3.2图形的旋转(原卷版+解析)

3.2图形的旋转考点一、旋转的定义在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角。关键：a.旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。b.图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。考点二：旋转的规律(性质)经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。(旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等。)注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等。考点三：简单的旋转作图旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度。整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。题型一：与旋转有关的图形问题1．（2023春·八年级单元测试）如图，由所给图形经过旋转不能得到的是（

）A． B． C．D．2．（2023春·全国·八年级专题练习）北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．在下面右侧的四个图中，能由图经过旋转得到的是（）A． B． C． D．3．（2021春·全国·八年级专题练习）如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，将△ADE顺时针旋转90°后得到的图形是（

）

A． B． C． D．题型二：旋转三要素4．（2023春·八年级单元测试）如图，将绕点旋转得到，若，，，，则下列说法：①点的对应点是点；②；③；④；⑤旋转中心是点；⑥旋转角为.其中正确的是（

）A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．③④⑤⑥ D．①②③④⑤⑥5．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，经过旋转后到达的位置，，下列说法错误的是（）A．点是旋转中心 B．是一个旋转角C．顺时针旋转，则至少旋转 D．逆时针旋转，则至少旋转6．（2022春·广东深圳·八年级校考期中）如图，在以下平面直角坐标系中，绕某点旋转90°得到，则旋转中心是点（

）．A．O B．M C．N D．无法确定题型三：旋转中的坐标问题7．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，将绕点O逆时针旋转90°，得到．若点的坐标为，则点A的坐标为（

）A． B． C． D．8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为，．将先绕点C逆时针旋转，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是（

）A． B． C． D．9．（2022春·河南郑州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为（

）A． B． C． D．题型四：旋转的性质10．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，绕点O顺时针旋转得到，点D恰好落在上，且，则的度数为（

）A． B． C． D．11．（2023春·山东济南·八年级统考期末）在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，当点，，在同一条直线时，下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．12．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）如图，D为等边三角形内的一点，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论：①点D与点的距离为5；②可以由绕点A逆时针旋转60°得到；③；④点D到的距离为3；⑤．其中正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个题型五：旋转的规律问题13．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A在第一象限内，，，将绕点О逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（）A． B． C． D．14．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）等腰在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A为原点，，把等腰沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②，…，依此规律，第2023次翻转后点B的坐标是（

）A． B． C． D．15．（2022秋·河南郑州·八年级校联考期末）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A对应点的坐标为（

）A． B． C． D．题型五：旋转综合问题16．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F．(1)求证：；(2)求的度数．17．（2023秋·山西晋城·八年级统考期末）综合与探究在中，，的角度记为．(1)操作与证明；如图①，点为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接，．求证：；(2)探究与发现：如图②，若，点变为延长线上一动点，连接将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接，．可以发现：线段和的数量关系是___________；(3)判断与思考；判断（2）中线段和的位置关系，并说明理由．18．（2023秋·福建漳州·八年级统考期末）在中，，．(1)如图1，点E在上（不与点A，B重合），连接，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，．①求证：；②若，，求的长．(2)如图2，若点E在外，且，将绕点C逆时针旋转，得到，连接交于点G，射线与射线相交于点H．求证：．一、单选题19．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点P顺时针方向旋转，得到，则点P的坐标为（

）A． B． C． D．20．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，中，，绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，连接，若，则旋转角是（）A． B． C． D．21．（2023春·八年级单元测试）在图右侧的四个三角形中，不能由图经过旋转或平移得到的是图（）A．A B．B C．C D．D22．（2023春·八年级单元测试）如图，绕点按顺时针旋转到，若点恰好在上，则的度数为（）A． B． C． D．23．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，将其中，绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点、、在同一条直线上，那么旋转角等于()A． B． C． D．一、单选题24．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，，，将绕点顺时针旋转角度得到，旋转角为α．若点落在上，则旋转角α的大小是（）A． B． C． D．25．（2023秋·山东威海·八年级统考期末）如图，中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（

）A．4， B．2， C．2， D．3，26．（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）如图，在中，，，是上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接．若，则的度数为（

）A． B． C． D．27．（2023秋·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，边长为的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到，连结．则在点运动过程中，线段长度的最小值是（

）A．6 B．3 C．1 D．28．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）如图，在中，将边，分别绕点逆时针旋转得到线段，，连接，与交于点，连接，，，，．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．129．（2022秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，在中，，，点是边的中点，，是射线上的一个动点，将点绕着点顺时针旋转得到点，则线段长度的最小值为（

）A． B．1.5 C．2 D．1二、填空题30．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且点E恰好落在边上，则的度数是__________．31．（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）如图，在中，，将绕着点逆时针旋转，得到，则线段的长为______．32．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转α得到，当点B正好落在线段上时，则旋转角________度．33．（2023春·全国·八年级专题练习）一副三角板按图1放置，是边的中点，．如图2，将绕点顺时针旋转，与相交于点，则的长是______．34．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，将等边绕点C顺时针旋转120°得到，过A作于N交于F，点P为上一点，连接．则下列结论：①四边形的四条边相等；②平分；③；④；其中正确结论的序号是__________．35．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，在矩形中，，将矩形绕点B旋转一定角度后得矩形交于点E，且，则的长为________．36．（2023秋·江苏扬州·八年级校考期末）如图，将等边放在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第一象限，将等边绕点O顺时针旋转得到，则点的坐标是_____．三、解答题37．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）在如图所示的正方形网格中，的顶点均在网格上，请在所给的平面直角坐标系中按要求作图并完成填空：(1)作出向下平移5个单位的，写出点的坐标：_________；(2)作出绕点O逆时针旋转的，写出点的坐标：_________．38．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，连结．(1)说明为等边三角形；(2)求的周长．39．（2023春·八年级单元测试）如图，中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接与交于点G．(1)求证：；(2)若，求的度数．40．（2023春·江苏·八年级专题练习）中，，，点在边上，将线段逆时针旋转得到，连接．(1)当，时，求证：．(2)当，时，若，求的值．41．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，是等边内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，(1)求点与之间的距离；(2)求的度数．42．（2023春·八年级单元测试）如图，中，点E在边上，，将线段绕点A旋转到的位置，使得．连接，与交于点G．(1)求证：；(2)若，，求的度数．43．（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）已知，，．(1)如图1，若点是内一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，．求证：；(2)如图2，若点是外一点，将线段绕点顺时针旋转得到，且，求证：．3.2图形的旋转考点一、旋转的定义在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角。关键：a.旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。b.图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。考点二：旋转的规律(性质)经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。(旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等。)注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等。考点三：简单的旋转作图旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度。整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。题型一：与旋转有关的图形问题1．（2023春·八年级单元测试）如图，由所给图形经过旋转不能得到的是（

）A． B． C．D．【答案】C【分析】由如图图形旋转，分别判断、解答即可．【详解】解：A．由图形旋转而得出；故本选项不符合题意；B．由图形旋转而得出；故本选项不符合题意；C．不能由如图图形经过旋转得到；故本选项符合题意；D．由图形旋转而得出；故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了图形的旋转，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．在下面右侧的四个图中，能由图经过旋转得到的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据旋转的意义“在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转”，求解即可．【详解】解：根据旋转的定义可知，能由图经过旋转得到的是故选：D【点睛】此题考查了旋转的定义，解题的关键是掌握旋转的定义．3．（2021春·全国·八年级专题练习）如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，将△ADE顺时针旋转90°后得到的图形是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据旋转角度、旋转中心、旋转方向即可作出判断．【详解】根据旋转的定义可得：旋转后AD与AB重合，故C选项符合题意.故选C.【点睛】本题考查生活中的旋转现象，解题的关键是掌握旋转的性质.题型二：旋转三要素4．（2023春·八年级单元测试）如图，将绕点旋转得到，若，，，，则下列说法：①点的对应点是点；②；③；④；⑤旋转中心是点；⑥旋转角为.其中正确的是（

）A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．③④⑤⑥ D．①②③④⑤⑥【答案】A【分析】根据旋转的性质即可得到结论．【详解】解：将绕点旋转得到，，，，，点的对应点是点，故①正确，，故②错误，，故③正确，，故④正确，旋转中心是点，故⑤正确，旋转角不一定为，故⑥错误，故选：A.【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．5．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，经过旋转后到达的位置，，下列说法错误的是（）A．点是旋转中心 B．是一个旋转角C．顺时针旋转，则至少旋转 D．逆时针旋转，则至少旋转【答案】B【分析】根据旋转三要素分别进行判断．【详解】解：A、经过旋转后到达的位置，则旋转中心为点，说法正确，故该选项不符合题意；B、，是旋转角，原说法错误，故该选项符合题意；C、由可得，顺时针旋转，则至少旋转，说法正确，故该选项不符合题意；D、由可得，逆时针旋转，则至少旋转，说法正确，故该选项不符合题意故选：B【点睛】本题考查了旋转三要素：找旋转中心、旋转角和对应点，解题关键是熟练掌握旋转三要素．6．（2022春·广东深圳·八年级校考期中）如图，在以下平面直角坐标系中，绕某点旋转90°得到，则旋转中心是点（

）．A．O B．M C．N D．无法确定【答案】A【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上，由图形可知，线段与的垂直平分线的交点即为所求．【详解】解：∵△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到，∴A、B的对应点分别是、，由图形可知，旋转中心是原点O．故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质及线段垂直平分线的判定．能够结合图形，找出对应点的垂直平分线是解题的关键．题型三：旋转中的坐标问题7．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，将绕点O逆时针旋转90°，得到．若点的坐标为，则点A的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据旋转的性质和全等三角形的性质即可求解．【详解】解：点的坐标为，，，将绕点O逆时针旋转90°，得到，，，，点A的坐标为，故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变换—旋转、全等三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键．8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为，．将先绕点C逆时针旋转，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据旋转变换的性质得到旋转变换后点A的对应点坐标，根据平移的性质解答即可．【详解】解：∵点C的坐标为，∴点A的坐标为，如图所示，将先绕点C顺时针旋转，则点的坐标为，再向右平移3个单位长度，则变换后点的对应点坐标为，故选：B．【点睛】本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移，掌握旋转变换、平移变换的性质是解题的关键．9．（2022春·河南郑州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出旋转后的图像，再根据勾股定理即可求出旋转后点A的坐标．【详解】解：由题可知，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，∴每旋转6次则回到原位置，∴第2025次旋转结束后，图形旋转了如图所示，旋转后的图形为作轴于H，∵，，设则在中∵点在第三象限，故选：D．【点睛】本题主要考查了旋转的知识，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解此题的关键．题型四：旋转的性质10．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，绕点O顺时针旋转得到，点D恰好落在上，且，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据旋转的性质可得，，，再由，可得，再根据，可得，然后求出即可．【详解】解：根据旋转的性质得：，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．11．（2023春·山东济南·八年级统考期末）在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，当点，，在同一条直线时，下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据旋转的性质可得，，，，再根据等边对等角和三角形内角和性质证明，，再逐一分析即可．【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到，∴，，，，故A不符合题意；∴，∴，∵，∴，∴，，故B不符合题意；∴，∴，故C不符合题意；∴，∵，∴，∴，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握“旋转的性质”是解本题的关键．12．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）如图，D为等边三角形内的一点，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论：①点D与点的距离为5；②可以由绕点A逆时针旋转60°得到；③；④点D到的距离为3；⑤．其中正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】连接，根据旋转的性质得，可判断为等边三角形，则，可对①进行判断；由为等边三角形得到，则把逆时针旋转60°后，与重合，与重合，于是可对②进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，则可对③④进行判断；由于四边形的面积，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对⑤进行判断．【详解】解：连接，如图所示，∵线段以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，∴，∴为等边三角形，∴，故①正确；∵为等边三角形，∴，∴把逆时针旋转60°后，与重合，与重合，∴可以由绕点A逆时针旋转60°得到，故②正确；∴，∵，∴在中，，∴为直角三角形，∴，∴，∴点D到的距离为3，故④正确；∵，∴，故③错误；∵四边形的面积，故⑤正确．故选C．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．题型五：旋转的规律问题13．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A在第一象限内，，，将绕点О逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出旋转后的图像，再根据勾股定理即可求出旋转后点的坐标．【详解】解：由题可知，将绕点逆时针旋转，每次旋转，∴每旋转次则回到原位置，∴第次旋转结束后，图形顺时针旋转了如图所示，旋转后的图形为作轴于，∵，，设则在中（负值舍去）∵点在第四象限，故选：D．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，确定旋转后的位置是解此题的关键．14．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）等腰在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A为原点，，把等腰沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②，…，依此规律，第2023次翻转后点B的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可知每折三次与初始位置的形状相同，利用此规律解决问题即可．【详解】解：由题意可得，每翻转三次与初始位置的形状相同，翻转3次后B点的纵坐标不变，横坐标的变化为：，∵，第2023次翻转后点B的横坐标是：，纵坐标为：0，即B点坐标为，故选：D．【点睛】本题考查坐标与图形变化一旋转，等腰三角形的性质，解题的关键是发现其中的规律，每旋转三次为一个循环．15．（2022秋·河南郑州·八年级校联考期末）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A对应点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据旋转性质，可知6次旋转为1个循环，故先需要求出前6次循环对应的A点坐标即可，利用全等三角形性质求出第一次旋转对应的A点坐标，之后第2次旋转，根据图形位置以及长，即可求出，第3、4、5次分别利用关于原点中心对称，即可求出，最后一次和A点重合，再判断第2023次属于循环中的第1次，最后即可得出答案．【详解】解：由题意可知：6次旋转为1个循环，故只需要求出前6次循环对应的A点坐标即可第一次旋转时：过点作x轴的垂线，垂足为C，如下图所示：由A的坐标为可知：，，，由旋转性质可知：，∴，，∴，在与中：∴，∴，，∴此时点对应坐标为，当第二次旋转时，如下图所示：此时点对应点的坐标为．当第3次旋转时，第3次的点A对应点与A点中心对称，故坐标为当第4次旋转时，第4次的点A对应点与第1次旋转的点对应点中心对称，故坐标为当第5次旋转时，第5次的点A对应点与第2次旋转的点对应点中心对称，故坐标为．第6次旋转时，与A点重合．故前6次旋转，点A对应点的坐标分别为：、、、、、．由于，故第2023次旋转时，A点的对应点为．故选：D．【点睛】本题主要是考查了旋转性质、中心对称求点坐标、三角形全等以及点的坐标特征，熟练利用条件证明全等三角形,通过旋转和中心对称求解对应点坐标，是求解该题的关键．题型五：旋转综合问题16．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F．(1)求证：；(2)求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据条件证出，即可得证．（2）根据条件求出的度数，然后根据四边形内角和求出的度数，最后用的度数即可．【详解】（1）解：证明：∵绕点B按逆时针方向旋转，∴，∴，又∵，∴，在与中，，∴．（2）解：由旋转可得：，∴．∵，∴，∴．【点睛】本题考查了图形的旋转、全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识点，充分利用旋转性质是解题关键．17．（2023秋·山西晋城·八年级统考期末）综合与探究在中，，的角度记为．(1)操作与证明；如图①，点为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接，．求证：；(2)探究与发现：如图②，若，点变为延长线上一动点，连接将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接，．可以发现：线段和的数量关系是___________；(3)判断与思考；判断（2）中线段和的位置关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)(3)，理解见解析【分析】（1）由旋转的性质得，，从而证明，即可得到结论；（2）同第（1）小题的方法，证明，即可得到结论；（3）由（2）可得，从而得，进而即可得到结论．【详解】（1）证明：∵线段绕点逆时针旋转角度至位置，，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴．（2）解：∵，由旋转可知：，，∴，∴，在和中，，∴，∴．故答案为：．（3），理由如下：∵，，∴，由（2）可得：，∴，∴，∴．【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．掌握三角形全等的证明是解题的关键．18．（2023秋·福建漳州·八年级统考期末）在中，，．(1)如图1，点E在上（不与点A，B重合），连接，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，．①求证：；②若，，求的长．(2)如图2，若点E在外，且，将绕点C逆时针旋转，得到，连接交于点G，射线与射线相交于点H．求证：．【答案】(1)①见解析；②(2)见解析．【分析】（1）①由可得，易证；②由①可知，，可求得，，在中，运用勾股定理可求解；（2）如图，连接，同①可证，结合已知，，，，可求得，根据等角对等边可得证．【详解】（1）①证明：，，即，在与中，；②，，，，，，，，，，在中，；（2）（2）如图，连接，，，即，又，，，，，，，，．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的证明和性质的应用，勾股定理求边长，还考查了等腰三角形性质的应用和证明；熟练掌握相关性质是解题的关键．一、单选题19．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点P顺时针方向旋转，得到，则点P的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为旋转中心点．【详解】解：连接，，线段，的垂直平分线的交点即为旋转中心点．由图知，旋转中心的坐标为，故选：B．【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化-旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质．20．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，中，，绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，连接，若，则旋转角是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据旋转的性质得出，，由等腰三角形三线合一性质得出，再求出的度数即可．【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到，，∴，，∵，∴，∴，∴旋转角度数是．故选：D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和旋转的性质．求出是解题的关键．21．（2023春·八年级单元测试）在图右侧的四个三角形中，不能由图经过旋转或平移得到的是图（）A．A B．B C．C D．D【答案】B【分析】根据旋转性质及平移性质，结合所给图形逐项验证即可得到答案．【详解】解：A、可由图逆时针旋转一个角度得到，不符合题意；B、可由图翻折得到，不能由图E经过旋转或平移得到，不符合题意；；C、可由图逆时针旋转一个角度得到，符合题意；D、可由图逆时针旋转一个角度得到，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查旋转及平移图形的识别，准确理解旋转及平行性质是解决问题的关键．22．（2023春·八年级单元测试）如图，绕点按顺时针旋转到，若点恰好在上，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据旋转的性质得，，再根据三角形外角性质得，所以，根据旋转的性质得，进而得，所以，进而求出的度数．【详解】解：∵绕点按顺时针旋转到，∴，，，∵，即，∴，∵，∴，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了三角形外角的性质，等边对等角．掌握旋转的性质是解题的关键．23．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，将其中，绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点、、在同一条直线上，那么旋转角等于()A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形内角和定理求得，根据点、、在同一条直线上，由，即可求解．【详解】解：，，，点、、在同一条直线上，，旋转角等于．故选：C．【点睛】本题考查了求旋转角，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．一、单选题24．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，，，将绕点顺时针旋转角度得到，旋转角为α．若点落在上，则旋转角α的大小是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由己知可求得，由旋转的性质得，则有，由三角形内角和可求得旋转角的大小．【详解】解：∵，，∴，∵绕点顺时针旋转角度得到，∴，，∴，∴，即旋转角的大小可以是，故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．25．（2023秋·山东威海·八年级统考期末）如图，中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（

）A．4， B．2， C．2， D．3，【答案】B【分析】利用旋转和平移的性质得出，，，进而得出是等边三角形，即可得出以及的度数．【详解】解：∵，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，∴，，∴是等边三角形，∴，∴，∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，．故选：B．【点睛】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出是等边三角形是解题关键．26．（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）如图，在中，，，是上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先通过条件证，再由全等得角度相等，然后由得的度数，最后由三角形内角和即可求得．【详解】解：由旋转可得：，，，，，，，，，，，，，，，，．故选C【点睛】本题考查了旋转、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质等知识点，全等三角形的证明是解题关键．27．（2023秋·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，边长为的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到，连结．则在点运动过程中，线段长度的最小值是（

）A．6 B．3 C．1 D．【答案】B【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后利用边角边证明，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可．【详解】解：如图，取的中点，连接，旋转角为，，又，，是等边的对称轴，，，又旋转到，，在和中，，，，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，此时，，，；故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．28．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）如图，在中，将边，分别绕点逆时针旋转得到线段，，连接，与交于点，连接，，，，．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据旋转的性质，证明，得到，，可判定①，结合三角形内角和可判断②，过点A作，，垂足分别为M，N，根据全等三角形面积相等，底边相等可得，利用角平分线的判定可判断③，根据勾股定理可得，可判断④．【详解】解：由旋转可知：，，，∴，即，∴，∴，，故①正确；∵，∴，∴，故②正确，过点A作，，垂足分别为M，N，∵，∴，即，∵，∴，∴平分，故③正确；∵，∴，，，，∴，，∴，故④正确，∴正确的有4个，故选A．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和，角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．29．（2022秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，在中，，，点是边的中点，，是射线上的一个动点，将点绕着点顺时针旋转得到点，则线段长度的最小值为（

）A． B．1.5 C．2 D．1【答案】A【分析】根据动点最值问题-瓜豆原理模型：主动点与从动点到顶点的距离比为定值1；主动点与顶点、从动点与顶点连线夹角为定角，则点的运动轨迹与点的运动轨迹相同，连接并延长，由题意可知，从而确定轨迹为过点且垂直于直线的射线，根据点到直线的垂线段最小，勾股定理求值即可得到答案．【详解】解：由题意可知，主动点与从动点到顶点的距离比为定值；主动点与顶点、从动点与顶点连线夹角为定角，由瓜豆原理点的运动轨迹与点的运动轨迹相同，均为射线，连接并延长，如图所示：是射线上的一个动点，将点绕着点顺时针旋转得到点，，在中，，，，，，，，，在和中，，轨迹为过点且垂直于直线的射线，即在射线上运动，当时，线段长度有最小值，点是边的中点，在中，，，则线段长度有最小值为，故选：A．【点睛】本题考查动点最值问题-瓜豆原理，涉及旋转性质、平行线性质、等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质，点到直线垂线段最短等知识，熟练掌握动点最值问题的求解方法步骤是解决问题的关键．二、填空题30．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且点E恰好落在边上，则的度数是__________．【答案】##37度【分析】首先根据旋转的性质得到，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，最后根据三角形内角和定理和旋转的性质即可求出．【详解】∵将绕点A顺时针旋转得到，∴，，∴，∴．故答案为：．【点睛】此题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点．31．（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）如图，在中，，将绕着点逆时针旋转，得到，则线段的长为______．【答案】【分析】由旋转性质可判定为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得的长．【详解】解：由旋转性质可知，，，则为等腰直角三角形，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上性质是解题关键．32．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转α得到，当点B正好落在线段上时，则旋转角________度．【答案】【分析】根据三角形内角和定理得到，根据旋转得到，，，即可得到，结合三角形内外角关系即可得到，即可得到答案；【详解】解：∵，，∴，∵绕点C顺时针旋转α得到，∴，，，∴，在中，，∴，∴，故答案为；【点睛】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和定理及三角形内外角关系，解题的关键是求出．33．（2023春·全国·八年级专题练习）一副三角板按图1放置，是边的中点，．如图2，将绕点顺时针旋转，与相交于点，则的长是______．【答案】【分析】交于点N，由题意得，，，，，，根据锐角三角函数即可得，，根据旋转的性质得是直角三角形，根据直角三角形的性质得，即，，根据角之间的关系得是等腰直角三角形，即，问题随之得解．【详解】解：如图所示，交于点N，由题意得，，，，，，根据是边的中点，可得：∵绕点O顺时针旋转60°，，∴，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∴，，∵，，∴，∴是直角三角形，

∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形的性质以及理解三角板中自带的角度．34．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，将等边绕点C顺时针旋转120°得到，过A作于N交于F，点P为上一点，连接．则下列结论：①四边形的四条边相等；②平分；③；④；其中正确结论的序号是__________．【答案】①③##③①【分析】先证是等边三角形，再求出最小值即可判断．【详解】解：由旋转可知，，∵是等边三角形，∴，∴，∴是等边三角形，∴，①正确；∵点P为上一点，位置不确定，②错误；∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴∵，∴，，∴，③正确；作于H，∵，∴，当B、P、H共线时，最小，此时，，即最小值为，，④错误；故答案为：①③【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，30度角所对直角边等于斜边的一半，解题关键是熟练运用相关知识进行证明推理．35．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，在矩形中，，将矩形绕点B旋转一定角度后得矩形交于点E，且，则的长为________．【答案】3【分析】此题通过旋转前后对应边和角相等，以及已知的等边，合理设未知数后直接利用勾股定理列方程求解即可．【详解】解：设∵矩形绕点B旋转一定角度后得矩形，∴在中，，∴，∴，故答案为：3【点睛】此题考查旋转的性质和勾股定理，解题关键是将直角三角形三边分别用未知数表示出来，根据勾股定理直接列方程即可．36．（2023秋·江苏扬州·八年级校考期末）如图，将等边放在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第一象限，将等边绕点O顺时针旋转得到，则点的坐标是_____．【答案】【分析】过点作轴于点E，根据等边三角形的性质，得到，，进而得到，再利用旋转的性质，得到，，从而得到，证明是等腰指直角三角形，最后利用勾股定理求出，即可得到点的坐标．【详解】解：过点作轴于点E，点A的坐标为，，是等边三角形，，，，绕点O顺时针旋转得到，，，，是等腰指直角三角形，，由勾股定理得，，，点在第四象限，点的坐标是，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键．三、解答题37．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）在如图所示的正方形网格中，的顶点均在网格上，请在所给的平面直角坐标系中按要求作图并完成填空：(1)作出向下平移5个单位的，写出点的坐标：_________；(2)作出绕点O逆时针旋转的，写出点的坐标：_________．【答案】(1)，图见解析(2)，图见解析【分析】（1）将的三个顶点分别向下平移5个单位，得到对应点，顺次连接即可得到；（2）将的三个顶点分别绕点O逆时针旋转，得到对应点，顺次连接即可得到．【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为，故答案为：；（2）解：如图，即为所求，点的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查平面直角坐标系中图形的平移、旋转，解题的关键是根据平移、旋转的性质在坐标系中找出对应点的位置．38．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，将绕点C按逆时针方向