高考物理二轮热点题型 专题05 天体运动问题（解析版）

专题05天体运动热门问题目录TOC\o"1-3"\h\u题型一中心天体质量和密度的估算 1题型二卫(行)星运行参量的分析 7题型三航天器（卫星）的变轨问题 11题型四双星与多星问题 17题型一中心天体质量和密度的估算【解题指导】1.考虑星球自转时星球表面上的物体所受重力为万有引力的分力；忽略自转时重力等于万有引力．2.一定要区分研究对象是做环绕运动的天体，还是在星球表面上随星球一块自转的物体．做环绕运动的天体受到的万有引力全部提供向心力，星球表面上的物体受到的万有引力只有很少一部分用来提供向心力．【典例分析1】（2023上·四川遂宁·高三统考期中）宇宙空间存在两颗质量分布均匀的形状规则的未知星球，分别发射绕其表面运行的卫星，发现两个星球的近地卫星周期相等，同学们据此做出如下判断，则正确的是（）A．这两个未知星球的体积一定相等B．这两个未知星球的密度一定不相等C．这两个未知星球的质量与其半径二次方的比值相等D．这两个未知星球的半径若不相等，则其表面的重力加速度一定不相等【答案】D【详解】A．根据牛顿第二定律有解得则星球的体积为由于这两个未知星球的质量未知，星球的体积不一定相等，故A错误；B．星球的密度为可知这两个未知星球的密度一定相等，故B错误；C．根据牛顿第二定律有解得这两个未知星球的质量与其半径三次方的比值相等，故C错误；D．星球表面重力和万有引力近似相等，根据牛顿第二定律有解得可知这两个未知星球的半径若不相等，则其表面的重力加速度一定不相等，故D正确。故选D。【典例分析2】（2023下·广东深圳·高三期中）随着我国登月计划的实施，我国宇航员登上月球已不是梦想；假如我国宇航员登上月球并在月球表面附近以初速度竖直向上抛出一个小球，经时间后回到出发点。已知月球的半径为，万有引力常量为，则下列说法正确的是（）A．月球表面的重力加速度为B．月球的质量为C．宇航员在月球表面获得的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动D．宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为【答案】B【详解】A．小球在月球表面做竖直上抛运动，根据匀变速运动规律可得解得故A错误；B．物体在月球表面上时，忽略向心力，物体受到的重力等于万有引力，则有解得故B正确；C．宇航员离开月球表面围绕月球做圆周运动至少应获得的速度等于月球的第一宇宙速度大小，则有解得故C错误；D．宇航员乘坐飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动，由运动学公式可得联立可得故D错误。故选B。【方法提炼】估算中心天体质量和密度的两条思路和三个误区(1)两条思路①利用天体表面的重力加速度和天体半径估算由Geq\f(Mm,R2)＝mg天体得M＝eq\f(g天体R2,G)，再由ρ＝eq\f(M,V)，V＝eq\f(4,3)πR3得ρ＝eq\f(3g天体,4GπR)。②已知天体做匀速圆周运动的轨道半径和周期，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，再结合ρ＝eq\f(M,V)，V＝eq\f(4,3)πR3得ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)，在中心天体表面做匀速圆周运动时，r＝R，则ρ＝eq\f(3π,GT2)。(2)三个常见误区①天体质量和密度的估算是指中心天体的质量和密度的估算，而非环绕天体的。②注意区分轨道半径r和中心天体的半径R。③在考虑自转问题时，只有两极才有eq\f(GMm,R2)＝mg天体。【变式演练】1.（2023上·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）我国航天事业取得了突飞猛进地发展，航天技术位于世界前列，在航天控制中心对其正上方某卫星测控时，测得从发送“操作指令”到接收到卫星“已操作”的信息需要的时间为2t（设卫星接收到“操作指令”后立即操作，并立即发送“已操作”的信息到控制中心），测得该卫星运行周期为T，地球半径为R，电磁波的传播速度为c，已知万有引力常量为G，由此可以求出地球的质量为（）A． B．C． D．【答案】B【详解】设卫星与地球的距离为x，则有可知卫星的轨道半径为根据万有引力提供向心力，有解得故选B。2．2018年12月8日凌晨，我国在西昌卫星发射中心利用长征三号乙改进型运载火箭成功发射嫦娥四号探测器，对月球背面南极艾特肯盆地开展着陆巡视探测，实现了人类首次月球背面软着陆和巡视勘察．假设探测器在近月轨道上绕月球做匀速圆周运动，经过时间t(小于绕行周期)，运动的弧长为s，探测器与月球中心连线扫过的角度为θ(弧度)，引力常量为G，则()A．探测器的轨道半径为eq\f(θ,t)B．探测器的环绕周期为eq\f(πt,θ)C．月球的质量为eq\f(s3,Gt2θ)D．月球的密度为eq\f(3θ2,4Gt)【答案】：C【解析】：利用s＝θr，可得轨道半径r＝eq\f(s,θ)，选项A错误；由题意可知，角速度ω＝eq\f(θ,t)，故探测器的环绕周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,\f(θ,t))＝eq\f(2πt,θ)，选项B错误；根据万有引力提供向心力可知，Geq\f(mM,r2)＝meq\f(v2,r)，再结合v＝eq\f(s,t)可以求出M＝eq\f(v2r,G)＝eq\f(\f(s,t)2·\f(s,θ),G)＝eq\f(s3,Gt2θ)，选项C正确；由于不知月球的半径，所以无法求出月球的密度，选项D错误．3．（2023上·河南周口·高三统考期中）探测火星过程中某火星探测器绕火星做圆周运动的轨道半径为r，周期为T。火星半径为R，忽略火星自转的影响，地球表面重力加速度为g，宇航员在火星表面上受到的重力与宇航员在地球表面上受到的重力之比为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】忽略火星自转，物体在火星表面受到的重力等于万有引力，则有探测器绕火星做圆周运动，由万有引力提供向心力可得联立解得火星表面重力加速度为则宇航员在火星表面上受到的重力与宇航员在地球表面上受到的重力之比为故选B。4.（2023上·江苏无锡·高三统考期中）中国空间站是我国自主建成的太空实验室。已知“空间站”绕地球做匀速圆周运动，经过时间t，运动的弧长为s，与地球中心连线扫过的角度为θ（弧度），引力常量为G，求：（1）“空间站”的环绕周期T；（2）地球的质量M。【答案】（1）；（2）【详解】（1）“空间站”做匀速圆周运动的角速度“空间站”的环绕周期所以（2）“空间站”的轨道半径“空间站”做匀速圆周运动万有引力提供向心力所以地球质量5．（2023上·河南平顶山·高三校联考阶段练习）天问一号是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境。已经测出火星上的气体非常稀薄，相对于地球上的气体可以忽略不计，若在距火星表面高h处以初速度水平抛出一个物体，落到火星表面时落地点与抛出点间的水平距离为L，已知引力常量为G，火星的半径为R，。（1）火星的质量是多少？（2）火星的平均密度是多少？【答案】（1）；（2）【详解】（1）已知火星上的气体可以忽略不计，距火星表面水平抛出一个物体，物体做平抛运动，竖直方向自由落体运动，设火星表面的重力加速度为g，则水平方向匀速直线运动设火星的质量是M，则有物体的重力联立得（2）设火星的密度是ρ，则联立得题型二卫(行)星运行参量的分析【解题指导】1.由v＝eq\r(\f(GM,r))得出的速度是卫星在圆形轨道上运行时的速度，而发射航天器的发射速度要符合三个宇宙速度．2.做圆周运动的卫星的向心力由地球对它的万有引力提供，并指向它们轨道的圆心——地心．3.在赤道上随地球自转的物体不是卫星，它随地球自转所需向心力由万有引力和地面支持力的合力提供．【典例分析1】（2023上·江苏常州·高三统考期中）神舟十七号飞船于2023年10月26号从酒泉卫星发射中心发射升空，对接中国空间站核心舱前向端口，形成三舱三船组合体，对接后空间站的运动可看作匀速圆周运动。对接后空间站在运行过程中（）A．角速度不变 B．线速度不变C．向心加速度不变 D．受到的万有引力不变【答案】A【详解】对接后空间站在运行过程中角速度不变；线速度大小不变，方向时刻发生变化；向心加速度大小不变，方向时刻发生变化；受到的万有引力大小不变，方向时刻发生变化。故选A。【典例分析2】（2023·广东·统考高考真题）如图（a）所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是（

）

A．周期为 B．半径为C．角速度的大小为 D．加速度的大小为【答案】B【详解】A．由图（b）可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为则P的公转周期为，故A错误；B．P绕恒星Q做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得解得半径为故B正确；C．P的角速度为故C错误；D．P的加速度大小为故D错误。故选B。【方法提炼】环绕天体绕中心天体做圆周运动的规律(1)一种模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动，万有引力提供其做圆周运动的向心力。(2)两条思路①万有引力提供向心力，即eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝mr·(eq\f(2π,T))2＝ma；②天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg天体。(3)三点提醒①a、v、ω、T、r只要一个量发生变化，其他量也发生变化；②a、v、ω、T与环绕天体的质量无关；③对于人造地球卫星，当r＝R地时，v＝7.9km/s为第一宇宙速度。(4)四点注意①同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期。②所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上。③注意同步卫星与地球赤道上物体的区别与联系。④区别轨道半径与距天体表面的高度。【变式演练】1.（2023上·北京朝阳·高三统考期中）设想将来发射一颗人造行星，能在地球绕太阳运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该行星与地球相比，一定相同的物理量是（

）A．线速度 B．环绕周期 C．向心力 D．动能【答案】B【详解】A．行星绕太阳做匀速圆周运动，万有引力充当向心力，有得该行星与地球绕太阳运行轨道相同，所以线速度大小相同，但方向不同，所以线速度不同，故A错误；B．根据得该行星与地球绕太阳运行轨道相同，所以环绕周期一定相同，故B正确；C．万有引力充当向心力该行星与地球质量不一定相等，所以向心力不一定相等，故C错误；D．根据得该行星与地球质量不一定相等，所以动能不一定相等，故D错误。故选B。2．（2023·浙江·统考高考真题）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为，则（

）A．木卫一轨道半径为 B．木卫二轨道半径为C．周期T与T0之比为 D．木星质量与地球质量之比为【答案】D【详解】根据题意可得，木卫3的轨道半径为AB．根据万有引力提供向心力可得木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为,可得木卫一轨道半径为木卫二轨道半径为故AB错误；C．木卫三围绕的中心天体是木星，月球的围绕的中心天体是地球，根据题意无法求出周期T与T0之比，故C错误；D．根据万有引力提供向心力，分别有联立可得故D正确。故选D。3．（2023·江苏·统考高考真题）设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道．该卫星与月球相比，一定相等的是（

）A．质量 B．向心力大小C．向心加速度大小 D．受到地球的万有引力大小【答案】C【详解】根据可得因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度相同；因该卫星的质量与月球质量不同，则向心力大小以及受地球的万有引力大小均不相同。故选C。4.（2023下·河北唐山·高三迁西县第一中学校考阶段练习）如图所示，一卫星绕地球运动，图中虚线为卫星的运行轨迹，A、B、C、D是轨迹上的四个位置，其中A距离地球最近，C距离地球最远。下列说法中正确的是（）A．卫星在A点的速度最大B．卫星在C点的速度最大C．卫星在A点的加速度最大D．行星从A到C做减速运动【答案】ACD【详解】ABD．卫星绕地球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，轨道上离地球越近，卫星的速度越大，离地球越远，卫星的速度越小；则卫星在A点的速度最大，卫星在C点的速度最小，行星从A到C做减速运动，故AD正确，B错误；C．根据牛顿第二定律可得可得可知卫星在A点的加速度最大，故C正确。故选ACD。题型三航天器（卫星）的变轨问题【解题指导】1.卫星在运行中的变轨有两种情况，即离心运动和向心运动：①当v增大时，所需向心力eq\f(mv2,r)增大，卫星将做离心运动，轨道半径变大，由v＝eq\r(\f(GM,r))知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加；②当v减小时，所需向心力eq\f(mv2,r)减小，因此卫星将做向心运动，轨道半径变小，由v＝eq\r(\f(GM,r))知其运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少．2.低轨道的卫星追高轨道的卫星需要加速，同一轨道后面的卫星追赶前面的卫星需要先减速后加速．【典例分析1】（2022·浙江·统考高考真题）“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（）A．发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间B．从P点转移到Q点的时间小于6个月C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度【答案】C【详解】A．因发射的卫星要能变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2km/s与16.7km/s之间，故A错误；B．因P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期（1年共12个月），则从P点转移到Q点的时间为轨道周期的一半时间应大于6个月，故B错误；C．因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确；D．卫星从Q点变轨时，要加速增大速度，即在地火转移轨道Q点的速度小于火星轨道的速度，而由可得可知火星轨道速度小于地球轨道速度，因此可知卫星在Q点速度小于地球轨道速度，故D错误；故选C。【典例分析2】．（2023·广东佛山·统考模拟预测）2022年5月10日，天舟四号货运飞船成功对接了空间站组合体。对接前，天舟四号需要达到组合体后方19米停泊点，此时飞船与组合体在同一轨道上，最后完成与天和核心舱后向端口的对接。当天舟四号位于19米停泊点时，下列说法正确的是（）A．天舟四号的加速度大于组合体的加速度B．天舟四号的运行速率大于组合体的运行速率C．天舟四号通过加速可实现与组合体对接D．天舟四号通过先减速后加速可实现与组合体对接【答案】D【详解】AB．根据，可知，因为飞船与组合体在同一轨道上，它们轨道半径相等，所以它们加速度相同，运行速率相同，AB均错误。CD．天舟四号直接加速会做离心运动，轨道半径变大，不能实现对接，所以需要先减速，进入较低轨道，再加速做离心运动，轨道半径变大，实现对接。C错误，D正确。故选D。【方法提炼】航天器（卫星）变轨应注意的五个问题(1)若卫星由高轨道变轨到低轨道，即轨道半径(半长轴)减小时，需要在高轨道变轨处减速；反之，若卫星由低轨道变轨到高轨道，即轨道半径(半长轴)增大时，需要在低轨道变轨处加速。(2)卫星变轨时速度的变化情况，可根据轨道半径(半长轴)的变化情况判断；稳定的新轨道上运行速度的变化情况可由开普勒第二定律判断。(3)同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。(4)卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等。外轨道的速度大于内轨道的速度。(5)同一中心天体的不同圆轨道或椭圆轨道的周期均满足开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k。【变式演练】1.（2023上·江苏南京·高三统考期中）如图所示为“天问一号”探测器围绕火星多次变轨的简化图景。轨道I、III为椭圆，轨道II为圆，O点是这三个轨道的相切点，O、Q分别是远火星点和近火星点，O、P、Q三点连线经过火星中心，已知火星的半径为R，，探测器在轨道II上经过O点时的速度为v。下列说法正确的是（）A．在多次变轨过程中，探测器与火星中心的连线经过相等时间扫过的面积都相等B．探测器在轨道II上运动时，经过O点的加速度等于C．探测器在轨道I上运动时，经过O点的速度小于vD．探测器在轨道II和III上运动的周期之比是【答案】B【详解】A．根据开普勒第二定律，在同一轨道上探测器与火星中心的连线经过相等时间扫过的面积都相等，在不同轨道上，不具备上述关系，故在多次变轨过程中，探测器与火星中心的连线经过相等时间扫过的面积不相等，故A错误；B．根据几何关系，探测器在轨道II上运动时的轨道半径为根据牛顿第二定律经过O点的加速度等于故B正确；C．根据变轨原理，探测器在轨道II上需点火加速变轨到轨道I上，故探测器在轨道I上运动时，经过O点的速度大于v，故C错误；D．根据开普勒第三定律探测器在轨道II和III上运动的周期之比是故D错误。故选B。2．（2023上·湖北·高三校联考期中）2023年10月26日，中国自主研发的神舟十七号载人飞船发射成功，并实现与中国空间站的快速对接。假设空间站在地球航天发射基地上方某高度的圆形轨道上运行。下列说法正确的是（）A．神舟十七号的发射速度小于空间站的运行速度B．神舟十七号在对接轨道上的运行周期大于空间站的运行周期C．对接时，神舟十七号的加速度小于空间站的加速度D．为了实现对接，神舟十七号应在对接时点火加速【答案】D【详解】A．第一宇宙速度是卫星最小发射速度，则神舟十七号的发射速度大于第一宇宙速度，第一宇宙速度是卫星最大环绕速度，则空间站的运行速度小于第一宇宙速度，故神舟十七号的发射速度大于空间站的运行速度，故A错误；B．根据开普勒第三定律神舟十七号在对接轨道的半轴长小于空间站的运行轨道的半径，故神舟十七号在对接轨道上的运行周期小于空间站的运行周期，故B错误；C．根据牛顿第二定律对接时，神舟十七号的加速度等于空间站的加速度，故C错误；D．为了实现对接，神舟十七号应在对接时点火加速，神舟十七号做圆周运动所需的向心力大于万有引力，从而做离心运动，与空间站实现对接，故D正确。故选D。3.（2023上·广东·高三校联考阶段练习）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船与天和核心舱进行了对接，“太空之家”迎来汤洪波、唐胜杰、江新林3名中国航天史上最年轻的乘组入驻。如图为神舟十七号的发射与交会对接过程示意图，图中①为飞船的近地圆轨道，其轨道半径为，②为椭圆变轨轨道，③为天和核心舱所在的圆轨道，其轨道半径为，P、Q分别为②轨道与①、③轨道的交会点。关于神舟十七号载人飞船与天和核心舱交会对接过程，下列说法正确的是（）A．飞船在轨道3上运行的速度大于第一宇宙速度B．飞船从②轨道到变轨到③轨道需要在Q点点火加速C．飞船在①轨道的动能一定大于天和核心舱在③轨道的动能D．若核心舱在③轨道运行周期为T，则飞船在②轨道从P到Q的时间为【答案】BD【详解】A．第一宇宙速度是最大的环绕速度，飞船绕地球运行的速度小于第一宇宙速度，选项A错误；B．飞船从②轨道变轨到③轨道，飞船将由近心运动变成圆周运动，所以需要在Q点点火加速，选项B正确；C．虽然在①轨道的速度大于③轨道的速度，但由于飞船和核心舱的质量未知，故无法判断他们动能的大小，故C错误；D．根据开普勒第三定律可知可得飞船在②轨道从P到Q的时间为，故等于，选项D正确。故选BD。4．（2024·河南信阳·信阳高中校考一模）2023年2月23日，中星26号卫星在中国西昌卫星发射中心发射升空，这是我国首颗地球静止轨道高通量宽带通信卫星。发射过程中，卫星先被送至近地圆轨道，在点点火后进入转移轨道，在点再次点火后进入同步圆轨道。下列说法正确的是（）

A．该卫星在同步轨道时处于完全失重状态，不受重力作用B．该卫星在转移轨道上经过点时加速度大小等于在同步轨道上运动时经过点的加速度大小C．该卫星在转移轨道上从点运动到点的时间小于12小时D．在点再次点火后，该卫星的速度减小【答案】BC【详解】A．卫星处于完全失重状态，但仍受重力作用，故A错误；B．根据万有引力提供向心力有解得所以卫星在转移轨道上经过B点时加速度大小等于在同步轨道上运动时经过B点的加速度大小，故B正确；C．根据开普勒第三定律有同步卫星轨道周期为24小时，大于转移轨道卫星运行周期，则该卫星在转移轨道上从A点运动到B点的时间小于12小时，故C正确；D．该卫星由转移轨道进入同步轨道需要在B点点火加速，故D错误。故选BC。题型四双星与多星问题【解题指导】1.核心问题是“谁”提供向心力的问题．2.“双星问题”的隐含条件是两者的向心力相同、周期相同、角速度相同；双星中轨道半径与质量成反比；3.多星问题中，每颗行星做圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力的合力提供，即F合＝meq\f(v2,r)，以此列向心力方程进行求解．【典例分析1】（2023上·河南南阳·高三统考期中）如图所示，忽略其他星球的影响，可以将A星球和B星球看成“双星系统”。已知A星球的公转周期为T，A星球和B星球之间的距离为L，B星球表面重力加速度为g、半径为R，引力常量为G，不考虑星球的自转。则（）A．A星球和B星球的动量大小相等B．A星球和B星球的加速度大小相等C．A星球和B星球的质量之和为D．A星球的质量为【答案】A【详解】A．双星角速度和周期相同，根据得二者动量大小相等，故A正确；BC．根据得，可知，根据得，则故BC错误；D．由题意则A星球的质量为故D错误。故选A。【典例分析2】（2023上·全国·高三统考阶段练习）如图所示，甲、乙分别为常见的三星系统模型和四星系统模型。甲图中三颗质量均为的行星都绕边长为的等边三角形的中心做匀速圆周运动，周期为；乙图中三颗质量均为的行星都绕静止于边长为的等边三角形中心的中央星做匀速圆周运动，周期为，不考虑其它星系的影响。已知四星系统内中央星的质量，，则两个系统的周期之比为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】甲图中，任一颗行星轨道半径任意两星间的万有引力F=G任一颗行星F合=2Fcos30°=F由牛顿第二定律可得F合=解得乙图中，任一颗行星轨道半径每颗星受到的万有引力的合力为又得由万有引力提供向心力得解得又联立解得故选B。【方法提炼】1.双星系统(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2。(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。(3)两颗星的运行半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。(4)两颗星到环绕中心的距离r1、r2与两星体质量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)，两星体的质量与两星体运动的线速度成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(v2,v1)。(5)双星的运动周期T＝2πeq\r(\f(L3,Gm1＋m2))。(6)双星的总质量公式m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2)。2．多星系统(1)一般都在同一平面内绕同一圆心做匀速圆周运动，它们的周期都相等。(2)星体所需的向心力由其他星体对它的万有引力的合力提供。【变式演练】1.（2023下·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考期中）人类首次发现了引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞（质量分别为26个和39个太阳质量）互相绕转最后合并的过程。设两个黑洞A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示，黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径，两个黑洞的总质量为M，两个黑洞间的距离为L，其运动周期为T，则（）黑洞A的质量一定小于黑洞B的质量 B．黑洞A的向心加速度一定小于黑洞B的向心加速度C．黑洞A的角速度一定大于黑洞B的角速度 D．两个黑洞在相等的时间内，经过的弧长相等【答案】A【详解】A．两个黑洞A、B组成双星系统，各自由相互的万有引力提供向心力，所以它们的向心力大小相等，它们的周期T相同，设黑洞A、B的轨道半径分别为、，则联立解得因为>所以黑洞A的质量一定小于黑洞B的质量，故A正确；B．两个黑洞A、B的向心力大小相等，又因为，所以黑洞A的向心加速度一定大于黑洞B的向心加速度，故B错误；C．因为而两个黑洞A、B的周期T相同，所以两个黑洞A、B的角速度相同，故C错误；D．黑洞经过的弧长因为两个黑洞A、B的角速度相同，但运动半径不同，故在相等的时间内，经过的弧长不相等，故D错误。故选A。2．（2024·浙江·校联考模拟预测）如图所示，地球与月球可以看作双星系统，它们均绕连线上的C点（图中未画出）转动。沿地月球心连线的延长线上有一个拉格朗日点P，位于这个点的卫星能在地球引力和月球引力的共同作用下绕C点做匀速圆周运动，并保持与地球月球相对位置不变。我国发射的“鹊桥”中继卫星位于P点附近，它为“嫦娥四号”成功登陆月球背面提供了稳定的通信支持。已知地球质量M是月球质量的81倍，“鹊桥”中继星质量为m，地月球心距离为L，P点与月球球心距离为d。若忽略太阳对“鹊桥”中继星的引力，则（

）A．地球球心和月球球心到C点的距离之比为81：1B．地球和月球对“鹊桥”中继星的引力大小之比为81：1C．月球与“鹊桥”中继星的线速度大小之比为D．月球与“鹊桥”中继星的向心加速度大小之比为【答案】C【详解】A．设地球球心到C点的距离为，月球球心到C点的距离为，可得且可得地球球心和月球球心到C点的距离之比为故A错误；B．根据万有引力公式地球和月球对“鹊桥”中继星的引力大小之比为故B错误；C．“鹊桥”中继星与地球月球相对位置不变，角速度相等，月球与“鹊桥”中继星的线速度大小之比为故C正确；D．月球与“鹊桥”中继星的向心加速度大小之比为故D错误。故选C。3．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）开普勒用二十年的时间研究第谷的行星观测数据，发表了开普勒定律。通常认为，太阳保持静止不动，行星绕太阳做匀速圆周运动，则开普勒第三定律中常量（R为行星轨道半径，T为运行周期）。但太阳并非保持静止不动，太阳和行星的运动可看作绕二者连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动，如图所示，则开普勒第三定律中常量（L为太阳和行星间距离，T为运行周期）。已知太阳质量为M、行星质量为m