大学物理(上、下册)（侯兆阳）提升题答案上册 5.16

5.16(1)一轻杆长为l，连接一个质量为m的摆球，形成一个单摆。不计摩擦，求单摆的周期与角振幅的关系。(2)演示单摆振动的动画，比较单摆振动和简谐振动的规律。(3)当单摆角振幅的度数为1o到7o时(间隔为1o)，将单摆运动的角位置和角速度与简谐振动进行比较。当单摆角振幅的度数为30o到150o时(间隔为30o)，和179o，同样进行比较。[解析](1)如B5.16图所示，设摆锤质量为m，角位置为θ，摆锤的运动方程为θlmgOftTB5.16图即θlmgOftTB5.16图在小角度的情况下，sinθ≈θ，可得(5.2)其中，ω0为圆频率。可知：单摆在小角度的情况下作简谐振动，振动周期为(5.3)可见：在小角振动的情况下，单摆的周期与角振幅无关，这称为单摆的等时性。摆锤的角速度为ω=dθ/dt，因此由(5.1)式可得积分得当t=0时，ω=0，θ=θm，可得C=-gcosθm/l。因此角速度大小为(5.4)根据机械能守恒定律也可得出同一结果。注意：角速度是单位时间内角度的变化率dθ/dt，圆(角)频率是简谐运动中2π时间内周期性运动的次数2π/T，它们都用字母ω表示，单位也相同，但意义不同。单摆的周期为(5.5)对于任何角振幅θm，通过数值积分和符号积分都能计算周期。利用半角公式可得设(5.6)并设ksinx=sin(θ/2)，因此，可得即(5.7)这是椭圆积分。第一类完全椭圆积分定义为(5.8)周期为(5.9)将周期的椭圆积分公式按二项式展开得其中(2n–1)!!=1·3…·(2n–1)。利用定积分公式(5.10)可得用无穷级数表示的单摆周期(5.11)如果只取常数项，可得单摆小角度的周期T0。如果取前两个正弦项，则得(5.12)利用级数计算周期究竟要取多少项，则根据精度决定。[图示](1)如P5_16_1a图所示，数值积分和符号积分与第一类完全椭圆公式计算的结果完全吻合，而第一类完全椭圆积分的效率最高。当角振幅在20º以内时，单摆的周期几乎不变。当角振幅在20º到40º之间时，单摆的周期稍有增加。当角振幅大于40º时，单摆的周期显著增加。当角振幅接近180º时，单摆的周期急剧增加。(2)如P5_16_1b图所示，实线表示用第一类完全椭圆积分公式计算的周期的精确值，点表示用级数计算的周期的近似值，容差取为10-6。当角振幅等于5º时，只要在周期的级数中取一个正弦项即可达到精度。当角振幅等于90º时，则需要取13个正弦项才能达到精度。当角振幅等于150º时，则需要取148个正弦项才能达到精度。当角振幅在155º到165º之间时，取150个正弦项虽然不能达到精度，但是周期的近似值与精确值基本吻合。当角振幅接近180º时，即使取150个正弦项，周期的近似值与精确值也有明显的差别。可见：在通常振幅的情况下，可用级数求和的方法计算单摆的周期，但是在很大振幅的情况下，就需要用积分的方法或完全椭圆积分指令才能保证周期的精度。P5_16_1a图P5_16_1b图[解析](2)为了演示单摆的振动，需要求微分方程中角度的数值解。摆锤的坐标为x=lsinθ，y=lcosθ(5.13)其中，x轴取向右的方向为正，y轴取向下的方向为正。[图示](1)当角振幅为60º时，单摆的初始状态如P5_16_2a图所示，单摆的周期为1.0732T0。当角振幅小于5º时，单摆振动周期约等于小角振动的周期(图略)。当角振幅为90º时，单摆的周期为1.18T0(图略)。(2)当角振幅为179º时，单摆的初始状态如P5_16_2b图所示，单摆的周期为3.90T0。当角振幅为179.9º时，单摆的周期为5.37T0(图略)。P5_16_2a图P5_16_2b[解析](3)为了求解单摆的运动规律，仍然需要求微分方程的数值解。单摆的振动可与简谐振动进行比较。简谐振动的角位移可用余弦函数表示θh=θmcosωt(5.14)简谐振动的角速度为(5.15)[图示](1)如P5_16_3a(2)如P5_16_3b图所示：在角振幅较小的情况下，其角速度完全可以用正弦函数表示。(3)在角振幅较大的情况下，单摆的角位移如P5_16_3c图所示。当角振幅在120º以内时，单摆的角位移与简谐运动的标准点基本上是重合的，因此可用余弦函数近似表示；当角振幅等于150º时，单摆的角位移与简谐运动的标准点有所偏离；当角振幅接近180º时，单摆的周期显著增加，角位移显著偏离简谐运动，角位移的极大值和极小值处十分“平坦”，表示单摆在左右两个角振幅附近运动比较缓慢P5_16_3a图P5_16_3b(4)如P5_16_3d图所示：当角振幅在120º以内时，单摆的角速度曲线与大多数正弦点(少量极值附近的点除外)重合；当角振幅等于150º时，单摆的角速度与正弦曲线偏离较多；当角振幅接近180º时，角速度与正弦曲线偏离很大，峰值附近的曲线尖而窄，零值附近的曲线变得十分“平直”。P5_16_3c图P5_16_3d[算法](1)MATLAB定义的第一类完全椭圆积分为(5.8*)周期可表示为(5.9*)其中(5.6*)对于一定的角振幅，根据精度在单摆周期的无穷级数中取有限项，计算周期的近似值。[程序]P5_16_1.m如下。%单摆的周期(用内线函数数值积分和符号积分以及级数与椭圆积分比较)clear,theta=0:179;thm=theta*pi/180;%清除变量,角振幅向量的度数,角度化为弧度数T0=ellipke(sin(thm/2).^2)*2/pi;%用椭圆积分计算单摆精确周期(1)T1=1;T2=1;j=1:5:length(thm);%小角振动周期和下标向量(每隔5度取一个角度)fori=j(2:end)%按下标循环s=['1./sqrt(cos(x)-cos(',num2str(thm(i)),'))'];%被积函数字符串f=inline(s);%被积的内线函数T1=[T1,quadl(f,0,thm(i))*sqrt(2)/pi;];%连接数值积分的周期(2)T2=[T2,double(int(s,0,thm(i)))*sqrt(2)/pi];%连接用符号积分的周期(3)end%结束循环figure,plot(theta,T0,theta(j),T1,'.',theta(j),T2,'o')%创建图形窗口,画周期曲线fs=16;title('单摆的周期与角振幅的关系','fontsize',fs)%标题xlabel('\it\theta\rm_m/\circ','fontsize',fs)%x标签ylabel('\itT/T\rm_0','fontsize',fs)%y标签gridon,legend('第一类完全椭圆积分','数值积分','符号积分',2)%加网格,图例text(0,2,'\itT\rm_0=2\pi(\itl/g\rm)^{1/2}','fontsize',fs)%标记小角单摆周期e=1e-6;nm=0;T3=1;%容差,最小周期的正弦项数为零,最小周期fori=j(2:end),t=1;%按下标循环,n=0项之值forn=1:150%按项数循环(4)tn=(prod(1:2:2*n-1)*sin(thm(i)/2)^n/2^n/factorial(n))^2;%求各项之值(5)t=t+tn;%累加各项之值ifabs(t-T0(i))<e,break,end%与精确值相差很小时退出循环(6)end,T3=[T3,t];nm=[nm,n];%结束循环,连接周期,连接项数end%结束循环figure,plot(theta,T0,theta(j),T3,'r.')%创建图形窗口,画周期曲线title('用级数计算单摆的周期与角振幅的关系','fontsize',fs)%标题xlabel('\it\theta\rm_m/\circ','fontsize',fs)%x标签ylabel('\itT/T\rm_0','fontsize',fs)%y标签gridon,legend('第一类完全椭圆积分','级数求和',2)%加网格,图例text(theta(j),T3,num2str(nm'),'HorizontalAlignment','center')%显示项数(7)text(0,2,['容差:',num2str(e)],'fontsize',fs)%显示误差[说明](1)用ellipke函数可直接计算第一类完全椭圆积分。(2)对于任何一个角振幅θm，通过MATLAB数值积分函数quadl可计算单摆的周期。(3)对于任何一个角振幅θm，通过MATLAB符号积分函数int可计算单摆的周期。(4)利用级数求周期时，正弦项最多只能取150项。(5)利用求积函数prod可以求奇数的连乘，利用阶乘函数factorial可以求整数的阶乘，因而求级数中任何一项之值。累加各项之值就是周期的近似值。(6)如果根据级数的和所计算的周期的近似值与用椭圆积分所计算的精确值相差很小，则提前退出循环，循环变量就是级数的项数。在循环完毕之后，近似值与精确值之差就大于容差。(7)在水平中心显示项数，可说明达到一定精度的计算量。[算法](2)取t*=ω0t为无量纲时间，(5.1)式可化为(5.1*)取θ(1)=θ，θ(2)=dθ/dt*，可得，初始条件是θ(1)=θm，θ(2)=0。取l为坐标单位，则摆锤的坐标可表示为x*=x/l=sinθ，y*=y/l=cosθ(5.13*)由于因此θ(2)表示以ω0为单位的单摆的角速度。由于所以无量纲时间除以2π就是以小角周期T0为单位的时间。在单摆的运动过程中，不断设置单位的坐标，即可演示单摆运动的动画。[程序]P5_16_2.m如下。%单摆振动的动画clear,thetam=input('请输入单摆角振幅的度数:');%清除变量,键盘输入角振幅(1)thm=thetam*pi/180;%化为弧度T=ellipke(sin(thm/2)^2)*2/pi;%用椭圆积分计算精确周期t=linspace(0,T*2*pi);%无量纲时间向量options.RelTol=1e-6;%相对容差(2)[t,TH]=ode45('P5_16_2fun',t,[thm,0],options);%计算角度和角速度th=TH(:,1);%取角度向量figure,plot([0;0],[0;1.05],'-.')%建立图形窗口并取句柄,画竖虚线axisequaloffij,fs=16;title('单摆的振动','fontsize',fs)%不显示坐标,显示标题holdon,plot(0,0,'o')%保持图像,画悬点plot(exp(i*(linspace(-thm,thm)+pi/2)),'m--')%画轨迹x=sin(thm);y=cos(thm);%摆球的起始坐标plot([0,-x],[0,y],'r:')%画连线pole=plot([0,x],[0,y],'r','linewidth',2);%取摆线的句柄ball=plot(x,y,'c.','markersize',50);%取摆球的句柄txt{1}=['\it\theta\rm_m=',num2str(thetam),'\circ'];%角振幅文本txt{2}=['\itT/T\rm_0=',num2str(T)];%周期文本txt{3}='\itT\rm_0=2\pi(\itl/g\rm)^{1/2}';%周期单位文本text(-x/2,y/2,txt,'fontsize',fs),pause%显示文本,暂停while1%无限循环fori=1:length(t)%按时间循环x=sin(th(i));y=cos(th(i));%摆球的坐标set(ball,'xdata',x,'ydata',y)%设置球的坐标set(pole,'xdata',[0x],'ydata',[0y])%设置摆杆的坐标drawnow,pause(0.01)%刷新屏幕,延时end%结束循环ifget(gcf,'CurrentCharacter')==char(27)break;end%按ESC键则中断循环end%结束循环程序要调用函数P5_16_2fun.m求微分方程的数值解。%单摆运动规律的函数functionf=Fun(t,th)f=[th(2);-sin(th(1))];%角速度和角加速度[说明](1)程序执行时从键盘输入角振幅，显示单摆之后，按回车键就演示单摆的振动，直到按ESC键为止。(2)在求微分方程的数值解之前，设置相对容差，可减少计算的误差。如果不设置容差，当角振幅为179度时，单摆会出现异常摆动。[算法](3)简谐振动的角位移可表示为(5.14*)其中T*=T/T0是约化周期。简谐振动的角速度可表示为(5.15*)简谐振动的角速度的单位也是ω0。取角振幅为参数向量，取时间为自变量向量，形成参数和自变量矩阵，计算角位移和角速度，用矩阵绘图法画曲线族。[程序]P5_16_3.m如下。%单摆的运动规律clear,w0t=linspace(0,5*2*pi,201);%清除变量,无量纲时间向量a=1:7;n=length(a);%角振幅向量(小角情况),向量个数options.RelTol=1e-6;%相对容差的选项,角振幅越接近180度,该值要取得越小W=[];TH=[];t=[];%角速度,角度矩阵清空,周期向量清空fori=1:n,th0=a(i)*pi/180;%按角度循环,取角度并化为弧度数[w0t,THETA]=ode45('p5_16_2fun',w0t,[th0;0],options);%计算角度TH=[TH,THETA(:,1)];W=[W,THETA(:,2)];%连接角度矩阵,连接角速度矩阵t=[t,ellipke(sin(th0/2)^2)*2/pi];%连接用椭圆积分计算的周期end%结束循环figure,plot(w0t/2/pi,TH*180/pi),gridon%创建图形窗口,画角度曲线,加网格fs=16;xlabel('时间\itt/T\rm_0','fontsize',fs)%x标签ylabel('角度\it\theta\rm/\circ','fontsize',fs)%y标签title('单摆的角位移(同色点为简谐振动的标准点)','fontsize',fs)%标题leg=[repmat('\it\theta\rm_m=',n,1),num2str(real(a'))];%角振幅图例文本leg=[leg,repmat('\circ,\itT/T\rm_0=',n,1),num2str(real(t'))];%连接周期legend(leg,4)