2025-2026学年北京市海淀区北京理工大学附中高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年北京市海淀区北京理工大学附中高二上学期10月月考数学试卷一、单选题：本题共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列说法正确的是(

)A.平行于同一直线的两个平面平行 B.平行于同一平面的两条直线平行

C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一直线的两个平面平行2.下列四个命题中为真命题的是(

)A.已知A,B,C,D,E是空间中任意五点，则AB+BC+CD+DE+EA=0

B.若向量AB，CD满足AB=CD.3.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，下列结论中正确的是(

)A.若直线m⊥平面α，m//β； B.若平面γ⊥平面α，则γ//β；

C.若平面γ⊥直线l，则γ⊥β； D.若直线m⊥直线l，则m⊥β．4.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2ABB.A1D1//平面AD.BD15.如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是棱A1BA.A，A1，C，C1共面 B.E∈平面ACF

C.AE，CF，BB1交于同一点 6.已知平面α，β，直线l⊂α，直线m⊂β，l//β，则“l//m”是“m//α”的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.现有一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面EE1F1F与各棱的交点分别为其所在棱的中点，则图甲中水面的高度为A.3 B.2 C.338.《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著．其中卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体PQ−ABCD，下底面ABCD是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心O，PQ//AB，AB=4，AD=3，PQ=2，OR=1(长度单位：丈).则楔体PQ−ABCD的体积为(体积单位：立方丈)(

)

A.10 B.8 C.6 D.59.已知平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为45∘，30∘，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′，B′，则A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.4:310.已知矩形ABCD，AB=2，BC=22，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，(

)A.存在某个位置，使得直线BD与直线AC垂直

B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C.存在某个位置，使得直线BC与直线AD垂直

D.对任意位置，三对直线“AC与BD”“CD与AB”“AD与BC”均不垂直11.如图所示，甲站在水库底面α上的点A处，乙站在水坝斜面β上的点B处，从A，B到直线l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为6米和8米，CD的长为21米，AB的长为23米，则水库底面与水坝斜面所成二面角的余弦值为(

)

A.18 B.−12 C.1二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。12.一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积

13.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为

．14.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为

．15.在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA，VB，VC两两垂直，VA=VB=VC=1(单位：dm)，小明同学计划通过侧面VAC内任意一点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，则该截面面积(单位：dm2)的最大值是

．

三、解答题：本题共4小题，共51分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为棱A1D1，CD的中点，记BC=a，(1)用a,b,c表示(2)求直线AC与EF所成角的余弦值．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，Q为棱PD的中点，PA=AB=2．(1)求证：PB//平面ACQ；(2)求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值；(3)若点M在线段BC上，且MQ//平面PAB，求证：M是BC的中点．18.已知空间向量m=x,y,1(1)若m//n，求(2)若m⊥n，求y的最小值及此时(3)若m−n=19.如图1，在平面四边形PDCB中，PD//BC，BA⊥PD，PA=AB=BC=1，AD=12，将▵PAB沿BA翻折到△SAB的位置，使得平面SAB⊥平面ABCD，如图2所示，点Q是线段SC

(1)设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BC⊥l；(2)求平面SCD与平面SAB所成角的余弦值；(3)设点M是线段SA的中点，点N在线段SD上，且SNSD=23，判断直线BQ是否在平面参考答案1.D

2.D

3.C

4.C

5.D

6.D

7.D

8.D

9.A

10.B

11.A

12.813.214.5π

15.216.(1)由图可知，FE=FE=因为b⋅b⋅a=所以FE=所以FE=−12a+(2)因为AC=AB+所以AC⋅由(1)得FE=11所以直线AC与EF所成角的余弦值为cosAC

17.(1)由底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD可知，可以以A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则由题意可知A0,0,0，B2,0,0，C2,2,0，D0,2,0，P0,0,2，Q所以PB=2,0,−2，AC=2,2,0，AQ=0,1,1，设平面ACQ的法向量为令y=−1，可得n=所以PB⋅n=0，可得PB⊥n，又PB不在平面ACQ(2)向量PC=2,2,−2，设直线PC与平面ACQ所成角为θ，则又PC⋅n=−2，PC=2(3)设M2,t,0，因为点M在线段BC上，所以0≤t≤2则MQ=又PA⊥底面，AB⊥AD，故AD⊥平面PAB，所以AD=0,2,0为平面由MQ//平面PAB，得MQ⋅AD=0，即2所以M2,1,0，即M是BC

18.(1)因为m//所以m=λ当x=0时，m=(0,y,1),所以0=0⋅λy=−2λ1=0⋅λ,λ当x≠0时，可得xx=y所以x+y=−(2)因为m⊥所以x2+(−2y)+2x=0，即所以当x=−1时，y的最小值为−(3)m因为m−所以0+(y+2)2由(1−2x)2则所求(x−1=−3x−所以当x=13时，(x−1

19.(1)依题意，AD⊥AB，因为PD//BC，所以BC⊥AB，由于平面SAB⊥平面ABCD，且平面SAB∩平面ABCD=AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面SAB，因为l是平面SDC与平面SAB的交线，所以l⊂平面SAB，故BC⊥l．(2)由(1)知，BC⊥平面SAB，则AD⊥平面SAB，而SA⊥AB，以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，由题意可得A0,0,0，D12,0,0，B0,1,0，C所以SD=12设平面SCD的一个法向量为n=则n⋅SD=0n⋅SC=0易得平面SAB的一个法向量为AD=