2018年高考数学二轮复习教案第一部分专题五解析几何第一讲直线与圆

专题五解析几何第一讲直线与圆[考情分析]直线与圆的方程系为高考命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多在选择题或填空题呈现.年份卷别考查角度及命题位置2017Ⅲ卷探索性问题与圆的弦长问题·T202016Ⅰ卷直线与圆的位置关系及圆的面积问题·T152015Ⅰ卷直线与圆相交问题·T20Ⅱ卷圆的方程问题·T7[真题自检]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(3,4)C.eq\r(3) D．2解析：因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝eq\f(|a＋4－1|,\r(a2＋1))＝1，解得a＝－eq\f(4,3).答案：A2．(2016·高考全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则圆C的面积为________．解析：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝eq\r(a2＋2)，因为|AB|＝2eq\r(3)，点C到直线y＝x＋2a，即x－y＋2a＝0的距离d＝eq\f(|0－a＋2a|,\r(2))＝eq\f(|a|,\r(2))，由勾股定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a|,\r(2))))2＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.答案：4π直线与直线方程[方法结论]1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).4．与已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)平行的直线可改为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0.5．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，当l1⊥l2时，有A1A2＋B1B2＝0，当l1∥l2时，A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0.[题组突破]1．(2017·重庆一中检测)若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为()A.eq\f(1,2)B.eqB.eq\f(3,2)C.eq\f(1,4) D.eq\f(3,4)解析：由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝eq\f(3,4)，故选D.答案：D2．“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的()A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：因为两条直线平行，所以斜率相等，即－eq\f(2,a)＝－eq\f(b,2)，可得ab＝4，又当a＝1，b＝4时，满足ab＝4，但是两直线重合，故选C.答案：C3．经过直线l1：2x－3y＋2＝0与l2：3x－4y－2＝0的交点，且平行于直线4x－2y＋7＝0的直线方程是()A．x－2y＋9＝0 B．4x－2y＋9＝0C．2x－y－18＝0 D．x＋2y＋18＝0解析：联立两条直线的方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋2＝0,3x－4y－2＝0))，解得x＝14，y＝10.所以l1，l2的交点坐标是(14,10)．设与直线4x－2y＋7＝0平行的直线方程为4x－2y＋c＝0(c≠7)，因为4x－2y＋c＝0过l1与l2的交点(14,10)，所以c＝－36，所以所求直线方程为4x－2y－36＝0，即2x－y－18＝0.故选C.答案：C[误区警示]1．求直线方程时易忽视斜率k不存在情形．2．利用斜率与截距判断两线平行或垂直关系时易忽视斜率不存在情形．圆的方程[方法结论]1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心、eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆．[题组突破]1．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，eq\r(5)为半径的圆的方程为()A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0解析：由(a－1)x－y＋a＋1＝0得(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，由x＋1＝0且x＋y－1＝0，解得x＝－1，y＝2，即该直线恒过点(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.答案：C2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是()A．(－∞，－2)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))C．(－2,0) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3)))解析：方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＋(y＋a)2＝1－a－eq\f(3a2,4)表示圆，则1－a－eq\f(3a2,4)＞0，解得－2＜a＜eq\f(2,3).答案：D3．(2017·北京西城模拟)与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝2 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2 D．(x－2)2＋(y－2)2＝2解析：由题意知，曲线为(x－6)2＋(y－6)2＝18，过圆心(6,6)作直线x＋y－2＝0的垂线，垂线方程为y＝x，则所求的最小圆的圆心必在直线y＝x上，又(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离d＝eq\f(|6＋6－2|,\r(2))＝5eq\r(2)，故最小圆的半径为eq\r(2)，圆心坐标为(2,2)，所以标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.答案：D4．一束光线从圆C的圆心C(－1,1)出发，经x轴反射到圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程刚好是圆C的直径，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝5C．(x＋1)2＋(y－1)2＝16 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝25解析：圆C1的圆心C1的坐标为(2,3)，半径为r1＝1.点C(－1,1)关于x轴的对称点C′的坐标为(－1，－1)．因为C′在反射线上，所以最短路程为|C′C1|－r1，即eq\r([2－－1]2＋[3－－1]2)－1＝4.故圆C的半径为r＝eq\f(1,2)×4＝2，所以圆C的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝4，故选A.答案：A[误区警示]直线与圆的位置关系[方法结论]1．直线和圆的位置关系的判断方法直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系如表.方法eq\a\vs4\al(,位置,关系)几何法：根据d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))与r的大小关系代数法：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,x－a2＋y－b2＝r2r＞0))消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号判断相交d＜rΔ>0相切d＝rΔ＝0相离d＞rΔ<02.弦长与切线长的计算方法(1)弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2eq\r(r2－d2)(其中d为弦心距)．(2)切线长的计算：过点P向圆引切线PA，则|PA|＝eq\r(|PC|2－r2)(其中C为圆心)．[典例](2017·常州模拟)如图，已知圆心坐标为M(eq\r(3)，1)的圆M与x轴及直线y＝eq\r(3)x均相切，切点分别为A，B，另一圆N与圆M相切，且与x轴及直线y＝eq\r(3)x均相切，切点分别为C，D.(1)求圆M与圆N的方程；(2)过点B作MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦长．解析：(1)由于圆M与∠BOA的两边相切，故M到OA，OB的距离相等，则M在∠BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且直线ON为∠BOA的平分线，因为M(eq\r(3)，1)，所以M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，所以圆M的方程为(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1.设圆N的半径为r，连接AM，CN，则Rt△OAM∽Rt△OCN，得eq\f(OM,ON)＝eq\f(MA,NC)，即eq\f(2,3＋r)＝eq\f(1,r)，解得r＝3，OC＝3eq\r(3)，所以圆N的方程为(x－3eq\r(3))2＋(y－3)2＝9.(2)由对称性可知，所求弦长为过点A的MN的平行线被圆N截得的弦长，此弦所在直线的方程为y＝eq\f(\r(3),3)(x－eq\r(3))，即x－eq\r(3)y－eq\r(3)＝0，圆心N到该直线的距离d＝eq\f(|3\r(3)－3\r(3)－\r(3)|,\r(1＋3))＝eq\f(\r(3),2)，故弦长为2eq\r(r2－d2)＝eq\r(33).[类题通法]1．圆上的点到直线的距离的化归思想(1)转化为两平行线间的距离以及直线与圆的交点个数求解．(2)转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系求解．(3)直接设点，利用方程思想解决．2．数形结合思想在求解与圆有关的最值问题中是关键点．[演练冲关]1．(2016·惠州调研)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切 B．相交C．外切 D．相离解析：两圆的圆心距离为eq\r(17)，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<eq\r(17)<5，所以两圆相交．答案：B2．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是()A．30 B．18C．6eq\r(2) D．5eq\r(2)解析：由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3eq\r(2)，则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为eq\f(|2＋2－14|,\r(2))＋3eq\r(2)＝8eq\r(2)，最小距离为eq\f(|2＋2－14|,\r(2))－3eq\r(2)＝2eq\r(2)，故最大距离与最小距离的差为6eq\r(2).答案：C3．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解析：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为eq\r(3)的椭圆(左顶点除外)，其方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠－2)．(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2eq\r(3).若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则eq\f(|QP|,|QM|)＝eq\f(R,r1)，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得eq\f(|3k|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝±eq\f(\r(2),4).当k＝eq\f(\r(2),4)时，将y＝eq\f(\r(2),4)x＋eq\r(2)代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝eq\f(－4±6\r(2),7).所以|AB|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|＝eq\f(18,7).当k＝－eq\f(\r(2),4)时，由图形的对称性可知|AB|＝eq\f(18,7).直线、圆与其他知识的交汇问题高考对直线和圆的考查重在基础，多以选择题、填空题形式出现，将直线与圆和函数、不等式、平面向量、三角、数列及圆锥曲线等知识交汇，体现命题创新．[典例](2014·高考福建卷)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－7≤0，,x－y＋3≥0，,y≥0.))若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为()A．5 B．29C．37 D．49解析：平面区域Ω为如图所示的阴影部分的△ABD，因圆心C(a，b)∈Ω，且圆C与x轴相切，所以点C在如图所示的线段MN上，线段MN的方程为y＝1(－2≤x≤6)，由图形得，当点C在点N(6,1)处时，a2＋b2取得最大值62＋12＝37，故选C.答案：C[类题通法]对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系，其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化等思想方法．[演练冲关]1．在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点，O为坐标原点．若圆上一点C满足eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(5,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))，则r＝()A．2eq\r(10) B.eq\r(10)C．2eq\r(5) D.eq\r(5)解析：已知eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(5,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))，两边平方化简得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,5)r2，所以cos∠AOB＝－eq\f(3,5)，所以coseq\f(∠AOB,2)＝eq\f(\r(5),5)，圆心O(0,0)到直线的距离为eq\f(|2|,\r(2))＝eq\r(2)，所以eq\f(\r(2),r)＝eq\f(\r(5),5)，解得r＝eq\r(10).答案：B2．已知圆O：x2＋y2＝4，若不过原点O的直线l与圆O交于P，Q两点，且满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为()A．－1或1 B．0或－eq\f(4,3)C．1 D．－1解析：设直线l：y＝kx＋b(b≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋k2)x2＋2kbx＋b2－4＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－e