【课件】三角函数的应用课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.7三角函数的应用学习目标1.会用三角函数解决简单的实际问题.2.可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点1

函数y=Asin(ωx+φ),x>0(A>0,ω>0)中,各参数的物理意义振幅

它是做简谐运动的物体离开平衡位置的

周期T=

它是做简谐运动的物体往复运动

所需要的时间

频率

频率与周期互为倒数关系它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的

相位ωx+φx=0时的相位

称为初相

A最大距离

一次

次数

φ思考辨析“简谐运动”的振幅与函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)的最大值之间是什么关系?提示

“简谐运动”的振幅就是函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)的最大值,即为|A|.自主诊断B2.(北师大版教材习题)一个单摆如图所示,小球偏离铅垂线方向的角为α

rad,α与摆动时间t(单位:s)之间的函数解析式为

.求:(1)最初(t=0)时α的值;(2)单摆摆动的频率;(3)经过多长时间单摆完成5次完整摆动?知识点2

应用三角函数模型解决问题的一般程序应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.(2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型.(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.(4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.思考辨析散点图在三角函数建模过程中起了什么作用?提示

利用散点图可较直观地分析两个变量之间的某种关系,然后利用这种关系选择一种合适的函数模型去拟合这些点,从而避免因盲目选择函数模型造成失误.自主诊断弹簧振子以O为平衡位置,在B,C两点间做简谐运动,B,C相距20cm,某时刻振子处在B点位置,经0.5s振子首次到达C点,求:(1)振动的振幅、周期和频率;(2)弹簧振子在5s内通过的路程及位移.解

(1)设振幅为A,则2A=20

cm,所以A=10

cm.设周期为T,则

=0.5

s,所以T=1

s,所以f=1

Hz.(2)振子在0.5

s内通过的路程为20

cm,故在5

s内通过的路程s=5×40=200(cm).5

s末物体处在B点,所以它的位移为0

cm.重难探究·能力素养速提升探究点一三角函数模型在物理中的应用(1)若电流强度I与时间t的函数关系图象如图所示,试根据图象写出I=Asin(ωt+φ)的解析式;得最大值A与最小值-A,则正整数ω的最小值是多少?又ω>0,∴ω≥200π.∴正整数ω的最小值为629.规律方法三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、交流电电流、电压等方面,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.变式训练1

阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置,我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置,被称为“镇楼神器”,如图1.由物理学知识可知,某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动,其离开平衡位置的位移y(单位:m)和时间t(单位:s)的函数关系式为y=sin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<π),如图2.若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置y0(-1<y0<1)的时间分别为t1,t2,t3(0<t1<t2<t3),且t1+t2=2,t2+t3=6,则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的正向位移大于0.5m的总时间为(

)

D

探究点二三角函数模型在生活中的应用★★【例2】

摩天轮是一种深受大家喜爱的大型游乐设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮的半径为50米,圆心O距地面的高度为60米,摩天轮做匀速转动,每3分钟转一圈,点P的起始位置在摩天轮的最低点处,已知摩天轮上一点P在时刻t(单位:min)距离地面的高度y(单位:m)满足y=Asin(ωt+φ)+b(ω>0,φ∈[-π,π]).(1)根据条件写出y(单位:m)关于t(单位:min)的函数解析式;(2)若游客在距离地面的高度不低于85m时能够获得最佳视觉效果,请问摩天轮转动一周能有多长时间使游客有最佳视觉效果?

规律方法解三角函数应用问题的基本步骤

探究点三三角函数模型拟合问题【例3】

生物节律是描述体温、血压和其他易变的生物变化的每日生物模型.下表中给出了在24h期间人的体温的典型变化(从夜间零点开始计时).时间t/h024681012141618202224体温y/℃36.836.736.636.736.837.037.237.337.437.337.237.036.8(1)作出这些数据的散点图;(2)选用一个三角函数模型来近似描述这些数据;(3)在散点图中作出(2)中所选函数的图象.

(3)利用五点作图法列表.

t04101624t---0

y36.836.63737.436.8图象如图所示.

规律方法处理数据拟合和预测问题的几个步骤(1)根据原始数据,绘出散点图;(2)通过散点图,作出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线;(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式;(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.变式训练3

某市物价局调查了某种治疗流感的常规药品在2024年每个月的批发价格和该药品在药店的销售价,调查发现,该药品的批发价格按月份以12元/盒为中心价随某一正弦型曲线上下波动,且3月份的批发价格最高,为14元/盒,7月份的批发价格最低,为10元/盒.该药品在药店的销售价格按月份以14元/盒为中心价随另一正弦型曲线上下波动,且5月份的销售价格最高,为16元/盒,9月份的销售价格最低,为12元/盒.(1)求该药品每盒的批发价格f(x)和销售价格g(x)关于月份x的函数解析式;(2)假设某药店每月初都购进这种药品p盒,且当月售完,求该药店在2024年哪些月份是盈利的?说明理由.

学以致用·随堂检测促达标1234C1232.(多选题)从出生之日起,人的体力、情绪、智力呈周期性变化,在自出生的前30天内,它们的变化规律如图所示(均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型):记智力曲线为I,情绪曲线为E,体力曲线为P,且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处,则(

)A.体力曲线P的最小正周期是三条曲线中最大的B.第462天时,智力曲线I处于上升期、情绪曲线E处于下降期C.智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点D.