2026年广东省广州市番禺区高三综合测试数学试题（含答案解析）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）2027届普通高中毕业班综合测试数学试题本试卷共5页，19小题，全卷满分150分，考试时间为120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和座位号、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在答题卡相应位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的区域内，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．若复数满足，则（

）A． B．2 C． D．33．已知等比数列中，，则（

）A．8 B．16 C． D．324．已知向量，均为单位向量，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．将函数的图象向左平移个单位长度得到，则（

）A．是奇函数，最小正周期为 B．是偶函数，最小正周期为C．是奇函数，最小正周期为 D．是偶函数，最小正周期为6．某电子元件寿命（单位：千小时）服从正态分布．已知若，则，．则（

）A．0.6827 B．0.9545 C．0.3413 D．0.81867．掷红、蓝两个均匀的骰子，设事件：蓝色骰子的点数是5或6；事件：两骰子的点数之和大于8，则（

）A． B． C． D．8．已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在平面上的点，，，，下面结论正确的是（

）A． B．C． D．10．关于函数，下列结论正确的是（

）A．定义域为 B．为奇函数C．在上单调递增 D．极小值为11．已知数列共有项，且每一项为或，若存在正整数（），使得，则称该数列为“完美数列”．设项数为的“完美数列”的个数为，则（

）A．数列，，是“完美数列”B．C．以为首项的“完美数列”的个数为D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在等差数列中，若，，则的值为______．13．已知集合，，且，请写出满足条件的一个___________．14．已知平面截球得截面圆，其面积为；过圆心且与平面所成角的大小为的平面截球得截面圆，其面积为，则球的表面积为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在中，内角，，的对边分别为，，，已知．(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值．16．某校调查高中生“是否喜欢羽毛球”与性别的关系，随机抽取100名学生，得到列联表如下：喜欢不喜欢合计男生302050女生252550合计5545100(1)通过分析列联表数据，能否有95%的把握认为“喜欢羽毛球”与性别有关？请说明理由；(2)从“喜欢羽毛球”的55人中按性别分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取3人，记抽到男生人数为，求的分布列与数学期望．附：，，．17．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，设各棱长为．(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)求与底面所成角的正弦值．18．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：方程，有唯一解；(3)若函数和(其中)的零点分别为、，求的最大值．19．已知在平面直角坐标系中，将平面内一点绕坐标原点沿顺时针方向旋转角（为任意正角），称为顺旋，且将顺旋得到的点记为，其坐标满足．(1)设为轴上一点．若将点顺旋得到点，求点的坐标（用表示）．(2)已知反比例函数，其图象记为曲线，若将曲线顺旋（即曲线上每一点顺旋），得到曲线．（ⅰ）求曲线的方程．（ⅱ）当，，三点都在曲线上，且任意两点的横坐标都不相同，的垂心为．证明：也在曲线上．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．C【详解】由题可得，所以.2．A【分析】求得，进而可得.【详解】，，.故选：A．3．C【详解】数列为等比数列，，，，则.4．A【分析】利用向量的数量积的运算律将目标向量的模展开，结合向量数量积的定义求出夹角余弦值的范围，继而求出模的范围.【详解】因，而，故.5．B【分析】先利用辅助角公式化简的解析式，再根据图象的平移变换得到的表达式，再逐一判断选项即可；【详解】函数，，所以，是偶函数，最小正周期为.6．D【分析】结合正态分布的对称性，将所求区间的概率拆分为两个已知概率对应的对称半区间概率之和求解.【详解】.7．B【分析】根据题意，利用古典概型的概率计算公式，分别求得，结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意得，抛掷红、蓝两个均匀的骰子，共有36个基本事件，事件：蓝色骰子的点数是5或6，包括,，共有12个基本事件，所以，又由事件：两骰子的点数之和大于8，可得事件，共有个基本事件，所以，所以.8．D【分析】由椭圆方程求出焦点坐标，设椭圆上点，利用坐标公式计算，结合椭圆方程消去，化简得到关于的函数；结合椭圆中的取值范围，求解数量积的取值范围.【详解】由椭圆方程为，可得长半；短半轴；所以椭圆的半焦距，故椭圆的左、右焦点坐标分别，.设椭圆上任意一点的坐标为，，则向量，，，由椭圆方程，可得，代入数量积的表达式得：，由，可得：当（即点在椭圆短轴端点处）时，取得最小值；当（即点在椭圆长轴端点处）时，取得最大值.所以的取值范围是.9．BC【分析】根据给出的点坐标，分别写出四个选项中对应的向量的坐标，由向量的坐标运算进行判断，从而得到答案.【详解】点，，，选项A中，，，，所以，故错误；选项B中，，，，所以成立，故正确；选项C中，，，，所以成立，故正确；选项D中，，，，所以，故错误.故选：BC.【点睛】本题考查平面向量线性运算的坐标运算，属于简单题.10．ABD【分析】对于A，求出函数的定义域即可判断，对于B，利用奇偶性的定义即可判断；对于C，利用导数求出单调区间即可以判断；对于D，利用导数求出单调区间，再求出极值即可.【详解】对于A，要使函数有意义，则即，所以函数的定义域为，故A正确；对于B，由于函数的定义域为关于原点对称，且，所以为奇函数，故B正确；对于C，在上时，，，令，得解得；令，得解得.所以在上单调递减，上单调递增，故C错误；对于D，由选项C，可知在上单调递减，上单调递增，根据选项B可知函数为奇函数，故在上单调递增，上单调递减，处取得极大值，处取得极小值，所以极小值为，故D正确.11．ACD【分析】根据定义验证判断A，根据确定出所有（或部分）“完美数列”判断B，利用数列是“完美数列”，判断C，对“完美数列”的首项按1或2进行分类，特别是时，说明数列是“完美数列”，从而判断D．【详解】A选项，数列，，的项数是，时，，因此数列，，是“完美数列”，故A正确；B选项，数列项数为，数列的每一项为或，不合题意；，，此时（数列有个：，，，）；，（此时不可以有，否则），则分别为或或，第项可以为也可以为，这样的数列共有个，（实际上此时已经可能判定B选项错误）；，即，数列只能为共1个，所以，故B错误；C选项，以为首项的“完美数列”，，存在正整数（），使得，则，即存在正整数（），使得，所以数列（共项）是“完美数列”，共有个，故C正确；D选项，数列是“完美数列”，则存在正整数（），使得，若，则C选项知，个数为，若，则，显然这里（否则若，），因此对数列（共项），存在正整数，使得，即数列是“完美数列”，而有两种取法：或，因此共有个，所以，故D正确．12．【分析】利用计算即可.【详解】因为，，所以故答案为：13．(不唯一)【分析】利用和寻找一个结论．【详解】，即两个集合中元素相同，若，则，但此时，，，因此考虑，，，，所以，例如取，（答案不唯一）．14．【分析】先求出两个截面圆的半径，结合球心到截面的距离公式和二面角的几何关系建立关于球半径的方程，求解后计算球的表面积.【详解】按照题意画出如下图草图，由已知条件可得，圆的半径为，即，圆的半径为，即，由球的性质可知，平面，平面，因为平面和平面所成的角为，所以与平面的夹角为，又因为平面，所以，则，设，则，设球的半径为，在中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，，则，解得，即，所以球的表面积为.15．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理和已知条件可求得，进而确定角的大小；（2）利用余弦定理和基本不等式确定的最大值，再利用面积公式求得最大值【详解】（1）由正弦定理得，，又因为，所以，则，因为是三角形的一个内角，所以，因此.（2）由余弦定理得，，即，由基本不等式得，，即，当且仅当时等号成立，的面积，当且仅当时等号成立，因此面积的最大值为16．(1)没有95%的把握认为“喜欢羽毛球”与性别有关.根据列联表数据，设（男生喜欢），（男生不喜欢），（女生喜欢），（女生不喜欢），总样本量.，，因此没有95%的把握认为“喜欢羽毛球”与性别有关.(2)X的分布列为：0123数学期望.【分析】（1）根据卡方计算公式求解卡方，即可与临界值比较求解；（2）根据分层抽样比求解抽取人数，利用超几何分布的概率公式求解概率，进而可得法1：根据分布列和期望定义求解；法2：利用超几何分布的期望公式求解.【详解】（1）略（2）喜欢羽毛球的共55人，其中男生30人、女生25人，按性别分层抽取11人：抽取的男生人数：人，抽取的女生人数：人，从11人中随机抽3人，抽到的男生人数服从超几何分布，的所有可能取值为0,1,2,3.由超几何分布概率公式为，可得：所以的分布列为：

0

1

2

3法1：.法2：根据超几何分布（总体容量，其中具有某特征的个体数为，抽取个）的期望为，由题知，所以.17．(1)由题可知，底面，为正的中心，又正的边长为，所以，，以为原点，为轴，过作平行于直线为轴，为轴建立空间直角坐标系：，，，所以，结合已知可得，平面，平面，由线面平行判定定理，平面.(2)，，，，平面，故平面.(3).【分析】棱柱上下底对应边平行，，用线面平行判定定理直接证；建系求向量，证明垂直平面内两条相交直线，得到线面垂直；线面角公式：直线方向向量与底面法向量夹角，正弦等于竖坐标分量除以向量模长，算出结果.【详解】（1）略.（2）略.（3）底面法向量为，设直线与底面所成角为，则，又，，所以，所以直线与底面所成角的正弦值为.18．(1)(2)，；函数在上单调递增.当时，；当时，；对任意，方程有唯一解.(3)1【分析】（1）先求的导函数，分别求出和，得到切点坐标，根据点斜式即可求出切线方程；（2）先求的导函数，判断的单调性；再分析和时，的取值趋势；根据单调函数的值域是连续区间，即可证得对于任意，方程有唯一解.（3）根据函数和函数的零点分别为，，得到关于，的等式，从而得到和的关系，结合（2）中的单调性得到与的等量关系，将转化为关于的单一变量的函数，再求该函数的最大值.【详解】（1），；，.切线方程为，即.曲线在点处的切线方程为.（2）略（3）由函数，得函数的定义域为.函数的零点为，，得，即.由函数，得函数的定义域为.函数的零点为，，即.，..，函数在上单调递增，由，得；，.令，则；令，解得；当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；当时，函数取得最大值，即.的最大值为.19．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）曲线由的图象旋转而来，旋转保持垂直关系不变，故三角形垂心经过相同旋转之后仍是垂心，题目等价于三点都在曲线上，的垂