第15章 轴对称 知识清单、易错总结（原卷版）

2/2 第十五章轴对称（知识清单、易错总结） 【知识点01】轴对称图形1．轴对称图形（1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形．【注意】（1）对称轴是，而不是射线或线段．（2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条．（3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形．2．轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做．轴对称和轴对称图形的区别与联系名称关系轴对称轴对称图形区别意义不同两个图形之间的特殊一个形状特殊的图形图形个数图形图形对称轴的位置不同可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点）一定经过这个图形对称轴的数量有或联系（1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称3．轴对称和轴对称图形的性质（1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连．（2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连．（3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段），对应角（对折后重合的角）．（4）成轴对称的两个图形；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形．4．轴对称变换一个图形与其关于直线l对称后的图形之间的关系．（2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴．【注意】的．（2）一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的．5．画轴对称图形几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．画轴对称图形的方法：（1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）；（2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点；（3）连——依次连接各对称点．6．用坐标表示轴对称关于坐标轴对称的点的坐标特点：（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为．已知两个点的坐标分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1=x2，y1+y2=0，则点P1，P2关于x轴对称；若x1+x2=0，y1=y2，则点P1，P2关于y轴对称．反之也成立．在坐标系中画轴对称图形的方法：（1）计算——计算对称点的坐标；（2）描点——根据对称点的坐标描点；（3）连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形．【知识点02】线段垂直平分线1．线段垂直平分线的定义及其性质（1）线段垂直平分线的定义：经过于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．（3）判定：与线段两个端点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．【知识点03】等腰三角形1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的、、（简写成“”）．等腰三角形的其他性质：（1）等腰三角形两腰上的、分别．（2）等腰三角形两底．（3）等腰三角形底边上任意一点到等于一腰上的高．（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．2．等腰三角形的判定判定等腰三角形的方法：（1）定义法：有的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．【注意】（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．3．等边三角形及其性质等边三角形的概念：的三角形是等边三角形．等边三角形的性质：等边三角形的，并且．【注意】（1）等边三角形是，它有对称轴；（2）等边三角形是等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．4．等边三角形的判定定等边三角形的方法：（1）定义法：的三角形是等边三角形．（2）的三角形是等边三角形．（3）有一个角是是等边三角形．5．含30°角的直角三角形的性质一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于．【注意】（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用．（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．【知识点04】最短路问题（1）求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．（2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．易错点1求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错1.忽略腰长与底边长的合理性：计算时若已知两边长，需分“已知边为腰”和“已知边为底”两种情况讨论．例如两边为3和6，若3为腰，3+3=6，不满足“两边之和大于第三边”，故只能6为腰，周长15．2.忽视周长计算的前提条件：无论按哪种情况假设，都需验证三边是否满足“任意两边之和大于第三边”．若忽略验证，直接相加会导致错误，如误将2、2、5当作等腰三角形，实际无法构成三角形．例1．解答下面两个小题：(1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长．(2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长．易错点2当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错1.未明确已知角为顶角或底角：已知等腰三角形的一个内角，需分情况讨论该角是顶角还是底角．若已知角为钝角或直角，只能是顶角；若为锐角，可能是顶角或底角．例如已知内角为70°，当它是顶角时，底角为(180°-70°)÷2=55°；当它是底角时，另一个底角也为70°，顶角为40°．2.未考虑三角形内角和定理：分类讨论后，要确保每种情况所得的三个内角之和为180°，符合三角形的基本性质，避免因逻辑不完整出现错误．例2．等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是．易错点3求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错1.

边与角的不确定性分类缺失：等腰三角形边的问题中，未区分腰与底，如已知两边求周长未验证三边关系；角的问题里，未明确已知角是顶角或底角，像已知一个锐角未分情况计算其他角．2.

图形位置与条件组合漏解：涉及高、中线等辅助线时，未考虑高在形内或形外，中线分割后的边长关系等多种位置情形，同时对题目条件的不同组合未全面分析，导致遗漏多种可能情况．例3．如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为．易错点4三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错1.三角形形状与高线位置关系不清：锐角三角形的三条高均在形内；直角三角形两条直角边的高为另一条直角边；钝角三角形有两条高在形外．若未根据三角形形状讨论高的位置，在计算边长、面积或角度时易出错，如求钝角三角形面积，忽略高在形外的情况会导致错误．2.多种线段组合的情形遗漏：当三角形存在高线、中线、角平分线等多种线段时，未考虑不同形状下这些线段的位置组合，如等腰三角形底边上的高与中线重合，但非等腰三角形不重合，不分类讨论易漏解．例4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数是．易错点5等腰三角形中与新定义型问题的多解题没有分类讨论产生易错1.新定义规则下的等腰属性分类缺失：未依据新定义明确等腰三角形的边、角对应关系，如定义“特殊等腰三角形”对腰长与底边存在特殊限制，未分情况讨论腰与底是否满足新规则，易漏解．2.新定义与等腰性质组合的多解遗漏：忽略新定义条件与等腰三角形三线合一、内角和等性质的多种组合情形，如定义“关联等腰三角形”涉及角度计算，未考虑顶角与底角在新规则下的不同取值范围，导致错解．例5．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（

）A． B． C．或2 D．或一、单选题1．在等腰中，与的度数之比是，则的度数是（

）A． B． C． D．或2．已知一个等腰三角形的一个外角等于，则它顶角的度数是（

）A． B． C．或 D．不能确定3．等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为，则顶角的度数为（

）A． B． C．或 D．或4．等腰三角形的一边长为4，它的周长为16，则它的腰长为（

）A．4 B．6 C．4或6 D．10或125．等腰三角形一腰上的中线把周长分成和两部分，则腰长为（

）A．8 B． C．8或 D．6．已知实数a，b满足，则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是（

）A．18 B．25 C．29 D．25或29二、填空题7．等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为．8．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是．9．已知三角形的一个内角，则当此三角形的另外两个角中有一个角等于时，这个三角形是等腰三角形．10．如图，，A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间，那么当时，是等腰三角形．11．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，这两个相等的角是底角，另外一个角是顶角．如果一个等腰三角形，其一腰上的高与另一腰的夹角是度，那么这个等腰三角