2025年大学《数理基础科学》专业题库- 图论与网络优化的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——图论与网络优化的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设G=(V,E)是一个无向图，其中V={v1,v2,v3,v4,v5}，E={(v1,v2),(v1,v3),(v2,v3),(v2,v4),(v3,v4),(v4,v5)}。请回答：1.写出图G的度数序列。2.图G是树吗？请说明理由。3.如果图G是连通图，请给出从v1到v5的一条路径。二、简要解释什么是欧拉图，并说明一个无向图具备什么条件才是欧拉图。请判断下列说法是否正确，并说明理由：“如果一个无向连通图是欧拉图，那么它的任何一条边删除后，所得图仍然有欧拉回路。”三、给定一个有向图G=(V,E)，其中V={a,b,c,d,e}，E={(a,b),(a,c),(b,d),(c,d),(d,e),(e,a)}。请：1.画出该有向图（无需严格按比例，能体现顶点和边的连接关系即可）。2.判断该有向图是否存在拓扑排序，若存在，请给出一个拓扑排序序列。四、设有一个带权无向图G=(V,E)，其中V={A,B,C,D,E}，E={(A,B,3),(A,C,6),(B,C,1),(B,D,5),(C,D,2),(D,E,4),(C,E,7)}，权代表边长度。请使用Prim算法（用贪心选择基准）求图G的一棵最小生成树，要求写出每一步选择的边以及当前构成的最小生成树的边集。五、在一个通信网络中，有6个节点（记为A,B,C,D,E,F），需要铺设光缆连接这些节点。已知节点间的潜在连接及其建设成本（单位：万元）如下表所示（表中“∞”表示该节点对之间不直接连接，成本视为无穷大）：```ABCDEFA04∞3∞∞B401∞5∞C∞102∞6D3∞202∞E∞5∞201F∞∞6∞10```请使用Dijkstra算法求从节点A到其他所有节点的最短路径及其长度。六、考虑一个网络流问题：有4个顶点构成的容量网络G=(V,E,C,s,t)，其中V={s,a,b,t}，源点s，汇点t，容量函数C:E->R定义如下（括号内为容量）：*(s,a,10)*(s,b,5)*(a,b,2)*(a,t,8)*(b,t,7)请使用Ford-Fulkerson算法（采用增广路径上剩余容量最小的策略）求该网络的最大流量，并给出流量分布方案。需要展示至少两次增广过程。试卷答案一、1.度数序列为：2,3,3,3,2。2.图G不是树。理由：图G中存在环，例如(v2,v3,v2)或(v1,v2,v4,v3,v2)。3.从v1到v5的一条路径可以是：v1,v2,v4,v5。二、欧拉图：一个无向图，如果存在一条经过其所有边恰好一次的回路，则称该图为欧拉图。无向连通图是欧拉图的条件：该图是连通的，且所有顶点的度数均为偶数。该说法不正确。理由：无向连通图是欧拉图，删除其一条边后，所得图可能不再是连通图，不满足欧拉图的所有边必须访问一次的条件。三、1.（此处应有图，顶点a,b,c,d,e，边按题目给定的方向连接：a->b,a->c,b->d,c->d,d->e,e->a。）2.该有向图存在拓扑排序。一个拓扑排序序列可以是：a,b,c,d,e。（其他有效的拓扑排序序列还包括：a,c,b,d,e；a,c,d,b,e等。）四、使用Prim算法求最小生成树（贪心选择最小边，并保证不形成环）：初始化：U={A},T={}。选择与A最短的边(A,B,3)，U={A,B},T={(A,B,3)}。选择与U({A,B})最短的边(B,C,1)，U={A,B,C},T={(A,B,3),(B,C,1)}。选择与U({A,B,C})最短的边(C,D,2)，U={A,B,C,D},T={(A,B,3),(B,C,1),(C,D,2)}。选择与U({A,B,C,D})最短的边(B,D,5)不是跨集边，跳过。选择与U({A,B,C,D})最短的边(D,E,2)，U={A,B,C,D,E},T={(A,B,3),(B,C,1),(C,D,2),(D,E,2)}。所有顶点已加入U，算法结束。最小生成树的边集为{(A,B,3),(B,C,1),(C,D,2),(D,E,2)}。（总权值：8）五、使用Dijkstra算法求从A到其他点的最短路径（假设使用邻接矩阵表示，初始化d[A]=0,d[B]=d[C]=d[D]=d[E]=d[F]=∞,前驱π[i]初始化为NULL）：初始化：S={},d={A:0,B:4,C:∞,D:3,E:∞,F:∞},π={A:NULL,B:A,C:NULL,D:A,E:NULL,F:NULL}。1.未在S中的顶点中，d[B]=4最小。A->B。S={A},U={B}。更新：d[C]=min(∞,d[B]+1)=5,d[D]=min(3,d[B]+∞)=3,d[E]=min(∞,d[B]+5)=9,d[F]=min(∞,d[B]+∞)=∞。π={A:NULL,B:A,C:B,D:A,E:B,F:NULL}。2.未在S中的顶点中，d[D]=3最小。A->D。S={A,D},U={B,C,E,F}。更新：d[C]=min(5,d[D]+2)=7,d[E]=min(9,d[D]+2)=11,d[F]=min(∞,d[D]+∞)=∞。π={A:NULL,B:A,C:D,D:A,E:D,F:NULL}。3.未在S中的顶点中，d[C]=7最小。A->C。S={A,D,C},U={B,E,F}。更新：d[B]=min(4,d[C]+1)=4(已小于原值),d[E]=min(11,d[C]+∞)=11,d[F]=min(∞,d[C]+6)=13。π={A:NULL,B:A,C:D,D:A,E:C,F:D}。4.未在S中的顶点中，d[B]=4最小。A->B。S={A,D,C,B},U={E,F}。更新：d[E]=min(11,d[B]+5)=11(已小于原值),d[F]=min(13,d[B]+∞)=13。π={A:NULL,B:A,C:D,D:A,E:C,F:D}。5.未在S中的顶点中，d[E]=11最小。A->E。S={A,D,C,B,E},U={F}。更新：d[F]=min(13,d[E]+1)=14。π={A:NULL,B:A,C:D,D:A,E:C,F:E}。6.所有顶点已在S中，算法结束。结果：*A到A的最短路径：长度0。路径：A。*A到B的最短路径：长度4。路径：A->B。*A到C的最短路径：长度7。路径：A->C。*A到D的最短路径：长度3。路径：A->D。*A到E的最短路径：长度11。路径：A->C->E。*A到F的最短路径：长度14。路径：A->D->E->F。六、使用Ford-Fulkerson算法（增广路径上剩余容量最小，即瓶颈容量）：初始流量f=0，流量分布为0。第一次增广：找增广路径s->a->t(路径上的残量网络边：s,a(10),a,t(8))。瓶颈容量min(10,8)=8。沿路径增广，增加流量8。新流量分布：f(s,a)=8,f(a,t)=8。其他流量为0。当前总流量f=8。第二次增广：找增广路径s->a->b->t(路径上的残量网络边：s,a(2),b,t(7))。瓶颈容量min(剩余容量s,a=2,剩余容量a,b=2,剩余容量b,t=7)=2。沿路径增广，增加流量2。新流量分布：f(s,a)=8,f(a,