《三角函数的应用(第二课时)》教案

《三角函数的应用（第二课时）》教案教学目标教学目标：1.会用三角函数解决简单的实际问题，会对问题情境和解题思路进行分析；2.体会三角函数模型在刻画周期变化问题的过程中的作用和价值，进一步发展数学运算的素养；3.关注问题解决的完整性，提升数学建模和数学抽象的素养.教学重点：体会三角函数模型在刻画周期变化问题的过程中的作用.教学难点：借助信息技术进行函数拟合.教学过程时间教学环节主要师生活动1min复习回顾直入主题复习回顾：在函数中，对图象的影响.设计意图：为数与形的相互转化做准备.18min范例讲解落实方法例1如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数求这一天时的最大温差；写出这段曲线的函数解析式.解：(1)由图可知，这段时间的最大温差时.（2）由图可知，从时的图象是函数的半个周期的图象，所以因为所以将带入解析式可得综上，所求解析式为设计意图：通过形向数的转化，培养学生的观察能力，分析解决问题的能力.例2海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．（科普关于潮汐的知识）在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．表1是某港口某天的时刻与水深关系的预报．(1)选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值（精确到0.001m）．（２）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5ｍ的安全间隙（船底与洋底的距离），该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？（３）某船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船这一天在2:00开始卸货，吃水深度以0.3m/h的速度减少，如果这条船停止卸货后需0.4h才能驶到深水域，那么该船最好在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域？解：（１）以时间（单位：h）为横坐标，水深（单位：m）为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（图1）．根据图象，可以考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：由,得.所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数近似描述．由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值（表2）：（2）货船需要的安全水深为4+1.5=5.5m，所以当时就可以进港．令得.如图2，在区间内，函数的图象与直线有两个交点，由计算器可得或.解得.由函数周期性可得.因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．（3）设在时货船的安全水深为，那么.在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象，可以看到在68时之间两个函数图象有一个交点（图3）．借助计算工具，用二分法可以求方程即方程的近似解为.从而可得点的坐标约为，因此为了安全，货船最好在6.6时之前停止卸货，将船驶向较深的水域．设计意图：使学生了解解决实际问题的一般方法：收集数据---散点拟合---确立函数---预测判断.思考：如图5.7-6，设，有人认为，由于点是两个图象的交点，说明在时，货船的安全水深正好与港口水深相等，因此在这时停止卸货将船驶向较深水域就可以了．你认为对吗？答：不对.函数图象是通过关键点拟合出来的，与实际情况会有出入，不能保证每一时刻都能完全符合函数图象.为了保证货船能顺利出港，应该提前一段时间出港，避免遇到特殊情况造成损失.设计意图：理论与实际要结合，不能生搬硬套，教条主义.2min归纳总结1．实际问题要合理收集、分析数据；2．通过数据建立散点图进行函数拟合；3.通过拟合的函数进行合理的预测，解决实际问题.结构框图：三角函数模型的解三角函数模型的解实际问题的解三角函数模型实际问题课后篇巩固提升合格考达标练1.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(单位:s)离开平衡位置的位移s1(单位:cm)和s2(单位:cm)分别由s1=5sin2t+π6,s2=10cos2t确定,则当t=2π3s时,s1与s2的大小关系是(A.s1>s2 B.s1<s2C.s1=s2 D.不能确定答案C解析当t=2π3时,s1=5sin4π3+π6=5sin3π2=-5,s2=10cos4π3=10×-122.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ6x+φ+k,据此函数可知,这段时间水深y(单位:m)的最大值为()A.5 B.6 C.8 D.10答案C解析由题意可知当sinπ6x+φ取最小值-1时,函数取最小值ymin=-3+k=2,得k=5,∴y=3sinπ6x+φ+5,当sinπ6x+φ取最大值1时,函数取最大值ymax=3+5=8.3.有一冲击波,其波形为函数y=-sinπx2的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰,则正整数t的最小值是(A.5 B.6 C.7 D.8答案C解析由y=-sinπx2的图象知,要使在区间[0,t]上至少有2个波峰,必须使区间[0,t]的长度不小于2T-T4=7T4,即t≥4.(2021天津河西高一期末)如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π),则在6≤x≤14时这段曲线的函数解析式是.(不要求写定义域)

答案y=10sinπ8x+3π4+解析由图可知,A=12×(30-10)=10,T=2×(14-6)=16,b=20,∴ω=2∵点(10,20)在函数的图象上,∴10sinπ8×10+φ+20=20,即sin5π4+φ=0,则5π4+φ=2kπ,k∈Z,φ=2kπ-5π4,k∵|φ|<π,则φ=3π4.则这段曲线的函数解析式是y=10sinπ8x+3π45.某地一天0~24时的气温y(单位:℃)与时间t(单位:h)的关系满足函数y=6sinπ12t-2π3+20(t∈答案14解析因为0≤t≤24,所以-2π3≤π12t-2π3≤4π3,故当π12t-2π3=-π6.如图所示,某动物种群数量1月1日最低为700,7月1日最高为900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.(1)求出种群数量y关于时间t的函数解析式;(其中t以年初以来的月为计量单位)(2)估计当年3月1日动物种群数量.解(1)设种群数量y关于t的解析式为y=Asin(ωt+φ)+bA>0,ω>0,|φ|≤π2,则-A解得A=100,b=800.周期T=2×(6-0)=12,∴ω=2π∴y=100sinπ6t+φ+800.又当t=6时,y=900,∴900=100sinπ6×6+φ+800,∴sin(π+φ)=1,∴sinφ=-1,∴φ=-π2,即y=100sinπ6t-π2+800(2)当t=2时,y=100sinπ6×2-π2+800=750,即当年3月1日动物种群数量约是750.等级考提升练7.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sint2(0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分,t的单位是分,则下列时间段中,车流量增加的是(A.[0,5] B.[5,10]C.[10,15] D.[15,20]答案C解析当10≤t≤15时,有32π<5≤t2≤152<52π,此时F(t)=50+4sin8.(2021北京海淀高一校级月考)在图中,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3cm,周期为3s,且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时,则物体对平衡位置的位移x(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式为()A.x=32sin2π3t-π2 B.x=3sinC.x=32sin3t+π2 D.x=3sin2π3t+π答案D解析设位移x关于时间t的函数为x=f(t)=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),则A=3,周期T=2πω=3,故ω=2π3,由题意可知当t=0时,f(t)取得最大值3,故3sinφ=3,故φ=π2+2kπ,k∈Z,当k=0时,φ=π2,x=3sin2π39.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在区间[0,π]上的图象大致为()答案C解析由题意可得f(x)=12sin2x,x∈0,π2,-12sin2x,x10.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针针尖位置P(x,y),若初始位置为P032,12,当秒针从P0(注:此时t=0)正常开始走时,点P的纵坐标y与时间t(单位:s)的函数关系为A.y=sinπ30t+π6 C.y=sin-π30t+π6答案C解析设y=sin(ωt+φ),其中ω<0.由2π|ω|=60,得|∴ω=-π30.∴y=sin-又当t=0时,y=12,∴φ=π∴y=sin-π11.(多选题)如图所示是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是()A.该质点的运动周期为0.8sB.该质点的振幅为5cmC.该质点在0.1s和0.5s时运动速度最大D.该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零答案ABD解析由图可得,半个周期为0.4s,所以周期为0.8s,A正确;平衡位置为x轴,最低点纵坐标是-5,故振幅为5cm,B正确;当质点位于最高点或最低点时速度为零,故C错误,D正确.12.(2021江苏无锡高一期末)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用(如图).假设在水流稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车,在匀速转动过程中,筒车上一盛水筒M距离水面的高度H(单位:米)与转动时间t(单位:秒)满足函数关系式H=2sinπ60t+φ+54,φ∈0,π2,且t=0时,盛水筒M与水面距离为2.25米,当筒车转动100秒后,盛水筒M与水面距离为米.

答案0.25解析∵H=2sinπ60t+φ+54,φ∈0,π2,当t=0时,H=2sinφ+54=2.25,则sinφ=1∵φ∈0,π2,∴φ=π6.故H=2sinπ60t+π6+54.∴当t=100时,盛水筒M与水面距离为H=2sinπ60×100+π6+54=2×-12+54=0.25(米13.生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型.下表中给出了在24小时期间人的体温的典型变化(从夜间零点开始计时).时间/时024681012温度/℃36.836.736.636.736.83737.2时间/时141618202224温度/℃37.337.437.337.23736.8(1)作出这些数据的散点图;(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据;(3)作出(2)中所选函数的图象.解(1)散点图如下:(2)设t时的体温y=Asin(ωt+φ)+C,则C=37.4+36.62=37,A=37.4-37=0.4,ω=2πT=2π24=π12.由0.4sinπ12×16+φ+37故可用函数y=0.4sinπ12t-5(3)图象如下:新情境创新练14.为迎接夏季旅游旺季的到来,某景区单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈,景区的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系;(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物?解(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知这个函数的周期是12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;由③可知,f(x)在区间[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.根据上述分析可得,2πω故ω=π6,