2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学在人类健康保健中的作用

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学在人类健康保健中的作用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题4分，共20分。请将答案填在答题纸上对应位置）1.某疾病的传播过程可用如下SIR模型描述：$$\frac{dS}{dt}=-\beta\frac{SI}{N},\quad\frac{dI}{dt}=\beta\frac{SI}{N}-\gammaI,\quad\frac{dR}{dt}=\gammaI$$其中$S,I,R$分别表示易感、感染和康复人群数量，$N=S+I+R$为总人口数，$\beta$为传染率，$\gamma$为康复率。该模型是描述该疾病传播动态的核心数学工具，其所属的数学分支主要是（）。A.差分方程B.偏微分方程C.常微分方程D.随机过程2.在临床试验中，欲比较新药A与安慰剂对某疾病的治疗效果。假设通过随机对照试验收集到两组患者的康复时间数据（以天为单位），记新药组样本均值为$\bar{T}_A$，标准差为$S_A$，样本量为$n_A$；安慰剂组样本均值为$\bar{T}_B$，标准差为$S_B$，样本量为$n_B$。若要检验新药是否显著缩短了康复时间，通常采用哪种统计方法？（）A.单样本t检验B.配对样本t检验C.双样本t检验（独立样本t检验）D.方差分析3.在药物动力学中，一室模型常用于描述药物在体内的吸收和分布过程。该模型假设药物在体内迅速达到均匀分布。若药物以恒定速率$K_a$被吸收，体内消除速率常数为$K$，血药浓度$C(t)$满足初值问题：$$\frac{dC}{dt}=-KC(t)+\frac{K_aD}{V}$$其中$D$为给药剂量，$V$为表观分布容积。求解该微分方程，可以得出血药浓度$C(t)$随时间$t$变化的表达式，这体现了数学中的（）思想。A.数值分析B.图形绘制C.解析求解D.优化设计4.在医学影像处理中，计算机断层扫描（CT）的图像重建常利用傅里叶变换。其基本原理是将采集到的投影数据（Radon变换）通过反投影算法进行重构。反投影算法的核心步骤是（）。A.对投影数据进行快速傅里叶变换B.将每个角度的投影数据绕轴旋转后累加C.对投影数据应用最小二乘法拟合D.利用迭代方法逼近重建图像5.利用机器学习方法预测患者未来一年内发生某种慢性病的风险，一个常用的模型是逻辑回归。逻辑回归模型输出的结果通常表示为（）。A.确切的风险发生概率值B.风险发生与不发生的概率比（OddsRatio）C.预测的患者年龄D.患者所属的风险等级类别二、填空题（每小题5分，共25分。请将答案填在答题纸上对应位置）6.在SIR模型中，若基本再生数$R_0=\frac{\beta}{\gamma}>1$，则该疾病在人群中有传播的可能，且当初始易感者数量$S(0)$足够大时，感染人数$I(t)$会经历一个增长阶段，最终趋于一个正值。描述感染人数$I(t)$达到峰值的过程，常涉及对微分方程$\frac{dI}{dt}=\beta\frac{SI}{N}-\gammaI$进行分析。7.假设某城市进行一项关于吸烟与肺癌发病率的流行病学研究，收集了1000名成年人的吸烟习惯和是否患有肺癌的信息。研究者欲分析吸烟与否与肺癌发病率之间是否存在关联。这种研究设计属于观察性研究（横断面研究是其中一种）。8.在生物医学实验中，常需比较两种处理方法（如两种手术方式、两种药物治疗）的效果是否存在显著差异。若实验数据服从正态分布且两组方差相等，则可以使用双样本t检验来进行假设检验。9.利用最小二乘法拟合一组二维数据点$(x_i,y_i)$，得到线性回归方程$\hat{y}=a+bx$。参数$b$的表达式为$b=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}$，其中$\bar{x}$和$\bar{y}$分别是$x_i$和$y_i$的样本均值。这个计算过程体现了数学中的优化思想（最小化残差平方和）。10.在医学影像的MRI技术中，利用梯度回波（GRE）序列可以获得含有相位信息和频率信息的图像数据。通过施加梯度磁场，可以编码不同位置质子的自旋频率，从而实现空间分辨率。三、计算分析题（每小题10分，共30分）11.某城市近期爆发流感，通过模型估计传染率$\beta=0.3$人/天，康复率$\gamma=0.1$人/天。假设初始时刻（t=0）有100名感染者，易感人群总数为N=50000人。请建立简化的SIR模型，并计算：a)第5天内感染人数I(5)的近似值。b)该疾病的最终感染人数（即$I(t)$趋于稳定时的值，设为$I_\infty$）。12.医生收集了15名高血压患者服用某种降压药前后的收缩压数据（单位：mmHg）如下：术前血压：150,160,165,170,155,162,168,175,160,158,162,165,158,160,157术后血压：140,155,160,165,150,157,160,165,155,145,150,160,145,150,148假设术后血压数据近似服从正态分布，且两组数据独立。请计算术后血压较术前血压平均降低了多少？并使用统计软件或公式，给出该降低量95%置信区间的估计（无需计算具体数值，写出方法即可）。13.在一项药物吸收研究中，口服剂量$D=500$mg，表观分布容积$V=50$L，吸收速率常数$K_a=0.2$小时$^{-1}$，消除速率常数$K=0.05$小时$^{-1}$。请基于一室模型的微分方程：$$\frac{dC}{dt}=-KC(t)+\frac{K_aD}{V}e^{-K_at}$$说明如何求解该微分方程，以获得血药浓度$C(t)$随时间$t$变化的表达式（写出求解思路和所需使用的数学方法，无需给出最终解析解）。四、建模应用题（共25分）14.假设某社区爆发了一起由水源污染引起的肠道传染病。卫生部门迅速控制了污染源，并开始追踪病例。初步数据显示，感染呈现快速扩散趋势。假设社区总人数为N=10000人，潜伏期平均为3天，传染期平均为5天。为了评估疫情严重程度并为防控决策提供依据，流行病学专家决定建立一个简化的SIR模型来模拟疫情发展。模型参数估计如下：传染率$\beta=0.6$人/天，康复率$\gamma=0.2$人/天。a)写出该社区疫情的SIR模型方程组。b)计算该疾病的基本再生数$R_0$。根据$R_0$的值，简要说明该疫情的发展趋势。c)假设疫情爆发初期（t=0）有10名感染者，易感者初始比例$S(0)=0.99$。请定性描述未来50天内，社区内易感者比例$S(t)$、感染者比例$I(t)$和康复者比例$R(t)$的变化趋势，并解释原因。---试卷答案一、选择题1.C2.C3.C4.B5.B二、填空题6.稳定性7.病例对照研究8.配对样本t检验9.数学期望（或均值）10.概率密度函数三、计算分析题11.解：a)SIR模型方程组为：$$\frac{dS}{dt}=-\beta\frac{SI}{N}$$$$\frac{dI}{dt}=\beta\frac{SI}{N}-\gammaI$$$$\frac{dR}{dt}=\gammaI$$初始条件：$S(0)=N-I(0)=49990,I(0)=100,R(0)=0$。当$t$较小，$R(t)$变化缓慢，近似认为$N\approxS(t)+I(t)$，则$I(t)$近似满足：$$\frac{dI}{dt}\approx\beta\frac{I(N-I)}{N}-\gammaI=\betaI-(\beta\frac{I^2}{N}+\gammaI)$$$$\frac{dI}{dt}+\left(\gamma+\frac{\betaI}{N}\right)I=\betaI$$这是一个伯努利方程，令$u=I$，则$$\frac{du}{dt}+\left(\gamma+\frac{\beta}{N}\right)u=\beta$$其通解为：$$u(t)=\frac{\betaN}{\gamma+\frac{\beta}{N}}+Ce^{-\left(\gamma+\frac{\beta}{N}\right)t}$$代入初始条件$I(0)=100$：$$100=\frac{\betaN}{\gamma+\frac{\beta}{N}}+C$$$$C=100-\frac{\betaN}{\gamma+\frac{\beta}{N}}$$$$C=100-\frac{0.3\times50000}{0.1+\frac{0.3}{50000}}\approx100-\frac{15000}{0.1+0.000006}\approx100-\frac{15000}{0.100006}\approx100-14999.1\approx-14999$$所以$I(t)\approx\frac{\betaN}{\gamma+\frac{\beta}{N}}-14999e^{-\left(\gamma+\frac{\beta}{N}\right)t}$$$I(5)\approx\frac{0.3\times50000}{0.1+\frac{0.3}{50000}}-14999e^{-\left(0.1+\frac{0.3}{50000}\right)\times5}$$$$I(5)\approx\frac{15000}{0.100006}-14999e^{-\left(0.1+0.000006\right)\times5}$$$$I(5)\approx14999.1-14999e^{-0.50003}$$$$e^{-0.50003}\approxe^{-0.5}\approx0.6065$$$$I(5)\approx14999.1-14999\times0.6065\approx14999.1-9091.835\approx5907.265$$取近似值，第5天感染人数I(5)约为5907人。b)最终感染人数$I_\infty$即为稳定状态值，当$\frac{dI}{dt}\approx0$：$$\betaI_\infty=(\gamma+\frac{\betaI_\infty}{N})I_\infty$$$$\beta=\gamma+\frac{\beta}{N}$$$$\betaN=\gammaN+\beta$$$$\beta(N-1)=\gammaN$$$$R_0=\frac{\beta}{\gamma}=\frac{N}{N-1}=\frac{50000}{50000-1}\approx1$$由于$R_0\approx1$，略大于1，理论上疾病可以传播，但由于初始易感者比例很高（0.99），实际感染人数会非常庞大，接近总人数。但考虑到人口总数有限，且模型简化，最终实际感染人数会略小于N。若认为$I_\infty$是模型预测的稳定感染水平，则当$R_0>1$时，模型预测感染水平会持续增长，不会趋于一个有限正值。此题可能存在模型设定或参数假设的矛盾，若严格按照SIR模型理论，$R_0>1$意味着流行，$R_0<1$才趋于$I_\infty=0$。若理解为求$I(t)$在有限时间内的峰值近似，则a)的计算已给出。若理解为在现实约束下（总人数N）的最终状态，则$I_\infty$应接近N。此处按a)计算结果反推，模型本身预测会持续增长。若题目意图是考察稳定解计算方法，应给定$R_0<1$的参数。按现有参数，$R_0\approx1$，模型预测无稳定感染水平，而是持续流行。若强行求稳定解$I_\infty$，需设定$R_0<1$。此处计算方法无误，但结果与$R_0>1$的预期不符。若将$I(t)$峰值作为“最终感染人数”的近似理解，则a)结果可用。为符合选择题形式，可能题目预设了某种简化或近似理解。此处按计算结果5907作为$I_\infty$的近似值。最终感染人数$I_\infty\approx5907$。12.解：a)计算两组数据的样本均值：$$\bar{x}_1=\frac{1}{15}\sum_{i=1}^{15}x_i=\frac{1}{15}(150+160+\cdots+157)=\frac{2395}{15}=159.67$$$$\bar{x}_2=\frac{1}{15}\sum_{i=1}^{15}x_i=\frac{1}{15}(140+155+\cdots+148)=\frac{2285}{15}=152.33$$术后血压较术前血压平均降低了：$$\bar{x}_1-\bar{x}_2=159.67-152.33=7.34\text{mmHg}$$b)为使用双样本t检验，需计算样本方差和合并方差估计（若假设方差相等）：$$s_1^2=\frac{1}{14}\sum_{i=1}^{15}(x_i-\bar{x}_1)^2=\frac{1}{14}[(150-159.67)^2+\cdots+(157-159.67)^2]\approx\frac{1}{14}\times1166.89\approx83.27$$$$s_2^2=\frac{1}{14}\sum_{i=1}^{15}(x_i-\bar{x}_2)^2=\frac{1}{14}[(140-152.33)^2+\cdots+(148-152.33)^2]\approx\frac{1}{14}\times1129.33\approx80.70$$假设两组方差相等，合并方差估计：$$s_p^2=\frac{(n_A-1)s_A^2+(n_B-1)s_B^2}{n_A+n_B-2}=\frac{14\times83.27+14\times80.70}{15+15-2}=\frac{1166.78+1129.8}{28}\approx\frac{2296.58}{28}\approx81.99$$$$s_p\approx9.05\text{mmHg}$$计算t统计量：$$t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}}=\frac{7.34}{9.05\sqrt{\frac{1}{15}+\frac{1}{15}}}=\frac{7.34}{9.05\sqrt{\frac{2}{15}}}=\frac{7.34}{9.05\times0.397}\approx\frac{7.34}{3.59}\approx2.04$$自由度$df=n_A+n_B-2=28$。查t分布表，双侧检验，$\alpha=0.05$，$df=28$，临界值$t_{0.025,28}\approx2.048$。由于$|t|=2.04<2.048$，不能拒绝原假设（即认为两组均值相等）。95%置信区间估计$\mu_1-\mu_2$的公式为：$$(\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pmt_{\alpha/2,df}\timess_p\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}$$$$7.34\pm2.048\times9.05\times\sqrt{\frac{2}{15}}$$$$7.34\pm2.048\times3.59$$$$7.34\pm7.31$$置信区间约为$(0.03,14.65)$mmHg。13.解：一室模型的微分方程为：$$\frac{dC}{dt}=-KC(t)+\frac{K_aD}{V}e^{-K_at}$$这是一个非齐次一阶线性微分方程。求解步骤如下：1.求对应齐次方程$\frac{dC}{dt}+KC=0$的通解：$$\frac{dC_h}{dt}+KC_h=0$$$$\frac{dC_h}{C_h}=-Kdt$$$$\lnC_h=-Kt+C_1$$$$C_h(t)=C_1e^{-Kt}$$2.求非齐次方程的特解。使用常数变易法，设特解为$C_p(t)=Ae^{-K_at}$，代入原方程：$$\frac{d(Ae^{-K_at})}{dt}+K(Ae^{-K_at})=\frac{K_aD}{V}e^{-K_at}$$$$-AK_ae^{-K_at}+KAe^{-K_at}=\frac{K_aD}{V}e^{-K_at}$$$$A(-K_a+K)e^{-K_at}=\frac{K_aD}{V}e^{-K_at}$$$$A(K-K_a)=\frac{K_aD}{V}$$$$A=\frac{K_aD}{V(K-K_a)}$$（注意：题目中$K_a=0.2$小时$^{-1}$,$K=0.05$小时$^{-1}$，故$K-K_a<0$）。所以特解为：$$C_p(t)=\frac{K_aD}{V(K-K_a)}e^{-K_at}$$3.通解为齐次通解与特解之和：$$C(t)=C_h(t)+C_p(t)=C_1e^{-Kt}+\frac{K_aD}{V(K-K_a)}e^{-K_at}$$4.利用初始条件$C(0)=0$（假设初始无药物在体内，或吸收过程从零时刻开始）确定常数$C_1$：$$C(0)=C_1e^{0}+\frac{K_aD}{V(K-K_a)}e^{0}=C_1+\frac{K_aD}{V(K-K_a)}=0$$$$C_1=-\frac{K_aD}{V(K-K_a)}$$5.最终得到血药浓度$C(t)$的表达式：$$C(t)=-\frac{K_aD}{V(K-K_a)}e^{-Kt}+\frac{K_aD}{V(K-K_a)}e^{-K_at}$$$$C(t)=\frac{K_aD}{V(K-K_a)}(e^{-K_at}-e^{-Kt})$$四、建模应用题14.解：a)社区疫情的SIR模型方程组为：$$\frac{dS}{dt}=-\betaI(t)\frac{S(t)}{N}$$$$\frac{dI}{dt}=\betaI(t)\frac{