三角形中的边角关系、命题与证明专项复习(提升分层训练)(原卷版+解析)

三角形中的边角关系、命题与证明专项复习（提升分层训练）一、单选题（每题4分）1．（23·24上·福州·阶段练习）如果一个三角形三个内角度数的比为1:1:2，那么这个三角形是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形2．（23·24上·沙坪坝·阶段练习）下列命题是真命题的是（）A．在平面直角坐标系中，点P−3，0在yB．在一次函数y=−2x+3中，y随着x的增大而增大C．同旁内角互补D．若x−2+y+33．（23·24上·绍兴·阶段练习）已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足∠A:∠B:∠C=2:3:5，则这个三角形是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．任意三角形 D．锐角三角形4．（22·23下·苏州·阶段练习）在△ABC中，AB=5，AC=7，那么中线AD的取值范围为（

）A．1<AB<6 B．5<AB<6 C．5<AB<7 D．2<AB<125．（22·23下·沈阳·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，BC=10，AD是高，是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交于点，下面说法正确的是（

）①△ABE的面积=△BCE的面积；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④AD=2.4．A．①②③④ B．①②③ C．①②③ D．③④6．（2022下·绍兴·期末）如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，EM平分∠AEF交CD于点M．G是射线上一动点（不与点M，F重合）．EH平分∠FEG交CD于点，设∠MEH=α，∠EGF=β．现有下列四个式子：①2α=β，②2α−β=180°，③α−β=30°，④2α+β=180°，在这四个式子中，正确的是(

)A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④7．（2022下·张家界·期末）如图：CD∥AB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，∠BAC=40°，∠1=∠2，则下列结论：①∠ACE=2∠4；②CB⊥CF；③∠1=70°；④∠3=2∠4，其中正确的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④8．（2021下·巴南·期中）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H，点F是边AB上一点，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G．若∠BEG＝40°，则∠DEH的度数为（）A．50° B．75° C．100° D．125°9．（22·23下·苏州·期中）如图①，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中∠C=90°，∠A=30°，∠EDC=45°，BC<CD<AC，现按住三角板ABC不动，将三角板DCE绕点C顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记∠BCD=k∠ACE（k为常数），给出下列四个说法：①当k=1时，直线AB与直线DE相交所成的锐角度数为；②当k=3时，DE∥BC；③当CE⊥AB时，k=2；④当CE∥AB时，k=5．其中正确的说法的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（22·23下·邯郸·阶段练习）题目：“如图，在△ABC中，，将△MNC沿MN折叠得到△MNC'，若MC'与△ABC的边平行，求∠C'MN．”甲答：

A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整二、填空题（每题5分）11．（23·24上·日照·阶段练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为．

12．（22·23下·宿州·期中）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起．如图2，其中∠ACB=30°，∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE=α(0°<α<180°)．(1)若AD⊥BC，则α为；(2)当0°<α<45°时，连接BD，如图3，则∠BDE+∠CAE+∠DBC=．

13．（2022下·武汉·期中）①如图1，若AB∥CD，则∠A+∠E+∠C=360°；②如图2，若AB∥CD，则∠P=∠A−∠C；③如图3，若AB∥CD，则∠E=∠A+∠1；④如图4，若AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α−∠β+∠γ=180°．以上结论正确的序号是．14．（2022下·成都·期中）如图，已知∠AOB=7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A=90°−7°=83°．当∠A<83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点，易知∠1=∠2．若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A=°．若光线从三、解答题15．（23·24上·专题练习）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形三个内角和是180°，“对顶三角形”有如下性质：．性质理解：（1）如图1，在“对顶三角形”∠AOB与△COD中，则∠AOB=85°，则∠C+∠D=°．性质应用：（2）如图2，在△ABC中，AD、分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比大8°，求的度数．拓展提高：（3）如图3，、CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A=α，请尝试求出∠P的度数（用含α的式了表示∠P）．四、问答题16．（23·24上·昆明·期中）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，AH是△ABC边BC上的高，且∠ACB=70°，，求∠BAH的度数．

17．（23·24上·济宁·阶段练习）在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点E．

(1)如图①，若∠A=70°，则∠E=________；如图②，若∠A=90°，则∠E=_______；如图③，若∠A=130°，则∠E=________；(2)根据以上求解的过程，你发现∠A与∠E之间有什么关系？如果有，写出你的发现过程；如果没有，请说明理由（借助图①）．18．（23·24上·厦门·阶段练习）如图，△ABC中，AD平分∠BAC,P为AD延长线上一点，PE⊥BC于E，已知∠ACB=70°，∠B=28°，求∠P的度数．五、证明题19．（23·24上·石家庄·阶段练习）把一副三角板ABC和DEF按照图1~图3的方式放置，使△ABC中的60°角的顶点B和直角顶点C分别在含有45°角的△DEF的两条直角边上．

(1)如图1，若BC∥DF，点E在△ABC的内部，则∠ABE=______°，______°，∠A+∠ABE+∠ACE=______°．(2)如图2，若BC与DF不平行，点E在△ABC的内部，求∠A，∠ABE，∠ACE满足的数量关系．(3)如图3，若BC与DF不平行，点E在△ABC的外部，（2）中所求的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论（用等式表示），并说明理由．20．（23·24上·周测）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D、E分别在边BC、AC上．(1)若∠ADE=∠B，求证：∠BAD=∠CDE；(2)若∠ADE=∠AED，求∠BAD∠CDE21．（23·24上·齐齐哈尔·阶段练习）如图1，∠ACD是△ABC的外角，平分∠ABC，CE平分∠ACD，且、CE交于点E．

(1)求证：∠E=1(2)如图2，若、CE是△ABC两内角的平分线且交于点E，则∠E与∠A的关系是______．(3)如图3，若、CE是△ABC两外角的平分线且交于点E，则∠E与∠A的关系是______．22．（23·24上·赣州·期末）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AB、CD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有_______个，以点O为交点的“8字型”有________个；②若，∠C=120°，求∠P的度数；③根据②的结果直接写出∠B、∠C、∠P之间的关系（不需要证明）．

23．（23·24上·南宁·开学考试）问题背景：小强在学习完平行线一节后，想利用平行线的知识证明“三角形的内角和是180°”；．如图1，是小强为证明三角形内角和是180°所采取的构图方法：过△ABC的顶点A作EF∥BC．请完成：（1）利用小强的构图，说明∠BAC+∠B+∠C=180°的理由；尝试应用：如图2，直线l1与直线l2相交于点O，夹角为α，点B在点O右侧，点C在l1上方，点A在O点左侧运动，点E在射线CO请完成：（2）当α=60°时，AG平分∠EAB，EF平分∠AEC交直线AG于点G，求∠AGE的度数；拓展创新：如图3，点E在线段CO上运动（不与C，O重合），∠AEF=n∠AEC，∠EAG=m∠EAB，m+2n=1，EF交AG于点G；请完成：（3）当n为何值时，∠AGE不随∠EAB的变化而变化，并用含α的代数式表示∠AGE的度数（写出解答过程）．

三角形中的边角关系、命题与证明专项复习（提升分层训练）一、单选题（每题4分）1．（23·24上·福州·阶段练习）如果一个三角形三个内角度数的比为1:1:2，那么这个三角形是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【答案】A【分析】设三角形的三个角度数为x°，x°，2x°，得出方程x+x+2x=180，求出方程的解即可．【详解】解：设三角形的三个角度数为x°，x°，2x°，∴x+x+2x=180，解得：，∴2x=90，即这个三角形有一个角是90°，∴这个三角形是直角三角形，故选：A．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的运用，一元一次方程的几何应用，解题的关键是学会设未知数列方程解决问题，属于基础题．2．（23·24上·沙坪坝·阶段练习）下列命题是真命题的是（）A．在平面直角坐标系中，点P−3，0在yB．在一次函数y=−2x+3中，y随着x的增大而增大C．同旁内角互补D．若x−2+y+3【答案】D【分析】根据点的坐标特征、一次函数的增减性、平行线的性质、非负数的性质判断即可得到答案．【详解】解：A、在平面直角坐标系中，点P−3，0在xB、在一次函数y=−2x+3中，k=−2<0，y随着x的增大而减小，故原说法错误，故B是假命题，不符合题意；C、两直线平行，同旁内角互补，故原说法错误，故C是假命题，不符合题意；D、∵x−2+y+3=0，，y+3=0，∴x=2，y=−3，∴x+y=2+−3故选：D．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题、错误的命题叫假命题，也考查了点的坐标特征、一次函数的增减性、平行线的性质、非负数的性质．3．（23·24上·绍兴·阶段练习）已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足∠A:∠B:∠C=2:3:5，则这个三角形是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．任意三角形 D．锐角三角形【答案】B【分析】设∠A=2x，，∠C=5x，根据三角形内角和定理可得2x+3x+5x=180°，求出x的值即可得到答案．【详解】解：∵△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足∠A:∠B:∠C=2:3:5，∴设∠A=2x，，∠C=5x，，，解得：x=18°，∴∠C=5x=5×18°=90°，∴这个三角形是直角三角形，故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和为180°是解题的关键．4．（22·23下·苏州·阶段练习）在△ABC中，AB=5，AC=7，那么中线AD的取值范围为（

）A．1<AB<6 B．5<AB<6 C．5<AB<7 D．2<AB<12【答案】A【分析】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出EB=AC，根据三角形的三边关系求出即可．【详解】画出△ABC延长中线AD到E，使AD=DE，连接，

∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△ADC与△EDB中，BD=CD∠ADC=∠BDE∴△ADC≌△EDBSAS∴EB=AC，根据三角形的三边关系得：，∴2<AE<12，∵AE=2AD，∴1<AD<6，故选：A．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出2<2AD<12是解此题的关键．5．（22·23下·沈阳·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，BC=10，AD是高，是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交于点，下面说法正确的是（

）①△ABE的面积=△BCE的面积；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④AD=2.4．A．①②③④ B．①②③ C．①②③ D．③④【答案】B【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC=∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义即可判断③；根据三角形的面积公式即可得到判断④．【详解】解：是中线，∴AE=CE，∴△ABE的面积=△BCE的面积(等底等高的三角形的面积相等)，故①正确；∵CF是角平分线，∴∠ACF=∠BCF，∵AD为高，∴∠ADC=90°，∵∠BAC=90°，，，，，，，故②正确；∵AD为高，∴∠ADB=90°，∵∠BAC=90°，，，，∵CF是∠ACB的平分线，，，即∠FAG=2∠ACF，故③正确；∵∠BAC=90°，AD是高，∴S∵AB=6，AC=8，BC=10∴AD=6×810=4.8故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，直角三角形的面积等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于基础题型．6．（2022下·绍兴·期末）如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，EM平分∠AEF交CD于点M．G是射线上一动点（不与点M，F重合）．EH平分∠FEG交CD于点，设∠MEH=α，∠EGF=β．现有下列四个式子：①2α=β，②2α−β=180°，③α−β=30°，④2α+β=180°，在这四个式子中，正确的是(

)A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】分两种情况讨论：当点G在F的右侧时，根据两直线平行同旁内角互补得到∠AEG+∠EGM=180°，结合角平分线性质解得2α+β=180°；或当点G在F的左侧时，两直线平行内错角相等得到∠FME=∠AEM，结合三角形外角性质得到∠EGF=∠FME+∠GEM=∠GEM+∠FEM=2(∠GEM+HEG)=2∠HEM，解得2α=β．【详解】解：当点G在F的右侧时，平分∠AEF∴∠AEM=∠MEF=平分∠FEG∴∠FEH=∠GEH=设∠MEH=α，∠EGF=β∵AB∴∠AEG+∠EGM=180°∴∠AEF+∠FEG+∠EGM=180°∴2α+β=180°，当点G在F的左侧时，平分∠AEF∴∠AEM=∠MEF=平分∠FEG∴∠FEH=∠GEH=设∠MEH=α，∠EGF=β∵AB∴∠FME=∠AEM∴∠AEM=∠FEM∵∠EGF=∠FME+∠GEM=∠GEM+∠FEM=2(∠GEM+HEG)=2∠HEM∴β=2α综上所述，2α+β=180°或β=2α故①④正确,②③错误故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角性质、角平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．7．（2022下·张家界·期末）如图：CD∥AB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，∠BAC=40°，∠1=∠2，则下列结论：①∠ACE=2∠4；②CB⊥CF；③∠1=70°；④∠3=2∠4，其中正确的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】C【分析】根据角平分线的性质可得∠ACB=12∠ACD，∠ACF=12∠ACG，再利用平角定义可得∠BCF=90°，进而可得②正确；首先计算出∠ACB的度数，再利用平行线的性质可得∠2的度数，从而可得∠1的度数，进而可得③正确；利用三角形内角和计算出∠3的度数，然后计算出∠ACE的度数，可分析出①错误；根据【详解】解：如图，∵BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，∴∠ACB=1∵∠ACG+∠ACD=180°，∴∠ACF+∠ACB=90°，∴CB⊥CF，故②正确，∵CD∥AB，∠BAC=40°，∴∠ACG=40°，∴∠ACF=∠4=20°，∴∠ACB=90°-20°=70°，∴∠BCD=70°，∵CD∥AB，∴∠2=∠BCD=70°，∵∠1=∠2，∴∠1=70°，故③正确；∵∠BCD=70°，∴∠ACB=70°，∵∠1=∠2=70°，∴∠3=40°，∴∠ACE=30°，∴①∠ACE=2∠4错误；∵∠4=20°，∠3=40°，∴∠3=2∠4，故④正确，故选：C．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的性质，理清图中角之间的和差关系是解题的关键．8．（2021下·巴南·期中）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H，点F是边AB上一点，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G．若∠BEG＝40°，则∠DEH的度数为（）A．50° B．75° C．100° D．125°【答案】C【分析】∠BEG=∠FEG-∠FEB=β−α=40°，∠AEF=180°-∠FEG-∠HEG=180°-2β，在△AEF中，∠FAE=2β−2α=80°，AD∥BC，∠D=∠ABC，得到AB∥CD，由平行线的性质和邻补角的定义即可求解．【详解】解：设∠FBE=∠FEB=α，则∠AFE=2α，∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH=∠GEF=β，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠D=∠ABC，∴∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD，∵∠BEG=40°，∴∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，∵∠AEF=180°-∠FEG-∠HEG=180°-2β，在△AEF中，180°-2β+2α+∠FAE=180°，∴∠FAE=2β-2α=2（β-α）=80°，∵AB∥CD，∴∠CEH=∠FAE=80°，∴∠DEH=180°-∠CEH=100°．故选：C．【点睛】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平行线性质定理、三角形外角定理，本题关键是用有关α，β的等式表示出△AEF内角和为180°，题目难度较大．9．（22·23下·苏州·期中）如图①，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中∠C=90°，∠A=30°，∠EDC=45°，BC<CD<AC，现按住三角板ABC不动，将三角板DCE绕点C顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记∠BCD=k∠ACE（k为常数），给出下列四个说法：①当k=1时，直线AB与直线DE相交所成的锐角度数为；②当k=3时，DE∥BC；③当CE⊥AB时，k=2；④当CE∥AB时，k=5．其中正确的说法的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】先证明∠BCD+∠ACE=180°，然后求出当k=1时，，由此按照图①求解即可判断（1）；当k=3时，求得，∠BCE=90°−∠ACE=45°，则∠BCE=∠CED，即可判断（2）；当CE⊥AB时，先求出∠BCE=30°，则∠BCD=∠BCE+90°=120°，∠ACE=90°−30°=60°，即可判断（3）；根据题意当CE∥AB时，只有如图②一种情况，据此判断（4）即可．【详解】解：当三角板DCE旋转角度小于90度时，如题干图②，设直线AB与直线ED交于F，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD，∴∠BCD+∠ACE=∠ACB+∠ACE+∠ACD=180°，当k=1时，即，如图①所示，∴，∴∠AFD=∠EDC−∠A=15°；当三角板DCE旋转角度大于90°时，如图②所示，∴∠ACE+∠BCD=360°−∠ACB−∠ECD=180°，∴当k=1时，即，∴，∴此时△ECD在图中△E∴∠AF当三角板DCE旋转角度小于90度时，如图③所示，当k=3时，∠BCD=3∠ACE，∴3∠ACE+∠ACE=180°，∴，∴∠BCE=90°−∠ACE=45°，∴∠BCE=∠CED，∴DE∥BC；当三角板DCE旋转角的大于90°时，如图④所示，同理可得，∴∠ACE=∠CED，∴DE∥AC，∵AC⊥BC，∴DE⊥BC，故（2）错误；如图⑤所示，当CE⊥AB时，∵∠ABC=60°，∴∠BCE=30°，∴∠BCD=∠BCE+∠ECD=120°，∠ACE=∠ACB−∠BCE=60°，∴∠BCD=2∠ACE，∴k=2，故（3）正确；由于△DCE顺时针旋转到B、C、E共线时停止，∴当CE∥AB时，只有如下图⑥一种情况，∴∠ACE=∠A=30°，∴∠BCD=360°−∠ACB−∠ACE−∠ECD=150°，∴∠BCD=5∠ACE，∴k=5，故（4）正确，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角板中角度的计算，三角形内角和定理，平行线的判定，正确理解题意是解题的关键．10．（22·23下·邯郸·阶段练习）题目：“如图，在△ABC中，，将△MNC沿MN折叠得到△MNC'，若MC'与△ABC的边平行，求∠C'MN．”甲答：

A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整【答案】B【分析】MC'与△ABC的边平行，画图有两种情况，MC当MC'∥BC当MC'∥AB【详解】解：①如图，MC'与△ABC的边

∵△MNC沿MN折叠得到△MNC∴∠又∵M∴∠∴∠CMN=∠MNC∵∠C=65°∴∠CMN=∠MNC=∴∠②如图，MC'与△ABC的边

∵△MNC沿MN折叠得到△MNC∴∠∵M∴∠M∴∠CMN=∠故选：B．【点睛】本题考查了三角形的折叠与平行的结合，几何图形折叠后对应角相等和两直线平行同位角内错角相等是解题的关键．二、填空题（每题5分）11．（23·24上·日照·阶段练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为．

【答案】180°【分析】根据三角形的外角的性质和三角形的内角和即可得到结论．【详解】解：如图，延长ED交AB于F，

，，，，故答案为：180°．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°．12．（22·23下·宿州·期中）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起．如图2，其中∠ACB=30°，∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE=α(0°<α<180°)．(1)若AD⊥BC，则α为；(2)当0°<α<45°时，连接BD，如图3，则∠BDE+∠CAE+∠DBC=．

【答案】105°/105度105°/105度【分析】（1）记AD与BC的交点为F．根据三角形内角和定理得出∠DAC，进而根据∠CAE=∠DAC+∠DAE，即可求解；（2）设BD分别交AC，AE于点M，N．在△AMN中，根据三角形内角和定理∠AMN+∠CAE+∠ANM=180°，根据∠ANM=∠E+∠BDE，∠AMN=∠C+∠DBC，可得∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°，即可得出∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°．【详解】（1）如图，记AD与BC的交点为F．∵AD⊥BC，．∴∠DAC=180°−∠AFC−∠C=60°．∴∠CAE=∠DAC+∠DAE=60°+45°=105°，即．

故答案为：105°．（2）如图，设BD分别交AC，AE于点M，N．在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM=180°．∵∠ANM=∠E+∠BDE，∠AMN=∠C+∠DBC，∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°．∵∠C=30°，∠E=45°，∴∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°．

故答案为：105°．【点睛】本题考查了垂直的定义，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．13．（2022下·武汉·期中）①如图1，若AB∥CD，则∠A+∠E+∠C=360°；②如图2，若AB∥CD，则∠P=∠A−∠C；③如图3，若AB∥CD，则∠E=∠A+∠1；④如图4，若AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α−∠β+∠γ=180°．以上结论正确的序号是．【答案】①②④【分析】①过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质即可得出结论；②先根据三角形外角的性质得出∠1=∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；③过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC-∠1=180°，即得∠AEC=180°+∠1-∠A；④根据平行线的性质得出∠α=∠BOF，∠γ+∠COF=180°，进而利用角的关系解答即可．【详解】解：①如图1，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1=180°，∠2+∠C=180°，∴∠A+∠B+∠AEC=360°，故本结论正确，符合题意；②如图2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1=∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A=∠1，∴∠A=∠C+∠P，∴∠P=∠A-∠C，故本结论正确，符合题意；③如图3，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3=180°，∠1=∠2，∴∠A+∠AEC-∠1=180°，即∠AEC=180°+∠1-∠A，故本结论错误，不符合题意；④如图4，∵AB∥EF，∴∠α=∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF=180°，∵∠BOF=∠COF+∠β，∴∠COF=∠α-∠β，∴∠γ+∠α-∠β=180°，故本结论正确，符合题意；故答案为：①②④．【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．14．（2022下·成都·期中）如图，已知∠AOB=7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A=90°−7°=83°．当∠A<83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点，易知∠1=∠2．若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A=°．若光线从【答案】766【分析】根据入射角等于反射角得出∠1=∠2=90°−7°=83°，再由∠1是△AA1O的外角即可得∠A度数；如图，当MN⊥OA时，光线沿原路返回，分别根据入射角等于反射角和外角性质求出∠5、∠9【详解】解：∵A1A∴∠1=∠2=90°−7°=83°，∴∠A=∠1−∠AOB=76°，如图：当MN⊥OA时，光线沿原路返回，∴∠4=∠3=90°−7°=83°，∴∠6=∠5=∠4−∠AOB=83°−7°=76°=90°−2×7°，∴∠8=∠7=∠6−∠AOB=76°−7°=90°−3×7°，∴∠9=∠8−∠AOB=69°−7°=62°=90°−4×7°，由以上规律可知，∠A=90°−2n⋅当n=6时，∠A取得最小值，最小度数为6°，故答案为：76，6．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质和三角形的外角性质及入射角等于反射角，根据三角形的外角性质及入射角等于反射角得出与∠A具有相同位置的角的度数变化规律是解题的关键．三、解答题15．（23·24上·专题练习）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形三个内角和是180°，“对顶三角形”有如下性质：．性质理解：（1）如图1，在“对顶三角形”∠AOB与△COD中，则∠AOB=85°，则∠C+∠D=°．性质应用：（2）如图2，在△ABC中，AD、分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比大8°，求的度数．拓展提高：（3）如图3，、CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A=α，请尝试求出∠P的度数（用含α的式了表示∠P）．【答案】（1）95；（2）∠BED=26°；（3）∠P=45°−1【分析】（1）由对顶三角形可得，再根据三角形内角和定理即可得到答案；（2）由对顶三角形的性质以及三角形内角和定理得到∠ADE+∠BED=60°，再根据已知即可求解；（3）利用三角形内角和定理求得∠ABE+∠ACD=90°−12α，再利用角平分线的定义求得∠CEP=【详解】解：（1）由对顶三角形可得，在△AOB中，∠A+∠B=180°−∠AOB=180°−85°=95°，∴∠C+∠D=95°，故答案为：95；（2）在△ABC中，∠C=60°，∴∠BAC+∠ABC=120°，∵AD、分别平分∠BAC和∠ABC，∴∠FBA+∠FAB=1∴∠ADE+∠BED=60°，∵∠ADE−∠BED=8°，∴∠ADE=34°，∠BED=26°；（3）45°−理由：在△ABC中，∠A=α，，、CD分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABE=∠CBE=1∠ACD=∠BCD=1∴∠ABE+∠ACD==90°−1∵∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，∴∠CEP=1∠CDP=1∵∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，∴∠P=∠CEP+∠ACD+∠CDP====45°−1故：∠P=45°−1【点睛】本题考查了几何新定义，三角形的角平分线，三角形内角和定理，理解新定义，会根据新定义的进行计算是解题的关键．四、问答题16．（23·24上·昆明·期中）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，AH是△ABC边BC上的高，且∠ACB=70°，，求∠BAH的度数．

【答案】45°【分析】根据角平分线的定义可得∠ACD=35°，再根据三角形的内角和是180°求出∠BAC，再由直角三角形的两锐角互余即可求解，根据∠BAH=∠BAC−∠HAC，即可得解．【详解】解：∵CD平分∠ACB，∠ACB=70°，∴∠ACD=1∵∠ADC=80°，∴∠BAC=180°−∠ACD−∠ADC=180°−35°−80°=65°，∵AH⊥BC，∴∠AHC=90°，，∴∠BAH=∠BAC−∠HAC=65°−20°=45°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的定义基本知识．17．（23·24上·济宁·阶段练习）在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点E．

(1)如图①，若∠A=70°，则∠E=________；如图②，若∠A=90°，则∠E=_______；如图③，若∠A=130°，则∠E=________；(2)根据以上求解的过程，你发现∠A与∠E之间有什么关系？如果有，写出你的发现过程；如果没有，请说明理由（借助图①）．【答案】(1)35°，45°，65°(2)有，∠E=【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，再根据角平分线的定义可得∠EBC=12∠ABC，∠ECD=（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，再根据角平分线的定义可得∠EBC=12∠ABC，∠ECD=【详解】（1）解：（1）由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E，∴∠EBC=12∠ABC∴∠E+∠EBC=1，若∠A=70°时，；若∠A=90°时，，若∠A=130°时，；故答案为：35°，45°，65°；（2）解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E，∴∠EBC=12∠ABC∴∠E+∠EBC=1．【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并能运用整体思想是解题的关键．18．（23·24上·厦门·阶段练习）如图，△ABC中，AD平分∠BAC,P为AD延长线上一点，PE⊥BC于E，已知∠ACB=70°，∠B=28°，求∠P的度数．【答案】21°【分析】三角形内角和定理，求出∠BAC的度数，角平分线，求∠CAD的度数，再用外角的性质进行求解即可．【详解】解：∵∠ACB=70°，∠B=28°，∴∠BAC=180°−70°−28°=82°，∵AD平分∠BAC，PE⊥BC，∴∠CAD=12∠BAC=41°∵∠ADE=∠DAC+∠C=∠PED+∠P，∴∠P=70°+41°−90°=21°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理以及外角的性质，正确的识图，理清角度之间的关系，掌握三角形的内角和定理以及外角的性质，是解题的关键．五、证明题19．（23·24上·石家庄·阶段练习）把一副三角板ABC和DEF按照图1~图3的方式放置，使△ABC中的60°角的顶点B和直角顶点C分别在含有45°角的△DEF的两条直角边上．

(1)如图1，若BC∥DF，点E在△ABC的内部，则∠ABE=______°，______°，∠A+∠ABE+∠ACE=______°．(2)如图2，若BC与DF不平行，点E在△ABC的内部，求∠A，∠ABE，∠ACE满足的数量关系．(3)如图3，若BC与DF不平行，点E在△ABC的外部，（2）中所求的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论（用等式表示），并说明理由．【答案】(1)15，45，90(2)∠A+∠ABE+∠ACE=90°(3)不成立，正确结论是∠ACE+∠A−∠ABE=90°，理由见解析【分析】（1）由BC∥DF得到∠EBC=∠EDF=45°，∠ECB=∠EFD=45°，得到∠ABE=∠ABC−∠EBC=15°，∠ACE=∠ACB−∠ECB=45°，即可得到∠A+∠ABE+∠ACE=90°；（2）根据三角形内角和定理求出∠EBC+∠ECB=90°，即可得到∠A+∠ABE+∠ACE=180°−∠EBC+∠ECB（3）设AB与EF相交于点G，则∠AGC=∠BGE=180°−∠ABE−∠E=90°−∠ABE，由∠AGC+∠ACE+∠A=180°得90°−∠ABE+∠ACE+∠A=180°，即可得到∠ACE+∠A−∠ABE=90°．【详解】（1）解：∵BC∥DF，∴∠EBC=∠EDF=45°，∠ECB=∠EFD=45°，∴∠ABE=∠ABC−∠EBC=60°−45°=15°，∠ACE=∠ACB−∠ECB=90°−45°=45°，∴∠A+∠ABE+∠ACE=30°+15°+45°=90°，故答案为：15，45，90（2）∵∠EBC+∠ECB+∠E=180°，∴∠EBC+∠ECB=180°−∠E=180°−90°=90°，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+∠ABE+∠ACE=180°−∠EBC−∠ECB=180°−∠EBC+∠ECB（3）不成立，正确结论是∠ACE+∠A−∠ABE=90°，理由如下：如图3，设AB与EF相交于点G，

则∠AGC=∠BGE=180°−∠ABE−∠E=90°−∠ABE，∵∠AGC+∠ACE+∠A=180°，∴90°−∠ABE+∠ACE+∠A=180°，∴∠ACE+∠A−∠ABE=90°．【点睛】此题考查了三角形内角和定理的应用、对顶角相等、平行线的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．20．（23·24上·周测）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D、E分别在边BC、AC上．(1)若∠ADE=∠B，求证：∠BAD=∠CDE；(2)若∠ADE=∠AED，求∠BAD∠CDE【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）先根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD，再根据∠ADC=∠ADE+∠CDE，∠ADE=∠B即可得出结论；（2）先根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EDC，再根据∠B=∠C，∠ADE=∠AED即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠ADC是△ABD的外角，，即：∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，又，∴∠BAD=∠CDE；（2）∵∠ADE=∠AED，∠AED=∠C+∠CDE，∴∠ADE=∠C+∠CDE．，∴∠C+∠CDE+∠CDE=∠B+∠BAD，又∵∠B=∠C，∴∠BAD=2∠CDE，∠BAD∠CDE【点睛】本题考查了三角形的外角性质；熟练掌握三角形的外角性质是解决问题的关键．21．（23·24上·齐齐哈尔·阶段练习）如图1，∠ACD是△ABC的外角，平分∠ABC，CE平分∠ACD，且、CE交于点E．

(1)求证：∠E=1(2)如图2，若、CE是△ABC两内角的平分线且交于点E，则∠E与∠A的关系是______．(3)如图3，若、CE是△ABC两外角的平分线且交于点E，则∠E与∠A的关系是______．【答案】(1)见解析(2)∠E=90°+(3)∠E=90°−【分析】（1）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠4=∠E+∠2；由角平分线的性质，得∠3=12(∠A+∠ABC)，，利用等量代换，即可求得∠A与（2）根据∠E=180°−1（3）由于、CE是两外角的平分线，故∠2=12∠CBD，∠4=12∠BCF，由三角形外角的性质可知，∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，由角平分线的定义可知，∠2=12(∠A+∠ACB)，【详解】（1）如图

∵∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠3=1又∵∠4=∠E+∠2，∴∠E+∠2=1平分∠ABC，∴∠2=112；（2）、CE是ΔABC两内角的平分线且交于点E，∴∠A=180°−(∠ABC+∠ACB)，∠ABC+∠ACB=180°−∠A∠E=180°−1故答案为：90°+1（3）、CE是两外角的平分线，∴∠2=12∠CBD而∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，∴∠2=12(∠A+∠ACB)∵∠E+∠2+∠4=180°，∴∠E+12(∠A+∠ACB)+∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∴∠E+1故答案为：∠E+1【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，在解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．22．（23·24上·赣州·期末）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AB、CD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有_______个，以点O为交点的“8字型”有________个；②若，∠C=120°，求∠P的度数；③根据②的结果直接写出∠B、∠C、∠P之间的关系（不需要证明）．

【答案】(1)见详解(2)①3，4②110°③∠B+∠C=2∠P【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；（2）①根据“8字型”的定义判断即可；②由（1）结论可得在△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM，在△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN，两式相加再由角平分线的定义即可解答；③根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，在△AMC和△DMP中，可有∠C+∠1=∠P+∠3，即∠C−∠P=∠P+∠3−∠1，同理在△BDN和△PAN中，可有∠B=∠P+∠2−∠4【详解】（1）证明：在△AOC中，，在△BOD中，∠B+∠D=180°−∠BOD，∵∠AOC=∠BOD，∴∠A+∠C=∠B+∠D；（2）解：①以线段AC为边的“8字型”有：△ACM和△PDM，△ACO和△BOD，△ACO和△DNO，共3个；以点O为交点的“8字型”有：△ACO和△BDO，△ACO和△DNO，和△BDO，和△DNO，共4个；故