大学物理(上、下册)（侯兆阳）提升题答案上册 3.16

3.16碰撞前后两物体的速度方向都在一条直线上，这种碰撞叫做对心碰撞。如果碰撞后机械能不守恒，这种碰撞就非完全弹性碰撞。牛顿从实验结果总结出一个碰撞定律：碰撞后两球的分离速度(v2-v1)与碰撞前两球的接近速度(v10-v20)成正比，比值由两球的材料性质决定，即。e称为恢复系数。(1)推导非完全弹性碰撞后的速度公式。(2)试计算两物体对心非完全弹性碰撞后损失的机械能。[解析](1)设两物体的质量分别为m1和m2，它们碰撞前的速度分别为v10和v20，发生对心非弹性碰撞后的速度分别为v1和v2。根据动量守恒可列方程m1v10+m2v20=m1v1+m2v2，(3.1)恢复系数可化为v2=v1+e(v10–v20)，(3.2)上式代入(3.1)式可解得，(3.3a)上式代入(3.2)式可得。(3.3b)将公式(3.3a)的下标1和2互换即可得公式(3.3b)。两式可化为，(3.4a)，(3.4b)这种形式的公式比较容易记忆。当e=1时，可得完全弹性碰撞的公式。当e=0时，则得完全非弹性碰撞的公式，(3.5)这是两个物体碰撞后的共同速度，也是物体系统质心的速度。如果质心速度为零，那么系统的动量为零，两物体一定相向运动。[算法]公式(3.4a)和(3.4b)可简化为，(3.4*)对于(3.4a)式，质量比为m*=m2/m1，碰撞前的速度比为v0*=v20/v10，碰撞后的速度比为v*=v1/v10；对于(3.4b)式，质量比为m*=m1/m2，碰撞前的速度比为v0*=v10/v20，碰撞后的速度比为v*=v2/v20。公式说明：一个物体碰撞后的速度比，不但取决于另一个物体碰撞前的速度比和质量比，还取决于它们的恢复系数。MATLAB利用符号计算可推导碰撞后速度公式，以检验手工推导公式的正确性。[程序]P3_16_1.m如下。%对心非弹性碰撞曲面clear%清除变量s1='m1*v10+m2*v20-m1*v1-m2*v2';%动量守恒字符串s2='v2-v1-e*(v10-v20)';%恢复系数字符串[v1,v2]=solve(s1,s2,'v1','v2')%对心非弹性碰撞的速度的符号解v0=-4:0.2:4;%v20/v10初速度比向量m=0:0.2:3;%m2/m1的质量比向量[V0,M]=meshgrid(v0,m);%初速度比和质量比矩阵V=(1+M.*V0)./(1+M);%物体完全非弹性碰撞后的速度figure%创建图形窗口surf(V0,M,V)%画完全非弹性碰撞的速度曲面holdon%保持图像contour(v0,m,V,[0,0],'r')%画速度为零的等值线boxon%加框架fs=16;%字体大小xlabel('\itv\rm_2_0/\itv\rm_1_0','fontsize',fs)%初速度比标签ylabel('\itm\rm_2/\itm\rm_1','fontsize',fs)%加质量比标签zlabel('\itv\rm_1/\itv\rm_1_0','fontsize',fs)%加碰撞后速度比标签title('对心完全非弹性碰撞的速度','fontsize',fs)%加标题figure%创建图形窗口surf(V0,M,V)%画曲面shadinginterp%染色V=2*(1+M.*V0)./(1+M)-1;%物体对心完全弹性碰撞后的速度holdon%保持图像surf(V0,M,V)%画对心完全弹性碰撞的速度曲面e=0.5;%恢复系数V=(1+e)*(1+M.*V0)./(1+M)-e;%物体弹性碰撞后的速度mesh(V0,M,V)%画一般弹性碰撞后的速度网格曲面alpha(0.5)%使平面透明boxon%加框架xlabel('\itv\rm_2_0/\itv\rm_1_0','fontsize',fs)%初速度比标签ylabel('\itm\rm_2/\itm\rm_1','fontsize',fs)%加质量比标签zlabel('\itv\rm_1/\itv\rm_1_0','fontsize',fs)%加碰撞后速度比标签title('对心非弹性碰撞的速度','fontsize',fs)%加标题[说明]对心非弹性碰撞的符号解为v1=-(-m1*v10-m2*v20-e*v20*m2+e*v10*m2)/(m2+m1)v2=(m1*v10+m2*v20-m1*e*v20+m1*e*v10)/(m2+m1)可知：手工推导的公式是正确的。[图示](1)如P3.16.1a图所示，物体作对心完全非弹性碰撞的速度曲面与对心完全弹性碰撞的速度曲面类似，但是速度的最大值小一些，反方向的速度的最大值也小一些，这是因为碰撞过程有能量损失。(2)如P3.16.1b图所示，在v20/v10<1范围内，对心完全非弹性碰撞的速度曲面在最上面，对心完全弹性碰撞的速度曲面在最下面，恢复系数为0.5的速度曲面在中间；而在v20/v10>1范围内，曲面排列顺序与v20/v10<1的情况正好相反。这是因为物体作恢复系数为0.5的非弹性碰撞时，损失的机械能比完全弹性碰撞大，比完全非弹性碰撞小。(3)不管恢复系数为多少，这些曲面都经过m2/m1=0和v1/v10=1的直线，表示质量大的物体与质量小的物体碰撞后，速度不变。这些曲面还经过v20/v10=1和v1/v10=1的直线，表示两物体碰撞前的速度相等时将不发生碰撞，因而速度不变。P3.16.1a图P3.16.1b图[解析](2)由公式(3.4a)可得第一个物体动能的增量为，同理可得第二个物体动能的增量为，两物体动能的增量为。(3.6)负号表示动能减少。当两物体碰撞前的速度一定时，如果e=1时，那么两物体作完全弹性碰撞，动能没有损失；当e=0时，两物体则作完全非弹性碰撞，损失的动能最大。(3.7)两物体碰撞前的动能为，物体损失的动能是它们原有动能的一部分，损失的动能占碰撞前动能比例为。(3.8)损失的动能转化为其他形式的能量，如果这种能量可以利用起来，就称为资用能。如果v10=v20，则两个物体无法碰撞，也没有动能损失。令，可解得m1v10=-m2v20，即：只要两物体碰撞前的动量大小相等，方向相反，它们不论作什么碰撞，所损失的动能比例最大，最大比值为。(3.9)这说明：如果这两个动量大小相等，方向相反的物体作完全非弹性碰撞，那么全部动能都将转化为其他形式的能量。对撞机就是利用这种资用能。[讨论]在工程中，例如打铁和打桩这类问题，经常遇到其中一个物体是静止的。设v20=0，则损失的动能比例为，其中T0=mv102/2。①在打铁时，铁锤与锻件(包括铁砧)碰撞，使锻件在碰撞过程中发生变形，就要尽量使碰撞中的动能用于锻件变形，也就是充分利用资用能，因此铁砧的质量就要比铁锤的质量大得多：m2>>m1。②在打桩时，要把铁锤的动能尽可能多地传递给桩，使桩具有较大的动能克服地面阻力下沉，就要求机械损失得越小越好，因此要用质量较大锤撞击质量较小的桩，即m2<<m1。[算法]取m1为质量单位，取v10为速度单位，则损失动能的比例可表示为。(3.9*)其中，m*=m2/m1，v0*=v20/v10。将质量比向量和初速度比向量形成矩阵，可画出损失机械能的曲面。当损失的机械能一定时，可画出质量比与初速度比之间的关系曲线。[程序]P3_16_2.m如下。%对心碰撞损失的机械能曲面和曲线clear%清除变量m21=0:0.1:3;%质量比m2/m1向量v21=-4:0.1:4;%速度比v20/v10向量[V0,M]=meshgrid(v21,m21);%质量比和速度比矩阵DT=M./(1+M).*(1-V0).^2./(1+M.*V0.^2);%物体系统碰撞后的损失的机械能figure%创建图形窗口surfc(v21,m21,DT)%画曲面colorbar%加色值图boxon%加框架axistight%使图形窗口紧帖图形fs=16;%字体大小xlabel('\itv\rm_2_0/\itv\rm_1_0','fontsize',fs)%初速度标签ylabel('\itm\rm_2/\itm\rm_1','fontsize',fs)%质量标签zlabel('|\Delta\itT\rm|/\itT\rm_0(1-\ite\rm^2)','fontsize',fs)%损失动能title('对心碰撞损失的机械能曲面','fontsize',fs)%加标题m=0.3:0.01:3;%峰值质量比向量v=-1./m;%峰值速度比dtm=ones(size(m));%机械能损失的峰值holdon%保持图像plot3(v,m,dtm,'r')%补画峰值线dt=0.1:0.1:1;%机械能损失等值向量figure%创建图形窗口[c,h]=contour(v21,m21,DT,dt);%画等值线并取句柄clabel(c,h)%给等值线添加数值holdon%保持图像plot(-1./(m21+eps),m21)%补画最大的等值线plot([1,1],[0,m21(end)])%补画零值线gridon%加网格xlabel('\itv\rm_2_0/\itv\rm_1_0','fontsize',fs)%初速度标签ylabel('\itm\rm_2/\itm\rm_1','fontsize',fs)%质量标签title('对心碰撞损失的机械能等值曲线','fontsize',fs)%标题[图示](1)如P3.16.2a图所示，横坐标是速度比，纵坐标是质量比，高坐标是损失的能量ΔT，其单位是(1-e2)T0，T0代表两物体碰撞前的动能之和。物体碰撞损失的机械能与恢复系数的关系比较简单，因此只需要分析损失的机械能与速度和质量的关系。当质量比一定时，随着速度比由负向正变化，碰撞损失的机械能先增加再减小，在最大值处，