湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题 含解析

襄阳四中2024级高二上学期10月月考数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合

题目要求的.

2izi2022

1.若复数z满足，则z的虚部为（）

1111

A.iB.C.iD.

5555

【答案】D

【解析】

【分析】先根据虚数单位i的周期性求出i2022的值，再通过复数除法运算求出z，最后根据共轭复数和虚部

的概念，即可确定z的虚部.

12i2i2i

【详解】由2izi2022i45052i21，则z，

2i2i2i555

211

所以zi，故z的虚部为.

555

故选：D

2.李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1只，从兔窝中每次摸取1只，有放回地摸取3次，则3次摸

取的颜色各．不．相．同．的概率为（）

1212

A.B.C.D.

9933

【答案】B

【解析】

【分析】结合分步乘法计数原理，利用古典概型概率公式求解概率即可.

【详解】每次摸取有3种颜色选择，有放回地摸取3次，

根据分步乘法计数原理，总基本事件数为33327，

3次摸取的颜色各不相同，即从3种颜色中选3种排列，

第1次有3种选择，第2次不能与第1次相同有2种选择，第3次不能与前两次相同有1种选择，

62

符合条件的事件数为3216，所以所求概率为.

279

故选：B.

3.直线xcos3y20的倾斜角范围是

55

A.,,B.0,,

622666

55

C.0,D.,

666

【答案】B

【解析】

33

【分析】由题意，设直线的倾斜角为，根据直线方程，求得tan，即可求解.

33

【详解】由题意，设直线的倾斜角为

cos33

直线xcos3y20的斜率为k[,]，

333

335

即tan，又由[0,)，所以0,,，

3366

故选B.

【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线的斜率与倾斜角的关系的应用，着重考查了推理与运

算能力，属于基础题.

4.若平面的法向量为u1,2,4，平面的法向量为vm,1,2，直线l的方向向量为

tn,2,4，则（）

A.若//，则m1B.若l，则n2

C.若n20，则l//D.若m10，则

【答案】D

【解析】

【分析】根据面面平行则法向量共线计算可判断A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量

共线计算可判断B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断C；根

据法向量垂直则面面垂直可判断D.

m121

【详解】对于A，由//，得u//，则，解得m，故A错误；

1242

n24

对于B，由l，得t//u，则，解得n1，故B错误；

124

对于C，由n20，得t20,2,4,tu204160,tu，则l//或l，故C错误；

对于D，由m10，得v10,1,2,uv10280,uv，则，故D正确.

故选：D.

5.公元前300年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四面体、正六面体、正八面

体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体.公元前200年，阿基米德把这5种正多面体进行截角操作（即

切掉每个顶点），发现了5种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，但各个面却不完全相同，如

图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足球截面体的棱数为（）

A.60B.90C.120D.180

【答案】B

【解析】

【分析】先分析得出正二十面体的面、顶点以及棱的个数，进而结合图象得出足球截面体各个面的性质，

即可得出答案.

【详解】易知正二十面体有20个面，每个面都是三角形，每个顶点都是5条棱的交点，每条棱都是两个面

的公共边，

320320

所以，正二十面体的棱数为30，顶点的个数为12.

25

由图象可知，正二十面体的每个顶点截角后为一个正五边形，即每个顶点处增加了5条棱；

原来的30条棱数量不变，所以，足球截面体的棱数为1253090.

故选：B.

6.已知某比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为xii1,2,3,4,5，平均数为x，随机删去其任一轮的

成绩，得到一组新数据，记为yii1,2,3,4，平均数为y，对新数据和原数据，下面说法正确的是（）

A.两组数据的极差不可能相等

B.两组数据的中位数不可能相等

C.若xy，则两组数据的方差不可能相等

D.若xy，两组数据的第60百分位数可能相等

【答案】C

【解析】

【分析】根据极差、中位数、方差、百分位数的求法，通过举反例或对计算公式、所得数据的分析判断各

项的正误.

【详解】A，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，此时新数据的极差等于原数据的极

差，A错误；

1

B，不妨设xxxxx，当xxx时，若随机删去的成绩是x，此时新数据的中位数等

1234522433

于原数据的中位数，B错误；

C，若xy，即删去的数据恰为平均数，根据方差的计算公式，分子不变，分母变小，此时方差会变大，

C正确;

D，在按从小到大的顺序排列的5个数据中560%3，

xx

此时原数据的60%分位数为第三个数和第四个数的平均数，即34，

2

删去一个数据后的4个数据，按从小到大的顺序排列，可得460%2.4，

xx

此时新数据的60%分位数为第三个数，即x或x，而xx，则x34x，

3434324

显然新数据的60%分位数不等于原数据的60%分位数，D错误．

故选：C

2222

7.已知圆C1：xy4和圆C2：x2y24，若点Pa,b(a0,b0)在两圆的公共弦

19

上，则的最小值为（）

ab

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】

【分析】由两圆方程可得公共弦方程xy2，由点在弦上有ab2，进而利用基本不等式求最小值即

可.

2222

【详解】圆C1：xy4和圆C2：x2y24两个方程相减，即可得到两圆的公共弦：

xy2，

又点Pa，b(a0，b0)在两圆的公共弦上，即ab2，

19119

则ab

ab2ab

1b9a1b9a1b9a

105528，

2ab2ab2ab

1319

(当且仅当b3a，即a，b时等号成立)，即的最小值为8.

22ab

故选：D.

8.如图，在直角VABC中，AB3，AC3，点P是边AB上异于端点的一点，光线从点P出发经BC,CA

边反射后又回到点P，若光线QR经过VABC的重心，则PQR的面积等于（）

5432

A.B.C.D.

6543

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意建立直角坐标系，结合光的反射原理，依次求出点P关于直线BC，y轴的对称点P1,P2，

并由P1,Q,R,P2四点共线，即可得到直线QR的方程，进而解出点Q,R的坐标并求得线段QR的长度，再

运用点到直线的距离公式求得点P到直线QR的距离，最后代入三角形的面积公式即可得解.

【详解】根据题意，以点A为原点，以AB，AC分别为x轴，y轴建立直角坐标系，

则B3,0,C0,3，所以直线BC的方程为xy30，VABC的重心为1,1.

设点Pa,0，其中0<a<3，则点P关于直线BC的对称点P1x,y，

ax0y

30

22x3

满足，解得，即P3,3a，

y0y3a1

11

xa

y的

易得点P关于轴对称点P2a,0，由光的反射原理可知P1,Q,R,P2四点共线，

3a03a3a

直线QR的斜率k，所以直线QR的方程为yxa，

3a3a3a

3a

由于直线QR经过VABC的重心1,1，代入得11a，

3a

化简得a1或a0（舍去），故点P1,0，点P13,2，点P21,0，

1

直线QR的方程为yx1，即x2y10，

2

5

x

xy30354

联立，解得，即点Q,，

x2y10433

y

3

x0

x2y101

联立，解得1，即点R0,，

x0y2

2

22

54155

所以QR0，

3326

1201225

又点P到直线QR的距离为，

122255

所以155255.

S△

PQR2656

故选：A.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.下列四个命题中正确的是（）

A.过点10,10且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线的方程为x2y100

r

B.向量a4,3是直线3x4y30的一个方向向量

25

C.若直线l1:x2y10与l2:2xay20平行，则l1与l2的距离为

5

圆22与圆22有两条公切线

D.C1:xy2x10C2:x2y416

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据点的坐标设出直线方程，求截距，列出方程组求解判断A，根据直线方向向量的概念判断B，

利用两平行线间的距离公式判断C，根据圆与圆的位置关系判断D.

【详解】选项A：由题意可知直线斜率存在且不为0，设直线方程为y10kx10，

10

令x0解得y10k10，令y0解得x10，

k

因为该直线在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，

101

所以10210k10，解得k1或k，

k2

所以直线方程为yx或x2y100，A错误；

33

选项B：直线3x4y30的斜率为，方向向量为1,0，当4时，方向向量为4,3，

44

B正确；

选项C：因为直线l1:x2y10与l2:2xay20平行，所以a4，

由l1:x2y10得2x4y20，

22425

则直线与直线之间的距离d，正确；

2x4y202x4y202C

224255

选项：由题意圆22圆心为，半径，

DC1:x1y11C11,0r111

圆22圆心为，半径，

C2:x2y416C22,4r24

因为22，，

C1C221405r2r1C1C2r2r1

所以两圆相交，有且仅有两条公切线，D正确；

故选：BCD

10.在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动.他位于河东岸，在靠

近河岸不远处有一小湖，他于点A处测得河对岸点B位于点A的南偏西45的方向上，由于受到地势的限

制，他又选了点C，D，E，使点B，C，D共线，点B位于点D的正西方向上，点C位于点D的正东

方向上，测得CDCE100m，BAD75，AEC120，AE200m，并经过计算得到如下数

据，则其中正确的是（）

A.AD200mB.△ADC的面积为10003m2

C.AB1006mD.点A在点C的北偏西30方向上

【答案】AC

【解析】

【分析】利用正余弦定理解三角形逐一求解即可；

对于A，先求出ADB60，ADC120，B45，再根据AC2AE2CE22AECEcos120，

AC2CD2AD22ADCDcos120，即可判断；

对于B，根据三角形的面积公式求解即可，即可判断；

ABAD

对于C，在△ABD中，由正弦定理，即可判断；

sinADBinsB

对于D，过点A作AGBC于点G，易知DAG30，即可判断．

【详解】对于A，因为BAD75，点B位于点A的南偏西45的方向上，

所以B45，ADB60，ADC120，

又AECADC120，CDCE100m，ACAC，AE200m，

在△AEC，△ADC中，AC2AE2CE22AECEcos120，AC2CD2AD22ADCDcos120，

所以ADAE200m，故A正确；

113

对于B，△ADC的面积为ADCDsinADC20010050003m2，故B错误；

222

ABAD

对于C，在△ABD中，由正弦定理，得，解得

sinADBsinB

3

200

ADsinADB

AB21006m，故C正确；

sinB2

2

对于D，过点A作AGBC于点G，易知DAG30，所以CAG30，故D错误，

故选：AC．

11.如图，圆锥VAB内有一个内切球O，AB为底面圆O1的直径，球O与母线VA，VB分别切于点C，D.

若VAB是边长为2的等边三角形，MN为底面圆O1的一条直径（MN与AB不重合），则下列说法正确

的是（）

4π

A.球O的表面积为

3

B.圆锥VAB的侧面积为4π

3

C.四面体CDMN的体积的取值范围是0,

6

D.若P为球面和圆锥侧面的交线上一点，则PMPN的最大值为22

【答案】ACD

【解析】

3

【分析】A选项，正VAB内切圆即为球O的截面大圆，又正VAB的边长为2，求出球O的半径r，

3

得到球的表面积；B选项，利用圆锥侧面积公式进行求解；C选项，四面体CDMN被平面VAB截成体积相

等的两部分，设M到平面VAB的距离为d0d1，求出正三角形CO1D的边长和面积，求出

33

V2Vd0,；D选项，动点P的轨迹是圆，可得PO1MO1NO11，故PMPN，

CDMNMCDO1

66

因此PM2PN24，由均值不等式得到PMPN22，故D正确.

【详解】A选项，连接VO1，等边三角形VAB内切圆即为球O的截面大圆，球心O在线段VO1上，

又等边三角形的边长为，所以，，

VAB2AO11VO13

3

则球O的半径rOOAOtan30，

113

14π

所以球O的表面积S4πr24π，故A正确；

33

B选项，圆锥的侧面积Sπ122π，故B错误；

C选项，由题意可得四面体CDMN被平面VAB截成体积相等的两部分，

设M到平面VAB的距离为d0d1，

3

球O的半径rOO，三角形CO1D为等边三角形，设其边长为m，

13

m2323

则2r，故msin601，

sin6033

123

故三角形CO1D的面积为1sin60，

24

11333

即V2V2Sd2dd0,，故C正确；

CDMNMCDO1CO1D

33466

D选项，依题意，动点P的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为E，

1113

CD1，故C，D是边AV，BV的中点，可得EPO1B，EOVO，

221212

222，

O1PEO1EP1

则有PO1MO1NO11，故PMO1MPO1,PNO1NPO1，

π

又PMOMPOPNONPOπ，故MPONPO，

1111112

即PMPN，因此PM2PN2MN24，

PMPNPM2PN2

由均值不等式，得2，即PMPN22，

22

当且仅当PMPN时取“”，故D正确.

故选：ACD

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知A2,5，B4,1两点到直线xmy20的距离相等，则m_____.

3

【答案】1或

2

【解析】

【分析】利用点到直线的距离公式进行求解即可.

【详解】因为A2,5，B4,1两点到直线xmy20的距离相等，

25m24m2

5m6m5m6m

所以有22或5m6m，

12m12m

3

解得m1或m.

2

3

故答案为：1或

2

13.如图，在VABC中，已知AB2,AC5,BAC60,BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P，

则MPN的余弦值为__________.

【答案】491

91

【解析】

【分析】利用平面向量的加减法运算和数量积的运算律求解即可.

11

【详解】由题可得，AM(ABAC),BNACAB，

22

ABACABACcos605，

1112121

所以AMBNABACACABABACABAC

22244

251

253，

44

1122139

AMABACABAC2ABAC42510，

2222

112221

BNACABACABACAB，

242

AMBN3491

cosMPNcosAM,BN

所以392191，

AMBN

22

491

故答案为:.

91

14.在东京奥运会乒乓球男子单打决赛中，中国选手马龙战胜队友樊振东，夺得冠军．乒乓球决赛采用7局

4胜制．在决胜局的比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10∶10

2

平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在决胜局比赛中，马龙发球时马龙得分的概率为，

3

1

樊振东发球时马龙得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10∶10平后，马龙先发球，则双方战至

2

13:11的概率为__________．

1

【答案】##0.25

4

【解析】

【分析】分析双方战至13:11时后四局的具体过程，结合独立事件概率乘法公式和互斥事件的概率加法公

式求概率可得结论.

【详解】记甲为马龙，乙为樊振东，在比分为10:10后甲先发球的情况下，

甲以13:11赢下此局分两种情况：

21211

①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为：P.

132329

11211

②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为，P，

2323218

乙以13:11赢下此局分两种情况：

11111

③后四球胜方依次为乙甲乙乙，概率为：P

3323236

21111

④后四球胜方依次为甲乙乙乙，概率为，P

4323218

11111

所以，所求事件概率为PP+PP.

123491836184

1

故答案为：.

4

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平

台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类

直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直

播商家进行问询交流．

（1）应抽取小吃类商家多少家？

（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：

元），所得频率直方图如图②所示．

①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数；

②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．

【答案】（1）28家（2）①487.5元；②280

【解析】

【分析】（1）根据分层抽样的定义结合图①求解即可；

（2）①先根据频率和为1求出a，然后列方程求解第75百分位数，②根据频率分布直方图求出平均均日

利润超过480元的频率，然后乘以1000可得答案.

【小问1详解】

根据分层抽样知：应抽取小吃类80130%15%10%5%5%28家；

【小问2详解】

①根据题意可得0.00232a0.006501，解得a0.004，

设75百分位数为x，

因为0.0020.0040.006500.60.75，0.0020.0040.0060.004500.80.75，

所以x4500.0040.60.75，解得x487.5，

所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元．

500480

②0.0040.0020.002501000280，

50

所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280．

22

16.已知圆C：x1y14．

（1）过点P3,2向圆C作切线l，求切线l的方程；

（2）若Q为直线m：3x4y80上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求QM的最小值．

【答案】（1）x3或5x12y90

（2）5

【解析】

【分析】（1）按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等

于半径求得参数值；

（2）确定直线与圆相离，由切线长公式QC最小即可，只要求得圆心到直线的距离（为最小值）即可得

切线长的最小值．

【小问1详解】

若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为x3．

若切线l的斜率存在，设切线l的方程为y2kx3，即kxy3k20．

2k35

因为直线l与圆C相切，所以圆心C1,1到l的距离为2，即2，解得k，

k2112

5

所以切线l的方程为y2x3，即5x12y90．

12

综上，切线l的方程为x3或5x12y90．

【小问2详解】

348

圆心C到直线m的距离为32，直线m与圆C相离，

32(4)2

22

因为QMQC4，所以当QC最小时，QM有最小值．

348

当QCm时，QC最小，最小值为3，

3242

所以QM的最小值为3245．

在三棱柱中，已知，，点在底面的投影是线段

17.ABCA1B1C1ABACAA15BC4A1ABCBC

的中点O.

（1）证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的长；

（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的正弦值.

5

【答案】（1）AE

5

70

（2）

10

【解析】

5

【分析】（1）利用线面垂直性质以及线面垂直判定定理证明可得结论，再利用三角形相似可得AE；

5

（2）建立空间直角坐标系分别求得两平面的法向量，利用面面角的向量求法计算可得结果.

【小问1详解】

证明：连接AO，在AOA1中，作OEAA1于点E；

因为AA1//BB1，可得OEBB1，

又因为A1O平面ABC，BC平面ABC，所以A1OBC；

因为ABAC,OBOC可得AOBC，

又AOA1OO，AO,A1O平面AA1O，所以BC平面AA1O；

因为OE平面AA1O，所以OEBC，

而BB1BCB，BB1,BC平面BB1C1C，可得OE平面BB1C1C；

易知22，，又△∽，

AOABBO1AA15AEOAOA1

AEAOAO25

可得，即AE；

AOAA1AA15

5

即在侧棱AA1上存在一点E，使得OE平面BB1C1C，且AE；

5

【小问2详解】

由（1）可知OA,OB,OA1两两垂直，

以O为坐标原点，分别以OA,OB,OA1所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：

则A1,0,0,B0,2,0,C0,2,0,A10,0,2，

11242

由AEAA1,0,，可得E点的坐标为,0,；

55555

42

由（1）的平面BB1C1C的一个法向量为OE,0,，

55

又

AB1,2,0,A1C0,2,2

r

设平面A1B1C的一个法向量为nx,y,z，

ABnx2y0

则，令y1，可得x2,z1；

A1Cn2y2z0

可得n2,1,1即为平面A1B1C的一个法向量，

设平面A1B1C与平面BB1C1C的夹角为，

6

OEn

530

因此可得coscosOE,n，

OEn2510

6

5

2

3070

所以平面ABC与平面BBCC夹角的正弦值为2

1111sin1cos1.

1010

sin2AsinAsinB

18.在VABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1.

cos2Bcos2C

（1）若c3，ab6，求边AB上的角平分线CD长；

3CFAF

（2）若VABC为锐角三角形，点F为VABC的垂心，CF6，求的取值范围.

BF

2

【答案】（1）

2

1

（2）,1

2

【解析】

【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出C；利用余弦定理求出ab，再由

等面积法计算可得答案；

π

（2）延长AF交BC于M，延长BF交AC于E，设BCF,0,，分别求出AF、BF，再根

3

据三角恒等变换化，结合正切函数的性质即可得解.

【小问1详解】

sin2AsinAsinB

因为1，cos2B1sin2B,cos2C1sin2C，

cos2Bcos2C

所以sin2AsinAsinBsin2Csin2B，

由正弦定理得a2abc2b2，即a2b2c2ab，

a2b2c21π

由余弦定理得cosC，因为C0,π，所以C；

2ab23

12

又因为c3，ab6，所以c2a2b22abab3ab，

2

22

即363ab，解得ab1，设AB边上的角平分线CD长为x，

11C1C

则SabsinCaxsinbxsin

ABC22222

1Cππ

abxsin，即absinabxsin，

2236

3622

即x，解得x，即AB边上的角平分线CD长为；

2222

【小问2详解】

π

延长AF交BC于M，延长BF交AC于E，设BCF,0,，

3

π

所以ACF，在RtCMF中MFCFsin6sin，

3

πππ

在CEB中，ECB，BEC，所以EBC，

326

MF

BF12sin

在RtBMF中π，

sin

6

π

同理可得在RtAEF中AF2EF12sin，所以

3

πππ

6312sin32sincoscossin

3CFAF

333

BF12sin2sin

33cossin31cos1

2sin2sin2

23sin2

131

2tan，

4sincos2222

22

ππ3

因为0,，所以0,，所以tan0,，

32623

3113CFAF1

所以tan,1，即的取值范围为,1.

2222BF2

19.在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d.对于点P和

图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，

则称点P为图形W的“关联点”.

（1）如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为0,3，点C的坐标为4,3，求出d的值.在点

，，，中，哪些点为矩形的关联点？

P11,0P22,8P33,1P421,2AOBC“”

（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中点D的坐标为1,1.若直线yxb上存在点P