2025-2026学年天津市和平区第五十五中学高二上学期第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年天津市第五十五中学高二上学期第一次月考数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线l:2x+3y−1=0的一个方向向量为(

)A.(2,−3) B.(−3,2) C.(2,3) 2.若a∈R，直线l1：x+2ay−1=0，直线l2：(3a−1)x−ay−1=0，则“a=0”是“lA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知点P为椭圆x24+y22=1上的一点，F1，A.12 B.22 C.14.如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=a,AD=b,AA1A.12a⃗+b⃗+c⃗5.若直线l过点M(−1,2)，且与以P−1−3,−1、A.−∞,−12∪3,+∞ B.6.下列四个命题，其中真命题是(

)A.点M(3,2,1)关于平面yOz对称的点的坐标是(−3,2,−1)

B.若直线a的方向向量为a=(1,0,−1)，平面α的法向量为m=(1,1,1)，则a⊥α

C.已知平面α的一个法向量n=(3,4,0)，点A(−1,1,1)在α内，则P(1,2,3)到α的距离为2

D.向量a=(1,0,−1)，b7.已知直线l:x−2y+8=0和两点A(2,0),B(−2,−4)，若直线l上存在点P使得|PA|+|PB|最小，则点PA.(−2,−3) B.(−2,3) C.(2,3) 8.已知点(a,b)在曲线y=−x2+6x−5+1A.[2,26] B.2,14+410

C.14−49.已知直线l1:mx+y−m−3=0与l2:x−my+m−3=0相交于点M，线段AB是圆C:(x+1A.16+42 B.30+82 C.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.已知点A(4,1,3)、B(2,−5,1)，C为线段AB上一点，若AB=3AC，则点C的坐标为11.过点P3,165且与椭圆x21512.若直线x+ay−2=0与直线a2x−y+1=0垂直，则实数a=

．13.已知a∈R，直线l:(a+1)x+2y−2a=0恒过定点P，圆C的圆心与点P关于直线y=x对称，直线l′:2x+y−5=0与圆C相交于A,B两点，且|AB14.已知点P是圆C:x2+y2=4上的动点，点A(4,2)，则线段AP中点M的轨迹方程是

；若直线l:x−2y+4=0，N为直线l上的动点，过点N作轨迹M的切线，切点为A、B，设轨迹M的圆心为15.已知曲线C的方程是(x−|x①曲线C与两坐标轴有公共点；②曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形；③若点P，Q在曲线C上，则|PQ|的最大值是6④曲线C围成图形的面积大小在区间(40,44)内．所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题15分)在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b=7，c=1(1)求a的值；(2)求sinA(3)求cos(B−2A)的值．17.(本小题15分)在▵ABC中，A(1,1)，B(4,2)，C(5,5)(1)求点A到直线BC的距离：(2)求线段AC垂直平分线所在的直线方程；(3)求过点B且在x轴和y轴截距相等的直线方程．18.(本小题15分已知直线l1:x+y−1=0,l2:2x−y−8=0.圆心为(2,1)(1)求圆C的方程；(2)经过点(0,−2)的直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|=19.(本小题15分已知如图，四边形PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90(1)若M为PA中点，求证：AC//平面MDE(2)求直线PA与平面PBC所成角的余弦值；(3)在线段PC上是否存在一点Q(除去端点)，使得平面QAD与平面PBC夹角的大小为π3？若存在，求出PQPC20.(本小题15分)已知圆O:x2(1)过M作圆O的切线，求切线的方程；(2)过圆O上一点P12,32作两条相异直线分别与圆O相交于A，B两点，且直线PA和直线(3)已知A(2,8)，设P为满足方程PA2+PO2=106的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得PB参考答案1.B

2.A

3.C

4.C

5.A

6.C

7.B

8.C

9.B

10.10311.x212.0或1

13.614.(x−2)

15.②③

16.【详解】(1)由余弦定理可得b2即7=a2+1−2a×1×1(2)由正弦定理asinA=(3)由余弦定理cosA=所以sin2A=2cos2A=2所以cos(B−2A)=

17.【详解】(1)由题可知直线BC的斜率为kBC所以直线BC的方程为y−5=3(x−5)，即3x−y−10=0；由点到直线距离公式可得d=|3−1−10|即点A到直线BC的距离为4(2)易知线段AC的斜率kAC=5−1且过AC的中点(3,3)，可得该直线方程为y−3=−(x−3)，即(3)当在x轴和y轴截距都为0时，此时直线过B(4,2),O(0,0)，此时直线方程为x−2y=0；当在x轴和y轴截距不为0时，设直线方程为xa+y代入点B坐标可得4a+2此时直线方程为x6+y综上可知，过点B且在x轴和y轴截距相等的直线方程为x−2y=0或x+y−6=0．

18.【详解】(1)联立x+y−1=02x−y−8=0，解得因为圆心为(2,1)的圆C经过l1和l2的交点，所以圆的半径为所以圆C的方程为(x−2)(2)①当斜率存在时，设直线l的方程为y+2=kx，设圆心(2,1)到直线kx−y−2=0的距离为d，则由垂径定理得|MN解得d=2，即|2k−1−2|故直线l的方程为512x−y−2=0，即②当斜率不存在时，直线l的方程为x=0，满足|MN所以直线l的方程为x=0或5x−12y−24=0．19.【详解】(1)如图，连接PC、DE交于N，连接四边形PDCE为矩形，PC与DE交于点N，∴N为PC的中点，又因为M为PA的中点，∴MN而MN⊂平面MDE，AC⊂平面MDE∴AC//平面(2)因为四边形PDCE为矩形，所以PD⊥又平面PDCE⊥底面ABCD，平面PDCE∩底面ABCD=CD，PD⊂所以PD⊥底面ABCD因为AD⊂底面ABCD，所以PD而∠ADC=90∘，故可以以DA，DC，DP根据题意，则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P0,0,所以PA=假设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,z)则m⋅PB=x+y−2设直线PA与平面PBC所成角的平面角为θ，则sinθ=∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为3(3)假设存在点Q(x,y,z)，满足题意，设此时PQPC=λ，则即x,y,z−2=λ则DQ=0,2λ,假设平面DAQ的一个法向量为n=(a,b,c)则n⋅DQ=2λb+2又∵平面PBC的一个法向量为m=∵平面DAQ与平面PBC所成锐二面角的大小为π3∴根据题意，则有，解得λ=2∴在线段PC上存在一点Q(除去端点)，使得平面DAQ与平面PBC所成锐二面角的大小为π3，PQ

20.【详解】(1)根据圆的方程可知，圆O的圆心坐标为O(0,0)，半径为1．点M距离圆心O的距离12+42当过点M的直线不存在斜率时，切线方程为x−1=0，圆心O距此直线的距离为1，与半径相等.故此直线与圆相切．当过点M的直线存在时，设直线方程为y−4=k(x−1)，即kx−y+4−k=0，圆心O距离此直线的距离应为1，故|4−k|k2故直线方程为158x−y+4−15所以过点M且与圆O相切的直线方程为：x−1=0和15x−8y+17=0．(2)假设过点P的一条直线倾斜角为π2由题目条件得另一条直线的倾斜角也为π2故过P的直线不可能垂直于x轴.由于两直线的倾斜角互补，因为tanα设直线l1:y−3直线l2:y−3点AxA,y化简得k1由韦达定理得xA点BxB,y化简得k1由韦达定理得xB则直线AB的斜率为kAB易得xA+xB−1=故直线AB的斜率为定值3(3)设P(p,q)，因PA2+PO2所以点P的轨迹是一个圆，圆心为点M(1,4)，半径为6．因MO=17<6−1=5，所以圆