在拓扑学中，一个拓扑空间X是连通的，如果X不能被表示为两个非空、不相交的连通开子集的并集。那么，闭区间[0,1]在标准拓扑下是______的。9.设X和Y是拓扑空间，f:X→Y是一个连续映射。如果Y是紧致的，那么f的像f(X)也是______的。10.网格点集Zⁿ（n维整数空间）在标准拓扑下是一个______（填“紧致”或“非紧致”）空间。三、计算题（本大题共3小题，每小题7分，满分21分。11.设G=<x,y|x³=e,y²=e,yxy⁻¹=x²>。写出G的所有元素，并证明G是阿贝尔群。12.设S={1,2,3}，考虑S上的所有置换构成的群S₃。求S₃中元素(123)的阶，并找出它的所有前n个幂（n≤3）。13.设X=[0,1]∪[2,3]，在X上定义拓扑T={∅,X,[0,1],[2,3]}。证明(X,T)是一个拓扑空间，并判断它是否是紧致的。四、证明题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分。14.设G是群，c∈G是中心。证明：对于任意a,b∈G，有aba⁻¹=bac。15.设X是拓扑空间，A是X的子集。证明：A是X的闭集当且仅当对于任意紧致集K⊆X，交集K∩A也是紧致集。五、应用题（本大题共2小题，每小题12分，满分24分。16.考虑二维平面R²上的刚性运动群SE(2)，它由平移和旋转组成。证明：刚性运动群在圆周S¹上的作用（将圆周上的点绕圆心旋转相同角度）是一个群同态，并找出其同态像。17.设M是拓扑空间，M₁和M₂是M的子空间，且M₁和M₂都是连通的。证明：如果M₁∪M₂是M的闭子集，那么M₁∪M₂也是连通的。---试卷答案一、选择题1.B2.B3.C4.C5.B二、填空题6.子群7.阶8.连通9.紧致10.紧致三、计算题11.答案：元素：e,x,x²,y,xy,x²y。其中e是单位元。证明：首先验证运算封闭性。任取G中两个元素a,b，考虑a和b的生成元形式。由于x³=e,y²=e,yxy⁻¹=x²，可以归纳证明任意有限个生成元的乘积仍在G中。因此运算封闭。验证单位元：e显然在G中，且对于任意g∈G，ge=eg=g。验证逆元：e⁻¹=e。x⁻¹=x²（因为x³=e）。x²⁻¹=x。y⁻¹=y。(xy)⁻¹=yx=y²x²=ex²=x²。同理可证其他元素的逆元存在。验证结合律：群的定义通常隐含结合律，或可通过生成元和定义的关系进行验证，此处略。阿贝尔性：验证任意g,h∈G，gh=hg。可对元素进行分类计算，例如e显然commute。x³=e,y²=e,yxy⁻¹=x²。考虑xy和yx，xy=x(yx)y⁻¹=x(yxy⁻¹)y⁻¹=xx²y⁻¹=xy⁻¹。同理yx=xy。因此xy=yx。同理可证其他元素对的交换性。故G是阿贝尔群。12.答案：阶：元素(123)作用在1上得2，作用在2上得3，作用在3上得1。计算其幂：(123)¹=(123)，(123)²=(132)，(123)³=(1)(2)(3)=e。因此其阶为3。前三个幂：(123)¹=(123)，(123)²=(132)，(123)³=e。13.答案：(1)空集和X显然属于T。(2)对于T中的任意两个开集U,V∈T，U∩V∈T。因为U∈{∅,[0,1],[2,3]}，V∈{∅,[0,1],[2,3]}，所以U∩V∈{∅,[0,1],[2,3]}。T对交运算封闭。(3)对于T中的任意开集U∈T，其补集X\U∈T。若U=∅，则X\U=X∈T。若U=[0,1]，则X\U=[2,3]∈T。若U=[2,3]，则X\U=[0,1]∈T。T对补运算封闭。因此，(X,T)是一个拓扑空间。紧致性：考虑任意开覆盖{Uα}。由于[0,1]和[2,3]都是开集，至少有一个开集包含[0,1]（设为U₀）或[2,3]（设为U₁）。不妨设U₀包含[0,1]。那么{U₀,U₁}已经是X的一个有限子覆盖。因此(X,T)是紧致的。四、证明题14.答案：证明：任取a,b∈G。对任意c∈G，有cac⁻¹∈G（因为G是群）。我们需要证明：对于任意c∈G，有cac⁻¹=b。考虑c=a，则caa⁻¹=a(cac⁻¹)a⁻¹。由中心元的定义，cac⁻¹=cca⁻¹。又因为结合律成立，aca⁻¹=a(cac⁻¹)a⁻¹=a(ba⁻¹)a⁻¹=aba⁻¹。另一方面，由中心元定义，aba⁻¹∈G，且对于任意g∈G，有gag⁻¹=g。特别地，取g=b，有b(aba⁻¹)b⁻¹=b。即(bab⁻¹)a⁻¹=b。由于G是群，可消去a⁻¹，得到bab⁻¹=b。因此，对于任意a,b∈G，有aba⁻¹=bab⁻¹。由上面得到的bab⁻¹=b，所以aba⁻¹=b。也可用另一种方式：要证aba⁻¹=bac。考虑(aba⁻¹)c⁻¹=a(bc)a⁻¹。令g=bc，有aga⁻¹=g。由中心元定义，g=c。即a(bc)a⁻¹=c。展开得到aba⁻¹c=c。因为c是任意元素，可消去c，得到aba⁻¹=c。同样，令h=ac，有ahc⁻¹=h。由中心元定义，h=c。即a(ac)c⁻¹=c。展开得到a²c=c。因为c是任意元素，可消去c，得到a²=e。但这与a任意矛盾。此路不通。更简洁的证明：利用中心元的定义，对任意g∈G，有gag⁻¹=g。将g换为b，得到aba⁻¹=b。证毕。15.答案：证明：“⇒”方向：设A是X的闭集。则对于任意紧致集K⊆X，交集K∩A是K的子集。由于K是紧致的，任何子集都是紧致的（紧致集的子集是紧致的）。因此K∩A是紧致的。“⇐”方向：设对于任意紧致集K⊆X，交集K∩A也是紧致的。要证A是闭集，即要证A的补集X\A是开集。任取x∈X\A。由x不属于A，x与A无公共点。对于包含x的任意开集U⊆X，U与A无公共点（否则x∈U∩A）。考虑紧致集K=U。由条件，K∩A是紧致的。由于K∩A是K的子集，且K∩A是紧致的，所以K∩A是空集（紧致集的闭子集是紧致的，空集是紧致的，且空集是闭集）。因此U∩A=∅。即U⊆X\A。这说明，对于任意x∈X\A，存在开集U包含x且包含于X\A。因此X\A是开集。所以A是闭集。证毕。五、应用题16.答案：证明：SE(2)是二维平面R²上所有刚体运动的全体，包括平移（(x,y)→(x+a,y+b)）和旋转（(x,y)→(x'=xcosθ-ysinθ,y'=xsinθ+ycosθ)）。考虑圆周S¹={(x,y)∈R²|x²+y²=1}。定义SE(2)到S¹的映射φ:SE(2)→S¹，对于SE(2)中的元素g=(T,R)，其中T=(a,b)是平移向量，R是绕原点的旋转矩阵（R形式为[cosθ,-sinθ;sinθ,cosθ]），令φ(g)=R(x,y)=(xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ)，其中(x,y)是S¹上的任意点。首先证明φ是映射：对于SE(2)中的g=(T,R)，φ(g)总是一个S¹上的点，因为R是旋转矩阵，保持长度，所以||R(x)||=||x||=1，且R(x)仍在通过原点的直线上。因此φ(g)∈S¹。其次证明同态性：设g₁=(T₁,R₁),g₂=(T₂,R₂)∈SE(2)。对于S¹上任意点x∈S¹，计算：φ(g₁g₂)(x)=φ((T₁+R₁T₂,R₁R₂))(x)=(R₁R₂)(R₁(x))//先应用g₂的旋转=R₁(R₂(x))//R₁R₂是结合律=φ((T₂,R₂))(x)//定义φ=φ(g₂)(x)。因此φ(g₁g₂)=φ(g₁)φ(g₂)。即φ是SE(2)到S¹的同态。同态像：对于S¹上的点(x,y)∈S¹，考虑SE(2)中的元素g=(T,R)，其中T=(0,0)，R是将x=(1,0)映射到(x,y)的旋转（存在唯一的θ使得(x,y)=(cosθ,sinθ)）。令g=(0,R)。则φ(g)(1,0)=φ((0,R))(1,0)=R(1,0)=(x,y)。因此S¹是φ的同态像。又因为SE(2)包含所有绕原点的旋转，即包含所有形如(0,R)的元素，所以SE(2)在(0,R)上的作用就是绕原点的旋转，其像确实是S¹。故同态像是S¹。17.答案：证明：反证法。假设M₁∪M₂是连通的，但M₁∪M₂不是M的闭子集。那么M₁∪M₂的补集(M₁∪M₂)ᶜ=M\(M₁∪M₂)不是开集。由于M是拓扑空间，(M₁∪M₂)ᶜ的补集M\(M₁∪M₂)=(M\M₁)∩(M\M₂)是M的闭集。所以M\(M₁∪M₂)不是开集，意味着存在x₀∈M\(M₁∪M₂)，使得对于任意包含x₀的开集U⊆M，U∩(M₁∪M₂)≠∅。由于M₁和M₂是连通的，且M₁⊆M,M₂⊆M，考虑M₁和M₂在M中的相对位置。因为M₁∪M₂不是闭集，所以存在点x₀∈M\(M₁∪M₂)。根据上面的条件，x₀不能被完全“隔离”在M₁和M₂之外。设U₁=M₁∩(M\{x₀})，U₂=M₂∩(M\{x₀})。则U₁和U₂都是开集（因为M₁,M₂是M的子集，其相对拓扑的开集交集仍是开集），且U₁∩U₂=(M₁∩M₂)∩(M\{x₀})⊆M₁∩M₂≠∅。同时，U₁∪U₂=(M₁∪M₂)\{x₀}。考虑U₁∪U₂与(M₁∪M₂)的关系：(M₁∪M₂)=