15.3 等腰三角形 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

知识回顾什么是等腰三角形？等腰三角形的性质是什么？有两条边相等的三角形是等腰三角形.等腰三角形的性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称成“等边对等角”）性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简称成“三线合一”）什么是等边三角形？三边都相等的三角形是等边三角形.知识回顾ABC思考根据等腰三角形的性质，你能发现∠A与∠B与∠C的数量关系吗？性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.思考如果∠A=∠B=∠C，你能判断出△ABC是什么三角形？为什么？ABC判定：三个角都相等的三角形是等边三角形.AABCBC图1图2如图1，∠A=60°，AB=AC，△ABC是什么三角形？如图1，∠A=60°，AB=BC，△ABC是什么三角形？判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.思考性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.判定：三个角都相等的三角形是等边三角形.判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.归纳△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形.ABCDE例题证明：因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠B=∠C=60°。又因为DE∥BC，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°。所以∠A=∠ADE=∠AED=60°，因此△ADE是等边三角形。在等边三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.(1)试判定△ODE的形状，并说明你的理由.(2)线段BD，DE，EC三者有什么关系？写出你的判断.跟踪训练(1)△ODE是等边三角形理由：因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°。OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，所以∠OBD=∠OCE=30°。又因为OD∥AB，OE∥AC，所以∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°。因此∠DOE=60°，△ODE三个角都是60°，故为等边三角形。在等边三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.(1)试判定△ODE的形状，并说明你的理由.(2)线段BD，DE，EC三者有什么关系？写出你的判断.跟踪训练(2)BD=DE=EC理由：由OD∥AB，得∠ABO=∠BOD。又因为∠ABO=∠OBD，所以∠BOD=∠OBD，故BD=OD。同理，EC=OE。因为△ODE是等边三角形，所以OD=DE=OE，因此BD=DE=EC。在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，则△APQ是什么形状的三角形？证明你的结论.迁移训练△APQ是等边三角形证明：因为△ABC是等边三角形，所以AB=AC，∠BAC=60°。在△ABP和△ACQ中，AB=A；BP=CQ​；∠ABP=∠ACQ，所以△ABP≅△ACQ（SAS）。因此AP=AQ，∠BAP=∠CAQ。所以∠PAQ=∠PAC+∠CAQ=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°。故△APQ是等边三角形。△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论？探究过程延长BC到D，使CD=BC，连接AD，∵AC是BD的垂直平分线∴AB=AD∵∠B=90°-∠BAC=90°-30°=60°∴△ABC为等边三角形∴BD=AB∵BD=2BC∴BC=在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.知识梳理在Rt△ABC中，∵∠A=30°∴BC=例题如图，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°.求立柱BC，DE的长.

跟踪训练在△ABC中，AB=AC，BC=15，∠BAC=120°，过点A作AD⊥AB，交BC于点D，则CD=

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，线段AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD.若CD=1，则AD的长为

综合应用解：因为DE是AB的垂直平分线，所以AD=BD，故∠A=∠ABD=30°。在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，所以∠ABC=60°，则∠CBD=∠ABC−∠ABD=30°。在Rt△CBD中，BD=2CD=2×1=2，所以AD=BD=2。点P,M，N分别在等边三角形ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N.(1)求证△PMN是等边三角形；(2)若AB=12cm，求CM的长.能力提升(1)证明△PMN是等边三角形因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠B=∠C=60°。因为MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，所以∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°。则∠BMP=180°−90°−60°=30°，同理∠CNM=30°，∠APN=30°。所以∠PMN=180°−30°−90°=60°，∠PNM=60°，∠MPN=60°，故△PMN是等边三角形。点P,M，N分别在等边三角形ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N.(1)求证△PMN是等边三角形；(2)若AB=12cm，求CM的长.能力提升(2)求CM的长设CM=x，在Rt△CMN中，∠C=60°，所以CN=2x，则AN=12−2x。在Rt△APN中，∠A=60°，所以AP=2AN=24−4x，则BP=12−(24−4x)=4x−12。在Rt△BPM中，∠B=60°，所以BM=2BP=8x−24。又因为BM+CM=BC=12，即