15.1.2（第1课时）线段的垂直平分线 分层作业（解析版）

2/215.1.2（第1课时）线段的垂直平分线目录TOC\o"1-3"\h\u类型一、线段垂直平分线的性质 1类型二、线段垂直平分线的判定 7类型三、逆命题 13TOC\o"1-3"\h\u类型一、线段垂直平分线的性质1．如图，已知线段，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点，作直线交于点E，在直线上任取一点F，连接，．若，则的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本题考查了线段的垂直平分线性质，解题关键是理解线段的垂直平分线性质．直接利用线段的垂直平分线性质求解．【详解】解：∵垂直平分线段，在直线上任取一点F，，∴，故选：C．2．银川市是著名的“中国葡萄酒之都”，得益于贺兰山东麓的优越气候和土壤条件，形成了世界级的葡萄种植与酿酒产业带．如图，三条公路将闽宁镇、玉泉营、黄羊滩三个核心葡萄种植区连接成三角形区域．当地计划在此区域内建设一个国际葡萄交易中心，要求交易中心到三个种植区的距离相等．这个交易中心应建在（）A．三角形的三条中线的交点处B．三角形的三条角平分线的交点处C．三角形的三条垂直平分线的交点处D．三角形的三条高线的交点处【答案】C【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，根据线段垂直平分线的性质定理，即可求解．【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，且交易中心到到三个种植区的距离相等，∴这个交易中心应建在三角形的三条垂直平分线的交点处．故选：C．3．下列说法正确的是（

）A．三角形的角平分线是射线B．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等C．三角形的高线交于一点D．三角形的三条中线交于一点，这一点有可能在三角形外【答案】B【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、垂直平分线的性质、三角形的中线、高线等知识点，根据三角形的角平分线、垂直平分线的性质、三角形的中线、高线逐项判断即可．【详解】解：A．三角形的角平分线是线段，故本选项错误，不符合题意；B．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，说法正确，符合题意；C．锐角三角形和直角三角形的高线交于一点，钝角三角形的高线不相交，故本选项错误，不符合题意；D．三角形的三条中线交于一点，这一点不可能在三角形外，故本选项错误，不符合题意．故选：B．4．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．【详解】解：∵垂直平分，垂直平分，∴，，∴的周长为，故选：C．5．如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】A【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的判定定理，根据题意可证明垂直平分，则由线段垂直平分线的性质即可得到答案．【详解】解：∵，∴点P在线段的垂直平分线上，又∵，∴垂直平分，∴，故选：A．6．如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（

）A．24 B．22 C．20 D．18【答案】B【分析】此题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，，，进而求解即可．【详解】∵垂直平分，∴∵垂直平分，∴，∴的周长为．故选：B．7．如图，在中，边的垂直平分线交于点E，垂足为D，若的周长为，的周长为，则的长为．【答案】/4厘米【分析】本题考查垂直平分线的性质，由垂直平分，可得，，结合的周长为，的周长为，即可求解．【详解】解：垂直平分，，，的周长为，，的周长为，，，，故答案为：．8．如图，在△中，的垂直平分线分别与、交于点、，的垂直平分线分别与、交于点，，若，则的周长是．【答案】18【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算，得到答案．【详解】解：是的垂直平分线，，是的垂直平分线，，的周长，故答案为：18．9．如图，在中，垂直平分边，若的周长为，则的长为．【答案】【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形周长计算公式可得，进而可推出，据此可得答案．【详解】解：∵垂直平分边，∴，∵的周长为，∴，∴，∴，∵，∴．故答案为：．10．如图，在中，是线段的垂直平分线，点是线段的中点，其中，，则的周长为．【答案】【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形中线的定义，根据三角形中线的定义可得的长，根据相等垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可．【详解】解：∵点是线段的中点，，∴，∵是线段的垂直平分线，∴，∴的周长，故答案为：．11．如图，直线是线段的垂直平分线，垂足为O，若，则．【答案】10【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，由此即可得到答案．【详解】解：∵直线是线段的垂直平分线，垂足为O，∴，∴．故答案为：10．12．如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是20，，则的周长是．【答案】32【分析】本题考查了垂直平分线性质，根据垂直平分线性质得到，再结合求解，即可解题．【详解】解：为的垂直平分线，，，，则；故答案为：．类型二、线段垂直平分线的判定13．如图，，，下列结论一定正确的是（

）A．平分 B．垂直平分C．垂直平分 D．与互相垂直平分【答案】C【分析】本题考查垂直平分线的判定定理，根据垂直平分线的判定定理直接可得结论【详解】解：∵，，∴点A、B在的垂直平分线上，∴垂直平分，故选：C14．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（

）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点新增选项【答案】C【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，据此解答即可求解，掌握线段垂直平分线的判定定理是解题的关键．【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：．15．如图，在中，边的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段的垂直平分线上．【答案】见解析【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；线段垂直平分线的判定：到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上．先由线段垂直平分线的性质得到，则，再由线段垂直平分线的判定即可证明．【详解】证明：∵边的垂直平分线交于点P，∴．∴．∴点P必在的垂直平分线上．16．如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：．【答案】见解析【分析】连接，根据垂直平分线的判定和性质，证明即可．本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．【详解】证明：连接，∵，，∴直线是线段的垂直平分线，∴，∵的垂直平分线交于点，∴，∴，∵，∴．．17．如图，在中，，．线段的垂直平分线交于点，交于点，连接．试问：线段与的长相等吗？请说明理由．【答案】相等，理由见解析【分析】本题考查中垂线的判定和性质，连接，中垂线的性质，推出，即可得出结论．【详解】解：相等，理由如下：连接，∵，∴垂直平分，∴，∵线段的垂直平分线交于点，∴，∴．18．如图，已知，与相交于点E．(1)请你添加一个条件使，并加以证明，(2)在第（1）问的条件下延长、交于点P，直线是线段的垂直平分线吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．【答案】(1)添加条件为：，证明见解析(2)是，证明见解析【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．（1）添加条件为：，然后证明出即可；（2）延长、交于点P，根据题意证明出，得到，，判断出点E在的垂直平分线上，然后证明出，得到，判断出点P在的垂直平分线上，即可证明直线是线段的垂直平分线．【详解】（1）添加条件为：∵，，∴；（2）是，证明如下：如图所示，延长、交于点P，∵∴∵，∴∴，∴点E在的垂直平分线上∴∵∴∵∴∴∴点P在的垂直平分线上∴直线是线段的垂直平分线．19．“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，小明观察后认为垂直平分，请你帮助小明从几何证明的角度说明这一筝形性质．已知：在四边形（筝形）中，__________，__________，求证：__________（请把横线上的“已知”“求证”内容补充完成，并完成后续相应证明过程）【答案】，，垂直平分，证明见解析【分析】此题考查了垂直平分线的判定，根据，，得到点均在线段的垂直平分线上，即可证明结论成立．【详解】已知：在四边形（筝形）中，，，求证：垂直平分证明：∵，，∴点均在线段的垂直平分线上，∴垂直平分；故答案为：，，垂直平分20．如图，在中，是的平分线，于点E，于点F．求证∶垂直平分．【答案】见详解【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．根据角平分线的性质得出，证明出，得到，利用到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得出结论．【详解】证明：∵是的平分线，且，，∴，∴点在线段的垂直平分线上，又∵，∴，，∴点在线段的垂直平分线上，∴垂直平分．21．已知：如图，，．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．【答案】详见解析【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，三角形全等的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理，线段垂直平分线的判定定理是解题关键．根据题意易证，得出，即又可证，得出，，说明直线是线段的垂直平分线．【详解】证明：如图，设，交于点O，∵，，，∴，∴，又∵，∴，∴，，即，∴直线是线段的垂直平分线．类型三、逆命题22．下列关于命题“对顶角相等”的判断正确的是（

）①其逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②其逆命题成立A．①和②都正确 B．①和②都不正确C．只有①不正确 D．只有②不正确【答案】D【分析】本题考查了原命题与逆命题，判断逆命题的真假，解题的关键是熟练掌握命题的结构．根据原命题，写出逆命题，判断逆命题的真假即可．【详解】解：∵命题“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，∴其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，∴①正确，∵如果两个角相等，这两个角不一定是对顶角，比如，等腰三角形的两个底角相等，但这两个角不是对顶角，∴②不正确，∴只有②不正确，故选：．23．下列命题的逆命题正确的是（）A．全等三角形的面积相等 B．全等三角形的周长相等C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．如果，那么【答案】C【分析】本题考查了求一个命题的逆命题，判断命题的真假，熟练掌握求一个命题的逆命题及判断命题的真假是解题的关键．分别写出各选项的逆命题，并判断其真假即可．【详解】解：A.原命题：全等三角形面积相等；逆命题：面积相等的三角形全等；面积相等不一定全等，所以逆命题错误，选项A不符合题意；B.原命题：全等三角形周长相等；逆命题：周长相等的三角形全等；周长相等不一定全等，所以逆命题错误，选项B不符合题意；C.原命题：直角三角形的两个锐角互余；逆命题：两个锐角互余的三角形是直角三角形；逆命题正确，所以选项C符合题意；D.原命题：如果，那么；逆命题：如果，那么；逆命题错误，所以选项D不符合题意．故选：C．24．下列各命题的逆命题不成立的是（

）A．同位角相等，两直线平行B．如果两个实数相等，那么它们的立方相等C．对顶角相等D．三边分别相等的两个三角形全等【答案】C【分析】分别写出各选项的逆命题，然后判断正误即可．本题考查了逆命题，平行线的判定，全等三角形的判定，对顶角相等，实数等知识．正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】解：由题意知，A中逆命题为两直线平行，同位角相等，正确，故不符合要求；B中逆命题为实数的立方相等，这两个实数相等，正确，故不符合要求；C中逆命题为相等的角是对顶角，错误，故符合要求；D中逆命题为两个全等三角形的三边分别相等，正确，故不符合要求；故选：C．25．下列命题的逆命题是真命题的是（

）A．两直线平行，同旁内角互补． B．五边形是多边形C．如果，，则． D．两个全等三角形的面积相等【答案】A【分析】本题考查了命题的相关概念、平行线的性质、多边形的概念、有理数的运算、全等三角形的判定定理，正确写出各选项的逆命题是解题关键．先写各选项的逆命题，再根据平行线的性质、多边形的概念、有理数的运算、全等三角形的判定定理逐项判断即可．【详解】解：A、逆命题：同旁内角互补，两直线平行．由平行线的判定可知，逆命题正确，是真命题；B、逆命题：多边形是五边形．多边形不一定是五边形，逆命题错误，则是假命题；C、逆命题：如果，则，．逆命题错误，则是假命题；D、逆命题：面积相等的两个三角形是全等三角形．由三角形全等的判定定理可知，逆命题错误，是假命题；故选：A．26．命题“如果，那么”的逆命题是．命题（填“真”或“假”）【答案】真【分析】本题考查了互逆命题的知识、不等式的性质，熟知两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．把已知命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可．【详解】解：根据题意得：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，∴该命题是真命题．故答案为：真．27．命题“如果互为相反数，那么．”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）【答案】真【分析】本题考查了命题的逆命题、判断命题真假，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先写出命题的逆命题，再判定命题真假即可得出答案．【详解】解：命题“如果互为相反数，那么．”的逆命题是“如果，那么互为相反数．”，所以原命题的逆命题是真命题．故答案为：真．28．写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题．【答案】两个三角形面积相等则这两个三角形全等【分析】本题考查了命题的逆命题，掌握逆命题的书写方法是关键．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，确定条件和结论，根据逆命题的书写方法即可求解．【详解】解：“两个全等三角形的面积相等”的条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形的面积相等”，∴逆命题为：两个三角形面积相等则这两个三角形全等，故答案为：两个三角形面积相等则这两个三角形全等．1．如图，在中，，的垂直平分线交边于点，交边于点．若与的周长分别是、，则．【答案】【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得，，，进而由的周长是可得，再根据的周长是得到，进而即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【详解】解：∵是的垂直平分线，∴，，∵的周长是，∴，∴，即，又∵的周长是，∴，∴，∴，∴，故答案为：．2．如图，已知线段，以点，点为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为．作直线，连接．则下列说法：①四边形是轴对称图形；②平分；③直线垂直平分线段；④是等边三角形；其中正确的有．（填序号）【答案】①②③【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，轴对称图形的识别，根据题意可得，据此可判断①；可证明，得到四边形是轴对称图形，，据此可判断②③；根据现有条件无法证明是等边三角形，据此可判断④．【详解】解：由题意得，，∴直线垂直平分线段，故③正确；又∵，∴，∴四边形是轴对称图形，，故①正确；∴平分，故②正确；根据现有条件无法证明是等边三角形，故④错误，故答案为：①②③．3．如图，在中，垂直平分，连接，，延长交的延长线于点F，，过点D作于点E，．(1)请判定与是否相等？为什么？(2)与互补吗？请说明理由．【答案】(1)，见解析(2)与互补，见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，证明是解题的关键。（1）由线段垂直平分线的性质得到，再证明，则可证明．（2）由全等三角形的性质可得，由平角的定义可得，则，即与互补．【详解】（1）解：，理由如下：∵垂直平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．（2）解：与互补，理由如下：∵，∴，∴，∴，即与互补．4．如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点．(1)求证：是的垂直平分线；(2)若，，，求的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键；（1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证；（2）根据求解即可．【详解】（1）证明：∵是的角平分线，∴，∵，，∴，又，∴，∴，，∴A、D都在的垂直平分线上，∴是的垂直平分线；（2）解：∵，，，∴．5．如图，已知：，，点E在的延长线上．(1)求证：垂直平分；(2)求证：【答案】(1)详见解析(2)详见解析【分析】本题考查全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质性质．（1）由线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可证明问题;（2）由线段垂直平分线的性质定理推出，即可证明．【详解】（1）证明：∵，，∴点A和D都在线段的垂直平分线上，∴垂直平分；（2）证明：由（1）知垂直平分，∴，在和中，，∴．1．如图，在中，的垂直平分线与，分别交于点，，的垂直平分线与，分别交于点，，已知，，则的周长为．【答案】11【分析】本题考查了线