2025年大学《数理基础科学》专业题库-微积分在生物学中的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——微积分在生物学中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设某种细菌的繁殖速率与当前数量成正比，比例常数为k(k>0)。若初始时刻细菌数量为N₀，求：1.写出描述细菌数量随时间变化的微分方程。2.求解该微分方程，表达细菌数量N(t)随时间t的变化规律。3.若3小时后细菌数量变为初始数量的2倍，求比例常数k的值。二、已知一元函数f(x)=x³-3x²+2在区间[0,3]上的图像如右图所示。（此处无图，请根据函数性质自行想象或推导）1.求函数f(x)在区间(0,3)内的极大值和极小值。2.计算∫[0,2]f(x)dx的值，并说明其生物学意义（例如，可以解释为某时间段内的累积量）。3.若某生物量随时间的变化率与该生物量成正比，比例常数为0.1，求经过多长时间该生物量达到其初始值的根号2倍？（提示：此问与积分无关，需另寻方法解答，但可考察比例关系和指数函数的理解）三、考虑一个简单的生态学模型，某物种的种群增长受限于环境容纳量。设种群数量为N，环境容纳量为K，增长速率v与(N-K)/K成正比，比例常数为r(r>0)。1.建立描述该种群增长速率v关于种群数量N的微分方程（形式为v=dv/dt=rN(1-N/K)）。2.分析当N=K/2时，种群增长速率v的变化趋势。3.若初始种群数量N₀=K/4，求种群数量N(t)随时间t的变化规律（即求解该微分方程）。四、已知函数z=f(x,y)=x²+y²-2x+4y表示某个生物学量（例如，某种物质的浓度分布）在二维空间中的分布。1.计算函数f(x,y)在点(1,-2)处的偏导数∂f/∂x和∂f/∂y。2.求函数f(x,y)在点(1,-2)处的梯度∇f(1,-2)。3.解释在点(1,-2)处，梯度的方向代表什么？该方向上的变化率是多少？五、设细胞增殖过程中，单个细胞的分裂时间服从指数分布，平均分裂时间为T。现从一个细胞开始培养，求：1.在时间t内，细胞数量少于2个的概率。2.在时间t内，细胞数量恰好为1个的概率。3.若T=1小时，求经过10小时后，平均细胞数量是多少？（提示：指数分布的期望值与其参数的关系）六、将函数g(x)=1/(1+x²)在x=0处展开成泰勒级数（Maclaurin级数）的前三项（包含x³项）。七、某药物进入血液后，其浓度随时间变化的过程近似满足如下积分方程：C(t)=A+∫[0,t]k*e^(-λ(t-τ))*C(τ)dτ其中，C(t)是时刻t的药物浓度，A是初始浓度，k是吸收速率常数，λ是消除速率常数。假设A=1，k=0.5，λ=0.2。1.说明该积分方程的物理意义。2.（此问较难，可能超出普通微积分课程范围，但可考察处理积分方程的思路）尝试简述一种求解C(t)的方法思路。试卷答案一、1.dN/dt=kN2.N(t)=N₀*e^(kt)3.k=ln(2)/3解析：1.根据题意，繁殖速率即细菌数量对时间的变化率，与当前数量N成正比，比例常数为k，得到微分方程dN/dt=kN。2.这是一个可分离变量的微分方程。分离变量得到dN/N=kdt，两边积分∫(1/N)dN=∫kdt，得到ln|N|=kt+C。解得N=C₁*e^(kt)。由初始条件N(0)=N₀，代入得C₁=N₀。故N(t)=N₀*e^(kt)。3.根据题意，3小时后N(3)=2N₀。代入通解得2N₀=N₀*e^(3k)。两边同时除以N₀并取自然对数，得到ln(2)=3k。解得k=ln(2)/3。二、1.极大值f(1)=0，极小值f(2)=-2。2.∫[0,2]f(x)dx=[x³/3-3x²/2+2x]|[0,2]=(8/3-6+4)-(0)=2/3。生物学意义：可以解释为在时间段[0,2]内，某个量（如生物量、累积增长率等）的净增加量或平均变化量。3.生物量变化率与生物量成正比，形式为dB/dt=rB，解为B(t)=B₀*e^(rt)。初始值为B₀，达到初始值的根号2倍即B(t)=√B₀。代入得√B₀=B₀*e^(rt)。两边同时取自然对数得ln(√B₀)=rt。由于B₀=B₀*e^(0)，ln(B₀)=0，所以ln(√B₀)=ln(B₀)/2=0/2=0。因此0=rt。若r=0.1，则t=0/0.1=0。此题条件设置可能有误，若理解为从初始值增长到2倍初始值（即B(t)=2B₀），则ln(2)=rt，t=ln(2)/r=ln(2)/0.1=10*ln(2)。三、1.v=rN(1-N/K)=rN-rN²/K2.当N=K/2时，v=r(K/2)-r(K/2)²/K=rK/2-rK²/4K=rK/4。此时增长速率为正值，说明种群仍在增长，但增长速率小于最大值（当N=0时，v=rK）。3.微分方程为dv/dt=rN-rN²/K。这是一个可分离变量的方程。分离变量得到(1/N-2N/K)dN=rdt。整理得到(K-N)/(NK)dN=rdt。两边积分∫[(K-N)/NK]dN=∫rdt。积分左边，分子分解为K/N-1/N，得到∫(K/N)dN-∫(1/N)dN=K∫(1/N)dN-∫(1/N)dN=(K-1)∫(1/N)dN=(K-1)ln|N|。积分右边得到r∫dt=rt+C。因此(K-1)ln|N|=rt+C。解得ln|N|=(rt+C)/(K-1)。指数化得到N=e^[(rt+C)/(K-1)]。由初始条件N(0)=K/4，代入得K/4=e^C/e^(0)=e^C。所以e^C=K/4。通解为N(t)=(K/4)*e^[(rt)/(K-1)]。或者，更标准的解法是令u=N/K，则原方程变为dv/dt=r(Ku)(1-u)，且v=dN/dt=K*du/dt。代入得K*du/dt=r(Ku)(1-u)。消去K并分离变量得(1/u-1/(u-1))du=rdt。积分得∫(1/u-1/(u-1))du=∫rdt，即ln|u|-ln|u-1|=rt+C，即ln|u/(u-1)|=rt+C。由N(0)=K/4，即u(0)=1/4，代入得ln|(1/4)/(1/4-1)|=C，ln|(-1/3)|=C，ln(1/3)=C。通解为ln|(u/(u-1))|=rt+ln(1/3)。指数化得u/(u-1)=(1/3)e^(rt)。解得u=(e^(rt))/(1+e^(rt))。回代N=Ku，得到N(t)=K*(e^(rt))/(1+e^(rt))。这是逻辑斯蒂方程的通解形式。四、1.∂f/∂x=2x-2，代入点(1,-2)得∂f/∂x|_(1,-2)=2*1-2=0。∂f/∂y=4y+4，代入点(1,-2)得∂f/∂y|_(1,-2)=4*(-2)+4=-8。2.∇f(1,-2)=(∂f/∂x|_(1,-2),∂f/∂y|_(1,-2))=(0,-8)。3.梯度∇f(1,-2)=(0,-8)的方向是该点处函数f(x,y)增加最快的方向。该方向上的变化率即为梯度向量的模长|∇f(1,-2)|=√(0²+(-8)²)=√64=8。生物学意义：在点(1,-2)处，沿(-8,0)方向（即x轴负方向），该物质浓度变化率最快，其变化率为-8（表示浓度在减小）。五、1.单个细胞在时间t内不分裂的概率为P(0分裂)=e^(-λt)，其中λ=1/T=1/1=1。单个细胞在时间t内分裂至少一次的概率为1-P(0分裂)=1-e^(-t)。细胞数量少于2个的情况包括：0个细胞或1个细胞。0个细胞：初始细胞未分裂，概率为e^(-t)。1个细胞：初始细胞分裂一次且未分裂，概率为λt*e^(-λt)=t*e^(-t)（此处用到了指数分布的密度函数f(t)=λe^(-λt)）。注意：对于单个细胞模型，1个细胞的状态应包括初始状态和仅分裂一次回到1个细胞的状态。更准确的单个细胞模型是P(1细胞)=e^(-t)+λte^(-t)=e^(-t)(1+t)。因此，P(少于2个细胞)=P(0细胞)+P(1细胞)=e^(-t)+e^(-t)(1+t)=e^(-t)(2+t)。另一种理解是考虑从0个细胞开始的指数过程，P(少于2个细胞)=P(0个细胞)+P(1个细胞)=e^(-t)+t*e^(-t)=e^(-t)*(1+t)。2.P(恰好为1个细胞)=P(1细胞)=e^(-t)(1+t)。3.平均细胞数量即期望值E[N(t)]。对于单个细胞指数分裂模型，N(t)服从参数为λt的泊松分布，即P(N(t)=k)=(e^(-λt)*(λt)^k)/k!。期望值E[N(t)]=λt。由题T=1小时，λ=1，t=10小时，所以E[N(10)]=1*10=10。平均细胞数量为10个。六、g(x)=1+(-x²)+0*x³+...（泰勒级数在x=0处展开，即Maclaurin级数）g'(x)=-2xg''(x)=-2g'''(x)=0在x=0处，g(0)=1，g'(0)=0，g''(0)=-2，g'''(0)=0。Maclaurin级数通项为g(x)=Σ[g^((n)}(0)*x^n]/n!。前三项为：g(0)/0!=1/1!=1g'(0)*x/1!=0*x/1!=0g''(0)*x^2/2!=(-2)*x^2/2=-x^2故前三级泰勒展开式为1+0*x-x^2=1-x^2。七、1.积分方程右侧∫[0,t]k*e^(-λ(t-τ))*C(τ)dτ表示从0到t时刻，药物以速率k*e^(-λ(t-τ))*C(τ)持续进入血液的累积量。其中e^(-λ(t-τ))是时间权重函数，反映了随时间推移（τ远离t），较早时刻（τ）的药物浓度及其贡献按指数衰减。k是比例常数。左侧C(t)-A是时刻t的浓度与初始浓度之差，代表了从0到t期间进入血液的药物总量。因此，该积分方程描述了时刻t的药物浓度C(t)由初始浓度A和从0到t期间净进入血液的药物量（通过积分计算）共同决定的过程。2.求解方法思路：这是一个积分方程。基本思路是尝试消去积分。方程两边对t求导（使用Leibniz积分法则）：dC(t)/dt=d/dt[A+∫[0,t]k*e^(-λ(t-τ))*C(τ)dτ]dC(t)/dt=0+k*e^(-λ(t-t))*C(t)+∫[0,t]k*d/dt[e^(-λ(t-τ))]*C(τ)dτdC(t)/dt=k*e^(-λ*0)*C(t)+∫[0,t]k*(-λ)*e^(-λ(t-τ))*C(τ)dτdC(t)/dt=k*C(t)-kλ∫[0,t]e^(-λ(t-τ))*C(τ)dτ将原积分方程代入被积函数：dC(t)/dt=k*C(t)-kλ*∫[0,t]e^(-λ(t-τ))*[A+∫[0,τ]k*e^(-λ(τ-s))*C(s)ds]dτdC(t)/dt=k*C(t)-kλ*∫[0,t]e^(-λ(t-τ))*Adτ-kλ*∫[0,t]∫[0,τ]k*e^(-λ(t-τ))*e^(-λ(τ-s))*C(s)dτds第一项∫[0,t]e^(-λ(t-τ))*Adτ=A*∫[0,t]e^(-λ(t-τ))dτ=A*[-e^(-λ(t-τ))/λ]|[0,t]=A*[-e^0/λ-(-e^0/λ)]=A*[-1/λ+1/λ]=A/λ。第二项的被积函数中e^(-λ(t-τ))*e^(-λ(τ-s))=e^(-λt)，与积分变量τ无关，可提到外面：∫[0,t]∫[0,τ]k*e^(-λt)*C(s)dsdτ=k*e^(-λt)*∫[0,t]∫[0,τ]C(s)dsdτ外层积分∫[0,t]∫[0,τ]C(s)dsdτ，对τ积分，s从0到τ，相当于对(s,τ)在区域0≤s≤τ≤t下积分，交换积分次序后对τ积分，τ从s到t：∫[0,t]∫[0,τ]C(s)dsdτ=∫[0,t]∫[s,t]C(s)dτds=∫[0,t]C(s)*(t-s)ds=t∫[0,t]C(s)ds-∫[0,t]s*C(s)ds代回原式，dC(t)/dt=k*C(t)-kλ*(A/λ)-k²*e^(-λt)*[t∫[0,t]C(s)ds-∫[0,t]s*C(s)ds]dC(t)/dt=k*C(t)-k*A-k²*e^(-λt)*[t*(∫[0,t]C(s)ds)-(∫[0,t]s*C(s)ds)]观察到此方程仍然包含积分项，求解较为复杂。更简洁的方法是假设C(t)具有某种形式，例如指数形式C(t)=Ae^(kt)。代入原方程检验：左侧C(t)=Ae^(kt)。右侧A+∫[0,t]k*e^(-λ(t-τ))*Ae^(kτ)dτ=A+kA∫[0,t]e^(-λ(t-τ)+kτ)dτ=A+kA∫[0,t]e^(-(λ-k)(t-τ))dτ=A+kA*[-e^(-(λ-k)(t-τ))/(-(λ-k))]|[0,t]=A+kA*[e^(-(λ-k)t)