高等数学 下册 课件 第6章 多元函数微分学

第六章Advancedmathematics多元函数微分学高等数学上海财经大学数学学院

编目录/Contents第六章多元函数微分学第一节空间解析几何简介第二节多元函数的基本概念、极限与连续性第三节偏导数第四节全微分第五节方向导数与梯度第六节多元复合函数及隐函数的求导法则第七节多元函数的极值及其应用e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、空间两点间的距离三、空间曲面及其方程四、空间曲线五、常见的二次曲面六、空间曲线在坐标面上的投影目录/Contents第一节空间解析几何简介一、空间直角坐标系图6.1一、空间直角坐标系图6.2一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系

一、空间直角坐标系面面面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ图6.3

一、空间直角坐标系

一、空间直角坐标系e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、空间两点间的距离三、空间曲面及其方程四、空间曲线五、常见的二次曲面六、空间曲线在坐标面上的投影目录/Contents第一节空间解析几何简介一、空间直角坐标系图6.4二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、空间两点间的距离三、空间曲面及其方程四、空间曲线五、常见的二次曲面六、空间曲线在坐标面上的投影目录/Contents第一节空间解析几何简介一、空间直角坐标系图6.5三、空间曲面及其方程三、空间曲面及其方程图6.6(a)(b)三、空间曲面及其方程三、空间曲面及其方程图6.7三、空间曲面及其方程三、空间曲面及其方程三、空间曲面及其方程图6.8三、空间曲面及其方程三、空间曲面及其方程e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、空间两点间的距离三、空间曲面及其方程四、空间曲线五、常见的二次曲面六、空间曲线在坐标面上的投影目录/Contents第一节空间解析几何简介一、空间直角坐标系1.空间曲线方程e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、空间两点间的距离三、空间曲面及其方程四、空间曲线五、常见的二次曲面六、空间曲线在坐标面上的投影目录/Contents第一节空间解析几何简介一、空间直角坐标系e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents五、常见的二次曲面（一）柱面（二）椭球面（三）锥面（四）抛物面图6.11（一）柱面（一）柱面2.抛物柱面3.双曲柱面1.椭圆柱面1.椭圆柱面1.椭圆柱面图6.121.椭圆柱面图6.132.抛物柱面图6.143.双曲柱面3.双曲柱面（二）椭球面图6.15（二）椭球面

用截痕法可以画出椭球面的图形.显然，椭球面关于坐标面、坐标轴和坐标原点都是对称的.如图6.15所示.（二）椭球面图6.16（三）锥面图6.17（三）锥面图6.18（四）抛物面e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、空间两点间的距离三、空间曲面及其方程四、空间曲线五、常见的二次曲面六、空间曲线在坐标面上的投影目录/Contents第一节空间解析几何简介一、空间直角坐标系六、空间曲线在坐标面上的投影六、空间曲线在坐标面上的投影图6.10六、空间曲线在坐标面上的投影e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics学海无涯，祝你成功！高等数学上海财经大学数学学院

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编目录/Contents第六章多元函数微分学第一节空间解析几何简介第二节多元函数的基本概念、极限与连续性第三节偏导数第四节全微分第五节方向导数与梯度第六节多元复合函数及隐函数的求导法则第七节多元函数的极值及其应用e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、多元函数的概念三、二元函数的极限四、二元函数的连续性目录/Contents第二节多元函数的概念一、平面区域一、平面区域一、平面区域一、平面区域图6.19图6.20一、平面区域e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第二节多元函数的概念一、平面区域二、多元函数的概念三、二元函数的极限四、二元函数的连续性二、多元函数的概念二、多元函数的概念二、多元函数的概念二、多元函数的概念二、多元函数的概念二、多元函数的概念图6.21二、多元函数的概念图6.22二、多元函数的概念图6.23二、多元函数的概念e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第二节多元函数的概念一、平面区域二、多元函数的概念三、二元函数的极限四、二元函数的连续性三、二元函数的极限三、二元函数的极限当点三、二元函数的极限三、二元函数的极限三、二元函数的极限三、二元函数的极限e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第二节多元函数的概念一、平面区域二、多元函数的概念三、二元函数的极限四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics学海无涯，祝你成功！高等数学上海财经大学数学学院

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编目录/Contents第六章多元函数微分学第一节空间解析几何简介第二节多元函数的基本概念、极限与连续性第三节偏导数第四节全微分第五节方向导数与梯度第六节多元复合函数及隐函数的求导法则第七节多元函数的极值及其应用e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、偏导数的几何意义及偏导数存在与连续的关系三、高阶偏导数四、偏导数在经济分析中的应用目录/Contents第三节偏导数一、偏导数的定义和计算e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents一、偏导数的定义与计算1.偏导数的定义2.偏导数的计算1.偏导数的定义1.偏导数的定义1.偏导数的定义2.偏导数的计算2.偏导数的计算2.偏导数的计算2.偏导数的计算2.偏导数的计算2.偏导数的计算e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第三节偏导数一、偏导数的定义和计算二、偏导数的几何意义及偏导数存在与连续的关系三、高阶偏导数四、偏导数在经济分析中的应用二、偏导数的几何意义及偏导数存在与连续的关系图6.24二、偏导数的几何意义及偏导数存在与连续的关系二、偏导数的几何意义及偏导数存在与连续的关系二、偏导数的几何意义及偏导数存在与连续的关系e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第三节偏导数一、偏导数的定义和计算二、偏导数的几何意义及偏导数存在与连续的关系三、高阶偏导数四、偏导数在经济分析中的应用三、高阶偏导数三、高阶偏导数三、高阶偏导数三、高阶偏导数三、高阶偏导数三、高阶偏导数e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第三节偏导数一、偏导数的定义和计算二、偏导数的几何意义及偏导数存在与连续的关系三、高阶偏导数四、偏导数在经济分析中的应用e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents四、偏导数在经济分析中的应用1.联合成本函数的分析2.需求函数的边际分析3.需求函数的偏弹性1.联合成本函数的分析1.联合成本函数的分析1.联合成本函数的分析1.联合成本函数的分析2.需求函数的边际分析2.需求函数的边际分析2.需求函数的边际分析2.需求函数的边际分析2.需求函数的边际分析2.需求函数的边际分析2.需求函数的边际分析3.需求函数的偏弹性3.需求函数的偏弹性3.需求函数的偏弹性3.需求函数的偏弹性3.需求函数的偏弹性3.需求函数的偏弹性e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics学海无涯，祝你成功！高等数学上海财经大学数学学院

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编目录/Contents第六章多元函数微分学第一节空间解析几何简介第二节多元函数的基本概念、极限与连续性第三节偏导数第四节全微分第五节方向导数与梯度第六节多元复合函数及隐函数的求导法则第七节多元函数的极值及其应用e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、全微分与偏导数的关系目录/Contents第四节全微分一、全微分的概念三、近似计算一、全微分的概念图6.25一、全微分的概念一、全微分的概念一、全微分的概念e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第四节全微分一、全微分的概念二、全微分与偏导数的关系三、近似计算二、全微分与偏导数的关系二、全微分与偏导数的关系二、全微分与偏导数的关系二、全微分与偏导数的关系二、全微分与偏导数的关系二、全微分与偏导数的关系=8,=5,二、全微分与偏导数的关系二、全微分与偏导数的关系二、全微分与偏导数的关系e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第四节全微分一、全微分的概念二、全微分与偏导数的关系三、近似计算三、近似计算二、全微分与偏导数的关系e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics学海无涯，祝你成功！高等数学上海财经大学数学学院

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编目录/Contents第六章多元函数微分学第一节空间解析几何简介第二节多元函数的基本概念、极限与连续性第三节偏导数第四节全微分第五节方向导数与梯度第六节多元复合函数及隐函数的求导法则第七节多元函数的极值及其应用e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、二元函数的最值目录/Contents第七节多元函数的极值及其应用一、二元函数的极值三、条件极值一、二元函数的极值定义6.11设函数在点的某个邻域内有定义,

如果对于该邻域内异于点的任何点,

都有,

则称函数在点有极大值,

点称为函数的极大值点；如果对于该邻域内异于点的任何点,

都有,

则称函数在点有极小值,

点称为函数的极小值点.极大值和极小值统称为极值,

使函数取极值的点称为极值点.与一元函数的极值相似,二元函数的极值也是二元函数的一种局部性质.一、二元函数的极值【例1】根据定义,

分析下列函数在处的极值情况:(1)；(2)；(3).解(1)函数在点处有极小值.因为点的任一邻城内异于的点的函数值都为正,

而在点处的函数值为零.从几何上看,

这是显,

然的因为点是开口朝上的旋转抛物面的底点.一、二元函数的极值(2)函数在点处有极大值.因为点的任一邻城内异于的点的函数值都为负,

而在点处的函数值为零.从几何上看,

这是显然的,

因为点是位于坐标面下方的圆锥面的顶点.(3)函数在点处取不到极值.因为在点处的函数值为零,

而在点的任一邻城内,

总有使函数值为正的点(第一、第三象限中的点),

也有使函数值为负的点（第二、第四象限中的点）.一、二元函数的极值定理6.9（极值存在的必要条件）设函数在点存在偏导数,

且函数在点处有极值,

证明由于在点处有极值,

所以当时,

一元函数在处有极值.根据一元函数极值存在的必要条件,

有,

同理,

有.使偏导数,

同时成立的点称为函数的驻点.则.一、二元函数的极值定理6.10(极值存在的充分条件)设函数在点的邻域内有连续的二阶偏导数,

且点为函数的驻点,

记,

则(1)当时,

是函数的极值；且当时,

是极大值；是极小值；(2)当时,

不是函数的极值.时,

当一、二元函数的极值利用上面两个定理,

对于具有二阶连续偏导数的函数,

求极值的步骤如下:1.求驻点,

即解方程组的点；2.对于每个驻点,

求出二阶偏导数的值；3.由的符号,

判断是否取极值,

由的符号判定是极大值还是极小值；4.求出极值.一、二元函数的极值判断不是极值为极大值【例2】求函数的极值.解解方程组,得驻点,.由于列表讨论如下：,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、二元函数的最值目录/Contents第七节多元函数的极值及其应用一、二元函数的极值三、条件极值二、二元函数的最值定义6.12设函数在某区域上有定义,

对于该区域上的任何点,

如果都有,

则称为函数在区域上的最大值；如果有,

则称为函数在区域上的最小值.最大值和最小值统称为最值,

使函数取最值的点称为最值点.二、二元函数的最值由本章第一节闭域上的多元连续函数的几个性质（有界性,

最值定理,

介值定理）我们知道,

当函数在闭区域上连续时,

函数在上必有最大值和最小值.关于在闭区域上连续函数的最大(小)值求法与闭区间上连续函数的最大（小）值求法相类似.在实际问题中,

如果根据问题的性质知道的最大(小)值一定在的内部取得,

并且在内具有唯一的驻点,

那么可以断定这个唯一的驻点处的函数值就是在上的最大（小）值.二、二元函数的最值【例3】某工厂生产、两种产品,

销售单价分别是千元与千元,

生产单位的产品与生产单位的产品的总费用是(千元),

求：当、产品的产量分别为多少时,

能使获得的总利润最大？并求最大总利润.解设为产品、分别生产和单位时所得的总利润.所以,

个单位,由于该实际问题有最大值,所以当产品生产产品生二、二元函数的最值由得唯一驻点.产个单位时,所得总利润最大,最大总利润为千元.二、二元函数的最值【例4】设分别为商品的需求量,

它们的需求函数为,

,

总成本函数为,

其中和为商品和的价格（单位：万元）,

试问价格和取何值时可使总利润最大?并求最大总利润.解据题意,

总收益函数为,

总利润函数为,

二、二元函数的最值由,

即,

解得唯一的驻点.由于实际问题存在最大总利润,

所以当取价格时可获得最大总利润万元.e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、二元函数的最值