基本不等式12大题型（期中专项训练）（解析版）-高一数学期中专练

34/34基本不等式题型1基本不等式求积的最大值（重点）题型7条件等式变形求最值（难点）题型2基本不等式求和的最小值（重点）题型8基本不等式链的应用题型3基本不等式“1”的妙用求最值（重点）题型9利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围（重点）题型4二次与二次(或一次)的商式的最值题型10利用基本不等式证明不等式题型5换元法求最值（常考点）（难点）题型11基本不等式的实际应用（常考点）题型6两次应用基本不等式求最值（难点）题型12权方和不等式（拓展）（重点）题型一基本不等式求积的最大值（共5小题）1．（24-25高一上·四川德阳·期中）若实数，，且，则的最大值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】由基本不等式进行求解即可.【详解】，，，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，故选：C2．（24-25高一上·陕西汉中·期末）若，且，则（

）A．有最小值为 B．有最大值为C．有最小值为 D．有最大值为【答案】D【分析】根据基本不等式，可得答案.【详解】由题意可得，当且仅当时取等号，解得.故选：D.3．（24-25高一上·山西·期中）已知，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】由，然后利用基本不等式求最大值．【详解】因为，所以，所以，当且仅当即时取等号，所以的最大值为1.故选：C.4．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）若，则的最大值为．【答案】【分析】直接利用基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为.故答案为：.5．（24-25高一上·上海·期中）设，若，则的最大值为.【答案】【分析】根据基本不等式直接求解即可.【详解】解：因为，，所以根据基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，所以，即，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为故答案为：题型二基本不等式求和的最小值（共3小题）6．（24-25高一上·河南郑州·期中）若，则（

）A．有最小值5 B．有最大值5 C．有最小值4 D．有最大值4【答案】A【分析】利用基本不等式可求最小值.【详解】，当且仅当时等号成立，故的最小值为，故选：A.7．（24-25高一上·天津和平·期末）若且，则的最大值为（

）A． B．0 C．2 D．8【答案】B【分析】利用不等式的基本条件“一正，二定，三相等”，对式子配凑完再提个负号即可得到结果.【详解】因为，所以，即，，当且仅当，解得：或（舍），即当时，等号成立.故选：B8．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】将原式化为，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：A.9．（24-25高一上·陕西汉中·期中）函数在上的最小值是．【答案】2【分析】利用基本不等式可求最小值.【详解】因为，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立；故答案为：.10．（24-25高一上·天津宁河·期中）已知，且，则的最小值为.【答案】4【分析】直接运用基本不等式：求解即可.【详解】∵，，∴，当且仅当时，等号成立.所以，的最小值为.故答案为：.题型三基本不等式“1”的妙用求最值（共10小题）11．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知正数，满足，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据，展开根据基本不等式求解即可.【详解】由题意，，当且仅当，即时取等号.故选：B12．（24-25高一上·福建南平·期中）已知、，且满足，那么的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为知、，且满足，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.13．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，，且，则的最小值为（

）．A．9 B．8 C．6 D．5【答案】A【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为，，且，所以，所以，当且仅当，即，时取等号.故选：A14．（24-25高一上·湖北·期末）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．9【答案】B【分析】利用乘“1”法即可求出最值.【详解】，当且仅当，即时等号成立.故选：B.15．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数x满足，则的最小值为（

）A．9 B．18 C．27 D．36【答案】C【分析】利用，结合基本不等式求和的最小值.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号.故选：C16．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】，，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为4.故选：D17．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．6【答案】B【分析】利用“1”的妙用结合基本不等式可求最小值.【详解】，，，当且仅当，即，时等号成立，因此所求最小值为，故选：B.18．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知实数，则的最小值是.【答案】【分析】表示，再利用的代换解出最小值即可.【详解】由题意可得，当且仅当时，即时，等号成立，则的最小值是.故答案为：19．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，，，则的最小值为.【答案】【分析】法一：由题意可得，则，又，则，化简后借助基本不等式计算即可得；法二：由题意可得，再借助权方和不等式计算即可得.【详解】法一：借助基本不等式“1”的活用：由，，，则，即，则，则，当且仅当，即，即、时，等号成立.法二：借助权方和不等式：由，，，则，，，则，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.20．（24-25高一上·四川泸州·期中）若正数满足，则的最小值为.【答案】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】正数满足，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：题型四二次与二次(或一次)的商式的最值（共5小题）21．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为.【答案】16【分析】将目标式化为，结合及二次函数性质求最大值即可.【详解】由，则，而，故当时，目标式最小值为16.故答案为：1622．（22-23高一上·上海浦东新·期中）函数的值域是．【答案】【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域.【详解】当时，当，.若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即.若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即.综上所述，函数的值域为.故答案为：23．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为．【答案】【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可.【详解】，当且仅当，，即时，等号成立.故答案为：24．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题：(1)求的最大值.(2)求的最小值.(3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值；（2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值；（3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】（1）当时，，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，函数的最大值为.（2）当时，，则，当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最小值为.（3）因为，且，则，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，因为恒成立，则，即，解得.因此，实数的取值范围是.25．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值.（2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值.【答案】（1）4，

（2）6，【分析】（1）根据基本不等式求解即可；（2）将函数化成的形式，然后用基本不等式求解即可.【详解】（1）因，则有，当且仅当，即时等号成立，故当时，的最小值为4；

（2）当时，，当且仅当，即时等号成立，故当时，的最小值为6.题型五换元法求最值（共4小题）26．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为．【答案】【分析】依题意可得，令，，则，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式计算可得.【详解】因为实数，满足，化为，令，，则．联立可得，，则，当且仅当，即，时取等号．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题的关键是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值.27．（24-25高一上·浙江·期中）设，则的最大值为.【答案】【分析】利用已知条件化简，再根据换元法转化后根据基本不等式解答即可.【详解】，，令又，，当且仅当时等号成立,,在上单调递减，时，的最大值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法和基本不等式的知识点，通过“对勾函数”求解最值.28．（24-25高一上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是.【答案】4【分析】设，得到，假设得到矛盾，即有，结合且，将目标式化为，最后应用基本不等式求最小值.【详解】设，则，即，若，则，而，仅当时等号成立，所以，显然与矛盾，所以，由上，由，即，则，所以，当且仅当时等号成立，所以，，即，时，目标式最小值为4.故答案为：4【点睛】关键点点睛：应用换元法，结合基本不等式得到，再由将目标式整理只为含的表达式为关键.29．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为；（2）若，则的最大值为.【答案】9【分析】（1）直接由基本不等式得，再将看成一个整体解一元二次不等式即可.（2）方法一：首先根据得，通分后将代入，再利用判别式法求最值即可；方法二：设，，代入化简可得，利用分离常数法与基本不等式求解即可.【详解】（1），为正数，且，，，.（2）方法一：因为，所以，所以，等号成立当且仅当，从而，令，设，显然，则，因为关于的一元二次方程有实数根，所以，整理得，即，解得，注意到，从而，等号成立当且仅当，即，所以经检验的最大值，即的最大值为.方法二：设，，则.故答案为：.【点睛】常见的求最值的方法有：观察法(图象法)、配方法、基本不等式法、分离常数法、函数单调性求最值、判别式法等.题型六两次应用基本不等式求最值（共4小题）30．（22-23高一上·重庆九龙坡·期中）已知，，是正实数，且，则最小值为.【答案】【分析】首先变形为，再根据，变形为，展开后，利用基本不等式求最小值，最后再用基本不等式求最小值.【详解】由题，，其中，当且仅当，即时取等，故，当且仅当时，即时取等.故答案为：31．（22-23高二下·重庆渝中·期末）对任意的正实数a，b，c，满足，则的最小值为.【答案】【分析】根据条件，得到，利用基本不等式得到，再通过构造，二次运用基本不等式即可求出结果.【详解】因为，当且仅当时取等号.故答案为：.【点睛】关键点晴：解答本题的关键在于，利用条件将变形成，再整理成，再利用均值不等式即可求出结果.32．（24-25高一上·重庆·期中）已知正实数、、满足，则的最小值为，的最小值为.【答案】；/【分析】根据基本不等式中常值代换法可得第一空；利用两次基本不等式计算即可.【详解】因为，，所以，所以，当且仅当，即时取得最小值；易知，当且仅当第一个不等号可取等号，当且仅当第二个不等号可取等号.故答案为：；.【点睛】思路点睛：对于第一空可用常值代换即灵活运用“1”构造乘积为定值计算；对于第二空观察式子结构，灵活运用“1”构造齐次式，两次使用基本不等式计算即可，需注意等号成立的情况.33．（24-25高一上·山东威海·期中）已知实数，满足，则的最小值为.【答案】8【分析】由，得即为，变形后两次运用基本不等式即可求解【详解】因为，所以，∴当且仅当，即时等号成立所以的最小值为8.故答案为：8.题型七条件等式变形求最值（共7小题）34．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知都是正实数，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由条件得，通过配凑变形，利用基本不等式求的最小值.【详解】由，得，则，当且仅当，即时等号成立，此时，所以的最小值为.故选：C.35．（24-25高一上·湖北·期中）设正实数，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可得出，利用基本不等式可得出的最小值.【详解】设，则，，当且仅当时，即，时，等号成立．故选：B．36．（24-25高一上·安徽合肥·期中）（多选）若实数a，b满足则下列说法正确的为（

）A．当时，最大值为 B．当时，最小值为C．当时，有最大值 D．当时，最小值【答案】ABD【分析】对于A，B，D利用重要不等式判断即可；对于C，运用“万能k法”判断方程是否有解即可.【详解】对于A，当时，，解得，当且仅当时等号成立，有最大值，最大值为18，选项A正确；对于B，当时，，则，所以，即，当且仅当时时有最小值，最小值为，选项B正确；对于C，当时，，设，则化为，即，因为关于的方程有解，所以，解得，所以没有最大值，选项C错误；对于D，当时，，则，当且仅当时等号成立，有最小值，最小值为，选项D正确．故选：ABD．37．（22-23高一上·浙江湖州·阶段练习）（多选）已知，为正实数，且，则（

）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为【答案】ACD【分析】A，利用变形，利用基本不等式求解即可；B，由可得，利用基本不等式求解即可；C，利用，解一元二次不等式即可；D，原式变形为，利用基本不等式求解即可.【详解】由得，所以，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，对,，当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错因为，当且仅当时取等号，解不等式得，故的最大值为，C对，当且仅当即时取等号，此时取得最小值，D正确故选：ACD.38．（24-25高一上·重庆·期中）若满足，则的最大值是，的最小值是.【答案】2【分析】将等式变形后运用基本不等式即可求得最值.【详解】因，由，可得，即得，当且仅当，即或时取等号，即当或时，的最大值是；因，，即得，当且仅当，即或时取等号，即当或时，的最小值是.故答案为：2；.39．（24-25高一上·河南·期中）已知正数x，y满足，则的最大值为．【答案】【分析】根据基本不等式得到，然后解不等式即可.【详解】由基本不等式可得，所以，解二次不等式得，当且仅当时取等号．即的最大值为.故答案为：．40．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知，，，且，则m的最小值为.【答案】9【分析】将所给条件式变形，结合基本不等式得关于的不等式，求解即可.【详解】由，得，即.因为，所以，当且仅当时，取等号，令，则，解得或（舍去），即，当且仅当时，取等号，故的最小值是9.故答案为：9．题型八基本不等式链的应用（共3小题）41．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，，，中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项.【详解】因为，所以，，，当且仅当时，等号成立，则.故选：A.42．（22-23高一上·河北邯郸·期末）（多选）若，且，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据作差法结合条件可判断AB，利用基本不等式可判断CD.【详解】，且，所以，即，故A错误，B正确；所以，即，故C错误，D正确.故选：BD.十六、解8答题43．（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）均值不等式可以推广成均值不等式链，在不等式的证明和求最值中有着广泛的应用，具体为：．(1)上面给出的均值不等式链是二元形式，其中指的是两个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数（无需证明）；(2)若一个直角三角形的直角边分别为a，b，斜边，求直角三角形周长的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）通过类比写出三元形式.（2）根据基本不等式求得的范围，进而求得三角形周长的取值范围.【详解】（1）由类比可得出:三元形式：.证明：要证即证，，，即当且仅当时等号成立.（2），由（1），当且仅当取“”，又，，所以三角形周长的取值范围.题型九利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围（共5小题）44．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根据基本不等式“1”的妙用先求得的最小值，进而转化问题为，解不等式即可求解.【详解】由，，则，当且仅当，即时等号成立，要使恒成立，则，解得，即实数的取值范围为.故选：A.45．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可.【详解】因为，，且，则，则，所以，当且仅当时，即当，时，所以的最小值为，因为恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.46．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A．64 B．25 C．13 D．12【答案】B【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案．【详解】，，则，不等式恒成立，即恒成立，，当且仅当，即时等号成立，所以，即实数m的最大值为.故选：B.47．（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知，若恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【分析】求不等式左侧的最小值，根据不等式恒成立只需右侧小于左侧的最小值，应用基本不等式求左侧最小值，再解一元二次不等式求范围.【详解】由，，当且仅当时取等号，故原不等式最小值为8，由于题设不等式恒成立，则，即，所以.故答案为：48．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知关于的不等式的解集为或.(1)求a，b的值；(2)当且满足时，有恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）先由不等式解的结构特征可得且和是方程的两个根即可由根与系数的关系求解.（2）先由（1）结合基本不等式“1”的妙用方法求出，再由恒成立得不等式，解该不等式即可得解.【详解】（1）由题可知，且和是方程的两个根，所以，此时原不等式为即，该不等式解集为或，符合，所以.（2）由（1）得，所以，当且仅当即时等号成立，所以有最小值为8.因为恒成立，所以即，解方程得或，所以不等式的解集为.所以满足题意的实数的取值范围为.题型十利用基本不等式证明不等式（共3小题）49．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，求证：；（2）已知正数x、y满足，求证：.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）运用作差比较法作差通分整理后即可证明；（2）利用常值代换法和基本不等式即可求得的最小值，从而得证.【详解】（1）由，因，则，，故，即得，故得证；（2）因正数x、y满足，则，当且仅当时等号成立.由解得：，即当，时等号成立，故得证.50．（24-25高一上·福建宁德·期中）（1）已知，，且，求的最大值；（2）证明：、、，.【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最大值；（2）利用基本不等式可证得所求不等式成立.【详解】（1）因为，，且，由基本不等式可得，可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为；（2）因为、、都是正数，由基本不等式可得，，，由不等式的基本性质可得，当且仅当时，等号成立.故.51．（24-25高一上·山西·期中）设，均为正数，且.(1)求的最小值；(2)证明：，【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用基本不等式放缩求解；（2）把不等式右边的式子变形为，再利用“1”的代换，凑出积为定值，从而求得最小值．【详解】（1），均为正数，且，，，，（当且仅当时取“”），的最小值为；（2），当且仅当，时等号成立，故不等式.题型十一基本不等式的实际应用（共5小题）52．（23-24高一上·安徽黄山·期末）我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于，则这个直角三角形周长的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设这个直角三角形的两条直角边长分别为、，利用勾股定理和基本不等式可求得的最大值，由此可得出该直角三角形周长的最大值.【详解】设这个直角三角形的两条直角边长分别为、，由勾股定理可得，由基本不等式可得，所以，即，故，当且仅当时，即当时，等号成立，因此这个直角三角形周长的最大值为.故选：C.53．（24-25高一上·四川眉山·期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，则能围成的菜园面积的最大值为.【答案】【分析】设矩形菜园的长为，宽为，得到，得到围成的菜园的面积，结合基本不等式，即可求解.【详解】设矩形菜园的长为，宽为，可得，则围成的菜园的面积，当且仅当即时等号成立，所以围成菜园的最大面积为.故答案为：.54．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为元．【答案】【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案.【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m，所以房屋的总造价为，因为，所以，当且仅当即时等号成立.故答案为：.55．（23-24高一上·北京怀柔·期末）某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为y=ax2+3000，且当年产量是100吨时，总成本为6000万元．平均成本=．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本；(2)若企业每吨产品的出厂价为90万元，当年利润不少于3000万元时，则该生产线年产量的最小值应为多少吨？（利润=销售额-成本）【答案】(1)100吨，60万元(2)100吨【分析】（1）由题意可知，当x=100时，y=6000，由此可求出a的值，再利用基本不等式求解即可；（2）由题意可知，年利润，令，求出x的取值范围即可．【详解】（1）当年产量是100吨时，总成本为6000万元，所以，解得，所以，所以生产每吨产品的平均成本为，当且仅当，即x=100，所以当年产量为100吨时，生产每吨产品的平均成本最低，最低成本为60万元；（2）由题意可知，年利润，令，得，解得：，所以该生产线年产量的最小值应为100吨．56．（23-24高一上·广东广州·期末）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.设箱体的长度为米，高度为米.现有制箱材料60平方米.问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值.【答案】米，米；立方米【分析】根据面积列出方程，据此条件利用均值不等式解出的范围即可得解.【详解】由题意，，即，，所以，