2025年大学《数理基础科学》专业题库- 偏微分方程在生态学中的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——偏微分方程在生态学中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、简述热传导方程$\frac{\partialu}{\partialt}=D\frac{\partial^2u}{\partialx^2}$中各符号的物理意义，并说明其适用的生态学场景。二、推导一维无限域上热传导方程$\frac{\partialu}{\partialt}=D\frac{\partial^2u}{\partialx^2}$满足初始条件$u(x,0)=f(x)$的解的表达式（用积分形式表示）。三、考虑一个二维地域内种群的扩散，其动态由反应-扩散方程$\frac{\partialu}{\partialt}=D_1\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+D_2\frac{\partial^2u}{\partialy^2}+ru(1-\frac{u}{K})$描述，其中$u(x,y,t)$为种群密度，$D_1,D_2$为扩散系数，$r$为内禀增长率，$K$为环境容量。说明该方程中非线性项$ru(1-\frac{u}{K})$的生态学意义。四、在一个有限区间$[0,L]$上，考虑一个单种群的反应-扩散方程$\frac{\partialu}{\partialt}=D\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+ru(1-\frac{u}{K})$，假设其边界条件为$u(0,t)=u(L,t)=0$（齐次Dirichlet边界条件），初始条件为$u(x,0)=f(x)$。简述如何利用分离变量法求解该定解问题（写出分离变量假设、得到的常微分方程及其特征值问题，以及齐次边界条件对解形式的影响）。五、设$\frac{\partialu}{\partialt}=\frac{\partial^2u}{\partialx^2}$在$x\in\mathbb{R}$,$t>0$上有解$u(x,t)$，且$u(x,t)$满足初始条件$u(x,0)=e^{-x^2}$。试计算$u(0,t)$的值。六、描述Lotka-Volterra捕食者-猎物模型的反应-扩散形式，并解释其中波前（wavefront）现象的生态学意义。七、将一个一维热传导方程$\frac{\partialu}{\partialt}=\alpha\frac{\partial^2u}{\partialx^2}$的解$u(x,t)$进行傅里叶变换，得到$U(k,t)$。请写出傅里叶变换和逆变换的公式，并说明$U(k,t)$的物理意义。八、对于反应-扩散方程$\frac{\partialu}{\partialt}=D\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+ru(1-\frac{u}{K})$，讨论当扩散系数$D$很小时，解的行为可能与仅考虑反应项（即扩散项被忽略）的方程解的行为有何不同？请从数学和生物学角度进行简要分析。九、考虑一个描述两种竞争性植物物种在二维空间内生长的模型：$\frac{\partialu}{\partialt}=D_1\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+r_1u(1-\frac{u+\alphau}{K_1})$，$\frac{\partialv}{\partialt}=D_2\frac{\partial^2v}{\partialx^2}+r_2v(1-\frac{v+\betav}{K_2})$，其中$u,v$分别代表两种物种的密度，$r_1,r_2$为内禀增长率，$K_1,K_2$为环境容量，$\alpha$和$\beta$为竞争系数。解释参数$\alpha$和$\beta$的生态学含义，并分析当$\alpha>1$且$\beta>1$时，可能出现的竞争结果。试卷答案一、热传导方程$\frac{\partialu}{\partialt}=D\frac{\partial^2u}{\partialx^2}$中，$u(x,t)$表示位置$x$处时间$t$的温度（或其他扩散量，如物质浓度、种群密度）；$t$表示时间；$x$表示空间坐标；$D$表示扩散系数，反映物质（或热量）在空间中的扩散能力。该方程适用于描述在空间上不均匀的种群（或其他扩散物质）由于扩散作用趋向均匀分布的过程，例如种群的扩散、污染物的扩散等。二、采用傅里叶变换法求解。对$u(x,t)$作傅里叶变换，设$\mathcal{F}[u(x,t)](k)=\hat{u}(k,t)$，则$$\mathcal{F}\left[\frac{\partialu}{\partialt}\right]=ik\hat{u}(k,t),\quad\mathcal{F}\left[\frac{\partial^2u}{\partialx^2}\right]=-k^2\hat{u}(k,t)$$代入原方程并利用线性性质，得到$$ik\hat{u}(k,t)=-Dk^2\hat{u}(k,t)$$解得$\hat{u}(k,t)=C(k)e^{-Dk^2t}$，其中$C(k)$为常数。由初始条件$\mathcal{F}[u(x,0)](k)=\hat{u}(k,0)=\mathcal{F}[f(x)](k)$，得$C(k)=\mathcal{F}[f(x)](k)$。因此，$\hat{u}(k,t)=\mathcal{F}[f(x)](k)e^{-Dk^2t}$。最后，对$\hat{u}(k,t)$进行逆傅里叶变换，得到$$u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}[f(x)](k)e^{-Dk^2t}e^{ikx}\,dk$$利用卷积定理，上式可写为$$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\piDt}}\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4Dt}}\,d\xi$$这就是所求的解。该解表示无限域上的热传导过程是初始分布$f(x)$以$\frac{1}{\sqrt{4\piDt}}$为权重函数的平滑扩散。三、该方程中$ru(1-\frac{u}{K})$项描述了种群的内禀增长率和环境容纳量的影响。$ru$代表了在资源无限、没有竞争的理想情况下的指数增长部分。$(1-\frac{u}{K})$是一个调节项，当种群密度$u$接近环境容量$K$时，该项趋近于零，增长速率减慢。因此，这一非线性项整体上描述了一个S型（逻辑斯蒂）增长曲线，反映了种群在有限环境中的增长动态。四、1.假设方程的解可以分离变量，即$u(x,t)=X(x)T(t)$。2.代入原方程，得到$\frac{1}{T}\frac{dT}{dt}=D\frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2}+r\frac{XT}{K}$。3.将上式两边同除以$XT$，得到$\frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2}+\frac{r}{D}\frac{1}{T}\frac{dT}{dt}=-\lambda$，其中$-\lambda$是分离变量引入的分离常数。4.得到两个常微分方程：*对$X(x)$：$\frac{d^2X}{dx^2}+\lambdaX=0$，边界条件$X(0)=X(L)=0$。*对$T(t)$：$\frac{dT}{dt}+\lambdaDT=-\frac{r}{K}X(x)T(t)$。由于$X(x)$和$T(t)$是独立的，此方程可改写为$\frac{dT}{dt}+\lambdaDT=0$。5.求解$X(x)$的常微分方程。特征方程为$r^2+\lambda=0$，解为$r=\pmi\sqrt{\lambda}$。通解为$X(x)=A\cos(\sqrt{\lambda}x)+B\sin(\sqrt{\lambda}x)$。6.应用边界条件$X(0)=0$，得$A=0$。因此$X(x)=B\sin(\sqrt{\lambda}x)$。7.应用第二个边界条件$X(L)=0$，得$B\sin(\sqrt{\lambda}L)=0$。由于$B\neq0$（否则解恒为零，无意义），必有$\sin(\sqrt{\lambda}L)=0$。解得$\sqrt{\lambda}L=n\pi$，$n=1,2,3,\dots$。8.对应的特征值为$\lambda_n=\frac{n^2\pi^2}{L^2}$，$n=1,2,3,\dots$。9.对应的特征函数为$X_n(x)=\sin\left(\frac{n\pix}{L}\right)$。10.求解$T(t)$的常微分方程。该方程是齐次的，其通解为$T_n(t)=C_ne^{-\lambda_nDt}=C_ne^{-\frac{n^2\pi^2D}{L^2}t}$。11.将$X_n(x)$和$T_n(t)$代入假设的解形式，得到对应于特征值$\lambda_n$和特征函数$X_n(x)$的特解为$u_n(x,t)=C_n\sin\left(\frac{n\pix}{L}\right)e^{-\frac{n^2\pi^2D}{L^2}t}$。12.由于原方程是线性的，其通解是所有特解的线性组合：$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}C_n\sin\left(\frac{n\pix}{L}\right)e^{-\frac{n^2\pi^2D}{L^2}t}$$13.利用初始条件$u(x,0)=f(x)$，得到$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}C_n\sin\left(\frac{n\pix}{L}\right)$。这是$f(x)$在$[0,L]$上的正弦级数展开。14.由傅里叶系数公式，$C_n=\frac{2}{L}\int_0^Lf(x)\sin\left(\frac{n\pix}{L}\right)dx$。15.最终定解问题的解为：$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{L}\int_0^Lf(\xi)\sin\left(\frac{n\pi\xi}{L}\right)d\xi\right)\sin\left(\frac{n\pix}{L}\right)e^{-\frac{n^2\pi^2D}{L^2}t}$$五、方法一：直接套用无限域热传导方程解的公式。$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\piDt}}\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4Dt}}\,d\xi$。要求$u(0,t)$，将$x=0$代入：$$u(0,t)=\frac{1}{\sqrt{4\piDt}}\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)e^{-\frac{\xi^2}{4Dt}}\,d\xi$$由于$f(\xi)=e^{-\xi^2}$，代入上式：$$u(0,t)=\frac{1}{\sqrt{4\piDt}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\xi^2}e^{-\frac{\xi^2}{4Dt}}\,d\xi=\frac{1}{\sqrt{4\piDt}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\xi^2\left(1+\frac{1}{4Dt}\right)}\,d\xi$$令$a=1+\frac{1}{4Dt}$，则$$u(0,t)=\frac{1}{\sqrt{4\piDt}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a\xi^2}\,d\xi$$利用高斯积分公式$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a\xi^2}\,d\xi=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$，其中$a>0$：$$u(0,t)=\frac{1}{\sqrt{4\piDt}}\sqrt{\frac{\pi}{1+\frac{1}{4Dt}}}=\frac{1}{\sqrt{4\piDt}}\sqrt{\frac{\pi\cdot4Dt}{4Dt+1}}=\frac{1}{\sqrt{4\piDt}}\cdot\frac{2\sqrt{Dt}}{\sqrt{4Dt+1}}$$$$u(0,t)=\frac{2\sqrt{Dt}}{2\sqrt{\piDt(4Dt+1)}}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{\sqrt{Dt}}{\sqrt{4Dt+1}}$$方法二：利用对称性。由于初始条件$f(x)=e^{-x^2}$是关于$x=0$对称的偶函数，且热传导方程是线性、齐次的，其解也保持偶函数性质。因此，$u(x,t)$也是偶函数，即$u(x,t)=u(-x,t)$。所以$u(0,t)=\lim_{x\to0}u(x,t)$。考虑解的表达式$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\piDt}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\xi^2}e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4Dt}}\,d\xi$。由于$e^{-\xi^2}$和$e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4Dt}}$均为偶函数，故被积函数为偶函数。因此，积分区间可对称关于零点折叠，积分值不变。当$x=0$时，被积函数变为$e^{-\xi^2}e^{-\frac{\xi^2}{4Dt}}=e^{-\xi^2(1+\frac{1}{4Dt})}$。于是$$u(0,t)=\frac{2}{\sqrt{4\piDt}}\int_0^{\infty}e^{-\xi^2(1+\frac{1}{4Dt})}\,d\xi$$令$a=1+\frac{1}{4Dt}$，$\eta=\xi\sqrt{a}$，则$d\xi=\frac{d\eta}{\sqrt{a}}$。当$\xi\in[0,\infty)$时，$\eta\in[0,\infty)$。代入得$$u(0,t)=\frac{2}{\sqrt{4\piDt}}\int_0^{\infty}e^{-\eta^2}\frac{d\eta}{\sqrt{a}}=\frac{2}{\sqrt{4\piDt}\sqrt{a}}\int_0^{\infty}e^{-\eta^2}\,d\eta$$利用$\int_0^{\infty}e^{-\eta^2}\,d\eta=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$，得$$u(0,t)=\frac{2}{\sqrt{4\piDt}\sqrt{1+\frac{1}{4Dt}}}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{4\piDt}\sqrt{1+\frac{1}{4Dt}}}=\frac{1}{\sqrt{4\piDt}}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{1+\frac{1}{4Dt}}}$$$$u(0,t)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{\sqrt{\pi\cdot4Dt}}{\sqrt{(4Dt+1)}}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{2\sqrt{Dt}}{\sqrt{4Dt+1}}$$两种方法结果一致。六、Lotka-Volterra捕食者-猎物模型的反应-扩散形式通常写作：$$\frac{\partialu}{\partialt}=D_u\frac{\partial^2u}{\partialx^2}-r_uu\left(1-\frac{u}{K_u}\right)-auv$$$$\frac{\partialv}{\partialt}=D_v\frac{\partial^2v}{\partialx^2}-r_vv\left(1-\frac{v}{K_v}\right)+auv$$其中$u(x,t)$是猎物密度，$v(x,t)$是捕食者密度，$D_u,D_v$分别是猎物和捕食者的扩散系数，$r_u,K_u$和$r_v,K_v$分别是猎物和捕食者的内禀增长率和环境容量，$a$是捕食率（或攻击率）。波前现象是指在这个模型中，当捕食者种群$v$在空间上扩散并遇到猎物种群$u$时，可能会形成一个移动的界面或“波前”，在这个界面上捕食者密度$v$从接近零迅速增加到一个非零水平，而猎物密度$u$则可能经历剧烈的下降。这个波前通常以一定的速度向猎物密度较高的区域移动。其生态学意义可以解释为：当捕食者种群扩散到新的区域遇到丰富的猎物种群时，捕食者迅速繁殖，大量捕食猎物，导致猎物种群在该区域迅速衰退，形成一个捕食者主导、猎物稀疏的移动前沿。这个前沿代表了捕食者种群的扩张和猎物种群的压力区域。波前的速度和形态取决于扩散系数、增长参数和相互作用强度等模型参数。七、1.傅里叶变换公式：$$\mathcal{F}[u(x,t)](k)=\hat{u}(k,t)=\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)e^{-ikx}\,dx$$2.逆傅里叶变换公式：$$u(x,t)=\mathcal{F}^{-1}[\hat{u}(k,t)](x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{u}(k,t)e^{ikx}\,dk$$3.物理意义：$U(k,t)$是$u(x,t)$在频率域（波数域）的表示。它描述了空间分布函数$u(x,t)$中包含的各种不同空间频率（或波长）成分的强度（振幅的平方乘以因子$\frac{1}{2\pi}$）和相位。通过傅里叶变换，可以将求解复杂空间分布的偏微分方程（如热传导或扩散方程）转化为在频率域中更容易处理的常微分方程（关于时间$t$）。解出频率域解$\hat{u}(k,t)$后，再通过逆傅里叶变换，可以恢复时空中实际的分布函数$u(x,t)$。八、当扩散系数$D$很小时，空间变异在种群动态中变得不重要，种群行为主要由内部的反应项（增长和密度制约）决定。1.数学上：*方程$\frac{\partialu}{\partialt}=D\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+ru(1-\frac{u}{K})$中，如果$D\ll1$，那么$\frac{\partial^2u}{\partialx^2}$这一项相对于$ru(1-\frac{u}{K})$可能很小或可以忽略。*因此，在$D$很小的情况下，方程近似为$\frac{\partialu}{\partialt}\approxru(1-\frac{u}{K})$，即近似为经典的Logistic增长模型。*其解是时间$t$的函数，空间分布趋向于均匀，因为小的$D$导致空间扩散缓慢，种群难以在空间上分散以避免密度制约。2.生物学上：*$D$很小意味着种群的扩散能力很弱，种群个体倾向于留在原地或只在很小的范围内移动。