2025年大学《数理基础科学》专业题库- 数值计算在工程中的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数值计算在工程中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题3分，共15分。请将正确选项的字母填在题后的括号内）1.当用3位十进制数表示0.1时，其绝对误差限为（）。A.0.001B.0.0001C.0.01D.0.12.数值算法B是数值稳定的，若用算法B求解某问题，其舍入误差不增长，则该算法（）。A.一定收敛B.一定发散C.可能收敛也可能发散D.与收敛性无关3.在插值问题中，若插值节点越多，则（）。A.插值多项式的次数越高B.插值误差一定越小C.插值多项式一定越光滑D.插值多项式越接近被插值函数4.使用牛顿迭代法求方程x³-x-1=0在区间[1,2]内的根，其迭代公式为（）。A.x(k+1)=x(k)-(x(k)³-x(k)-1)/(3x(k)²-1)B.x(k+1)=x(k)-(x(k)³-x(k)-1)/(2x(k)²-1)C.x(k+1)=x(k)-(x(k)³-x(k)-1)/(3x(k)²+1)D.x(k+1)=x(k)-(x(k)³-x(k)-1)/x(k)5.对于求解线性方程组Ax=b，若系数矩阵A是严格对角占优的，则（）。A.Jacobi迭代法一定收敛B.Gauss-Seidel迭代法一定收敛C.迭代法收敛速度一定最快D.A和B都成立二、填空题（每小题4分，共20分。请将答案填在题后的横线上）1.设x的真值为α，它的近似值x的相对误差为ε_r，则|ε_r|≤________。2.数值求导的有限差分公式中，中心差分公式比向前差分公式和向后差分公式具有更高的精度，其误差阶为________。3.拉格朗日插值基函数L_i(x)满足性质L_i(x_i)=________，L_i(x_j)=________(j≠i)。4.用迭代法求解线性方程组Ax=b时，为了保证迭代序列收敛，系数矩阵A通常需要满足________条件。5.数值积分的梯形法则是将曲线段近似为________，其公式为∫[a,b]f(x)dx≈________。三、计算题（每小题10分，共30分）1.已知函数f(x)=e^x，试用拉格朗日插值法求f(0.81)的近似值，节点为x0=0,x1=1。要求给出插值多项式P1(x)的表达式，并计算结果。（注：e^0≈1,e^1≈2.718）2.用迭代法求方程x=cos(x)在区间[0,1]内的根，要求迭代3次。（迭代初值x0=0.5）3.已知线性方程组如下：4x₁-x₂+x₃=2-x₁+5x₂=3x₁+x₂+4x₃=-1试用高斯消元法将其化为上三角形矩阵形式。四、算法设计题（每小题15分，共30分）1.编写一个用牛顿迭代法求方程f(x)=x^3-2x-5=0在区间[2,3]内实根的算法流程（用伪代码表示），要求当相邻两次迭代根的差的绝对值小于10^-5时停止迭代，并给出初始迭代值x0=2.5。2.设给定一组数据点(x_i,y_i)(i=0,1,...,n)，试用MATLAB或Python代码（无需运行，只需写出核心代码段）实现分段线性插值函数的构建，即对于任意x，若x_i≤x≤x_{i+1}，则返回插值结果L(x)=y_i+(x-x_i)*(y_{i+1}-y_i)/(x_{i+1}-x_i)。---试卷答案一、选择题1.A2.A3.D4.A5.D二、填空题1.|x-α|/|α|2.二3.1,04.对角占优或严格对角占优5.直线段,(b-a)/2*[f(a)+f(b)]三、计算题1.解：插值节点为x0=0,f(x0)=e^0=1；x1=1,f(x1)=e^1≈2.718。拉格朗日插值多项式P1(x)=L0(x)f(x0)+L1(x)f(x1)。L0(x)=(x-x1)/(x0-x1)=(x-1)/(-1)=1-x。L1(x)=(x-x0)/(x1-x0)=(x-0)/(1-0)=x。P1(x)=(1-x)*1+x*2.718=1+1.718x。P1(0.81)=1+1.718*0.81=1+1.39358=2.39358。2.解：方程x=cos(x)可改写为x-cos(x)=0。令f(x)=x-cos(x)。f'(x)=1+sin(x)。在[0,1]内，|f'(x)|≤|1+1|=2<1，故迭代法收敛。迭代公式：x(k+1)=cos(x(k))。x0=0.5。x1=cos(0.5)≈0.8775825618903728。x2=cos(0.8775825618903728)≈0.6298709932651601。x3=cos(0.6298709932651601)≈0.8028519717924587。迭代3次后的根的近似值为0.8028519717924587。3.解：方程组系数矩阵为A=[[4,-1,1],[-1,5,0],[1,1,4]],增广矩阵为[A|b]=[[4,-1,1,2],[-1,5,0,3],[1,1,4,-1]]。R1↔R2:[[-1,5,0,3],[4,-1,1,2],[1,1,4,-1]]。R1=-R1:[[1,-5,0,-3],[4,-1,1,2],[1,1,4,-1]]。R2=R2-4*R1:[[1,-5,0,-3],[0,19,1,14],[1,1,4,-1]]。R3=R3-R1:[[1,-5,0,-3],[0,19,1,14],[0,6,4,2]]。R3=R3-(6/19)*R2:[[1,-5,0,-3],[0,19,1,14],[0,0,310/19,-44/19]]。化为上三角形形式为[[1,-5,0,-3],[0,19,1,14],[0,0,310/19,-44/19]]。四、算法设计题1.伪代码：函数Newton_Raphson(f,df,x0,tol,max_iter)k=0whilek<=max_iterx1=x0-f(x0)/df(x0)if|x1-x0|<tol返回x1endifx0=x1k=k+1endwhile返回"未收敛"结束函数其中f(x)=x^3-2x-5,df(x)=3x^2-2。初始值x0=2.5，tol=1e-5，max_iter可设为足够大的数（如100）。2.代码段（以Python为例）：defpiecewise_linear_interpolation(x,x_points,y_points):n=len(x_points)ifx<x_points[0]orx>x_points[-1]:returnNone#或返回特定提示值foriinrange(n-1):ifx_poi