2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学在电力系统中的应用

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学在电力系统中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、1.说明牛顿-拉夫逊法潮流计算中，为什么需要迭代求解？在迭代过程中，如何判断收敛？2.在电力系统状态方程描述的动态系统中，特征值的物理意义是什么？它们如何帮助我们判断系统的稳定性？二、某电力系统简化为如下网络拓扑和参数（单位：标幺值）：```mermaidgraphTDA[发电机G]-->B(S断路器);B-->C[负荷L1];B-->D(S断路器);D-->E[负荷L2];E-->F(S断路器);F-->A;A--Xd=0.3--B;B--Xb=0.1--C;D--Xb=0.1--E;F--Xb=0.1--A;```假设在节点C处发生瞬时短路，随后切除（断路器B和D动作），试用戴维南定理计算短路瞬间和切除后的节点A的电压变化过程（简化为代数方程描述）。说明所列方程中数学模型的含义。三、考虑一个包含n个发电机的简单电力系统，目标是最小化总发电成本，同时满足系统的功率平衡。设第i个发电机的成本函数为\(C_i(P_i)=a_i+b_iP_i+c_iP_i^2\)，系统总负荷为\(P_{\text{D}}\)。写出该优化问题的数学模型（包括目标函数和约束条件）。四、电力系统的可靠性通常用期望缺供电量（EENS）来评估。假设某负荷点的负荷服从均值为50MW的正态分布，标准差为10MW；供电能力为60MW，其中10MW为备用容量。试用概率统计知识，估算该负荷点发生缺供电的频率以及EENS的近似值。说明所使用数学工具的依据。五、在电力系统小干扰稳定性分析中，常用的特征值方法是求解系统状态方程\(\dot{x}=Ax\)的特征值。设某系统的状态矩阵A的特征值为\(-0.02\pmj1.5i\)，\(-0.05\)，\(-0.03\pmj0.2i\)。分析该系统的稳定性，并解释特征值的实部和虚部所代表的物理意义。六、为了评估某关键输电线路对电力系统暂态稳定性的影响，需要进行暂态稳定性计算。简要描述如何利用微分方程建立输电线路的数学模型，并说明求解该模型通常涉及哪些数学方法和计算步骤。在求解过程中，如何判断系统是否失步？七、电力市场中的电力出清是一个典型的优化问题。假设某个时段内，系统有若干发电资源和负荷需求，发电成本不同，负荷需求随机。请简述如何建立该问题的数学优化模型，并说明在模型中如何体现发电成本、负荷需求和随机性这三个要素。如果采用线性规划模型，其可能存在的局限性是什么？试卷答案一、1.牛顿-拉夫逊法基于泰勒级数展开，将非线性方程组线性化。由于潮流方程是非线性的，每次迭代只能得到一个近似解，且该解是否接近真实解未知，因此需要重复迭代，逐步逼近真实解。收敛判断通常依据连续两次迭代结果的绝对差或相对差是否小于预设的容差阈值。2.状态方程描述的系统动态特性由其系数矩阵A的特征值决定。特征值的实部表示系统各modes的阻尼情况，实部为负表示对应mode是不稳定的振荡或衰减过程；实部为正表示对应mode是稳定的衰减过程。特征值的虚部表示对应modes的振荡频率。所有特征值的实部为正，则系统小干扰稳定；若存在特征值实部为负，则系统不稳定。二、短路前，系统可视为一个简单的闭环回路，节点A、B、C、D、E、F电位相同（设为零）。短路瞬间（S断路器断开），节点C电位突然变为零。此时，节点A通过B-C段（阻抗为Xb）与节点C（电位0）相连。计算节点A电压变化过程，即求节点A相对于地（电位0）的电压。短路后（B、D断路器断开），形成两个独立的回路：A-B-C-A和A-D-E-F-A。节点A的电压由这两个回路的电流和阻抗决定。数学模型：利用基尔霍夫定律或节点电压法建立描述各节点电压（或电流）的代数方程组。戴维南定理可将复杂电路等效为简单电路，简化计算。具体方程需根据详细参数和假设列出。三、目标函数：最小化总发电成本，即\(\min\sum_{i=1}^n(a_i+b_iP_i+c_iP_i^2)\)。约束条件：1.功率平衡：发电总功率等于负荷加网络损耗。\(\sum_{i=1}^nP_i=P_{\text{D}}+P_{\text{L}}\)，其中\(P_{\text{L}}\)为网络损耗，可表示为\(P_{\text{L}}=\text{某些关于}P_i\text{的函数}\)。2.发电约束：每个发电机出力有上下限。\(P_{\text{min},i}\leqP_i\leqP_{\text{max},i}\)。3.负荷约束：负荷需求必须得到满足。\(P_i\geq0\)（通常隐含）。四、缺供电发生当负荷超过供电能力。供电能力为60MW，备用10MW，净供电能力50MW。负荷超出的概率即缺供电频率。负荷\(P\simN(50,10^2)\)。缺供电事件为\(P>60\)。频率近似为\(P(P>60)=P\left(Z>\frac{60-50}{10}\right)=P(Z>1)\)。查标准正态分布表，\(P(Z>1)\approx0.1587\)。EENS估算：EENS=缺供电频率\(\times\)平均缺供电量。平均缺供电量近似为负荷均值与供电能力之差，即\(50-50=0\)MW（此为近似，更精确需积分计算缺供电期望值）。若考虑备用不足情况，需重新计算。依据：正态分布概率计算。五、分析：所有特征值实部均为负（-0.02,-0.05,-0.03），因此系统在小干扰下是稳定的。物理意义：*实部：表示系统modes的衰减速率。越负，衰减越快，模式越稳定。*虚部：表示系统modes的振荡频率。绝对值越大，振荡频率越高。六、数学模型：输电线路可以用数学方程（如RLC传输线方程，或更简单的π型/T型等效电路的微分/差分方程）来描述电压和电流随时间和空间的传播。微分方程描述电压电流的瞬时变化关系。求解方法：通常采用数值积分方法（如龙格-库塔法）求解状态方程。需要将线路模型方程转化为系统状态方程形式。判断失步：如果在计算过程中，系统状态变量（如发电机功角）偏离期望轨迹（如同步运行点），且无法恢复，则判断系统失步。通常观察功角差是否持续增大。七、数学模型：通常建立为线性规划（若成本和需求近似线性）或混合整数非线性规划（更精确）。目标函数为总成本（发电成本+惩罚成本等）最小化。决策变量为各发电机出力、负荷分配等。约束条件包括：功率平衡、发电机出力上下限、负荷需求满足、网络传输限制（可用线性化或近似表示）、物理规律约束（如非负）。要素体