2024-2025学年福建省莆田某中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

2024.2025学年福建省莆田十五中高二(下)期中考试

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知函数/■(%)在X=%。处可导，且om+^)-/(xQ)=2,则1(%)=()

3

A•-3B.-2C.D.2

2.如图在平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)48。0-4当6。1中，E为8C延长线上的一点，BC=

3CE,则*=()

DiCi

A.AB+^AD-AA1&

B.AB+AD-I«5AA1

C.AB+^~AD+AAi

AB

D.AB-AD

2

3.已知曲线/(%)=1x-2上一点(1,%),记/'(%)为函数f(x)的导数，则/(1)+/(2)=()

33

AIB-2clD--5

4.函数/'(乃二登的图象大致为()

A--4L)B."八—xC.f,-1D--小J7

5.在棱长为1的正方体力BCD-&BiGDi中,则点G到平面48传的距离为()

6.正方体HBCZ)-48£。1的棱长为1，E为棱的中点，点P在面对角线BG上运动(P点异于8,G点),

2____________f.

以下说法错误的是()ra

A.BO1〃平面4EC

B』P1B]D

C.直线&E与平面CO5G所成角的余弦值为|

H

D.三棱锥尸-AC5的体积为上

7.已知P为空间中任意一点，力、B、C、。四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且万(二：而一

xPC+^DB,则实数％的值为()

O

1111

A3B「C.-D「

8.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线法向量，在平面直角坐标系中，过A(-3,4)的直线/的一个

法向量为(1,一3),则直线Z的点法式方程为：lx(%+3)+(-3)x(y-4)=0,化简得x-3y+15=0.类

比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点M(l,-3,4)的平面的一个法向量为记=(1,2,-4),则该平面的

方程为()

A.x4-2y-4z+21=0B.x-3y+4z+7=0

C.z—3y+4z4-21=0D.x—3y4-4z-11=0

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.在空间直角坐标系。xyz中，下列说法正确的有()

A.与点4(一3,4,2)关于“轴对称的点的坐标为(一3,-4,-2)

B.若伍,反可是空间向量的一组基底，且沆=12+4«儿〃eR),则｛乙瓦沆)也是空间向量的一组基底

C.已知&二(一1,2,0),b=(1,2,3),则石在G上的投影向量的坐标为(一洸,0)

D.已知而=平面a的法向量为沅=(1,2,1),则

10.已知函数f(%)=炉一37,其导函数为g(%),则()

A.f(x)有两个极值点

B./(%)有三个互不相同的零点

C.方程/•(%)=Q有三个不同解，则实数a的取值范围为(-4,0)

D.g(2-％)=g(x)

11.在三棱锥M-A8c中，下列命题正确的是()

A.若同=2而+,而，则=3前

B.若G为△48C的重心，则而=；豆？+；丽+；而

OOO

C.若稔•就=0,MC-AB=0,则说・就=0

D.若三棱锥M-48C的楂长都为2,P,Q分别为MA,8。中点，则|可|=2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知另=(3,。-2,。+2)(。€町是直线1的方向向量,L=(1,2,3)是平面，的法向量,若，〃a,则

13.已知五=(3,0,4),S=(-3,2,5),则向量G在向最披上的投影向最是____.

14.如图所示，在长方体力BCD-A/IGDI中，4。=44=2,AB=4,BXD

与平面4CD］交于点P,则点P到直线BC的距离为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数/(%)=alnx4-bx2+*在4=1处的切线方程6x—y—2=0.

(1)求a,b的值；

(2)求f(x)的单调区间与极值.

16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P—中，底面力BCD为长方形，P41底面4BCD,E是PC中点，已知48=2,AD=

2日PA=2.

(1)证明：AD1BP-,

(2)求二面角E-AD-8的大小.

17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P一力8CD中，Pi41平面/18C。，AB//CD,且CD=2,AB=1,BC=1,PA=2,AB1

BC,N为P。的中点.

(【)求证：AN〃平面PBC；

(H)求二面角C-PD一力的余弦值；

(川)点M在线段力P上，直线CM与平面H4D所成角的正弦值为苧，求点M到平面PCD的距禽.

•3

参考答案

\.D

2.A

3.C

4.A

5.C

6.C

7.A

8乂

9.AC

1().AC。

1\.HC

12.-1

IQx332255、

13•（一而，砺，否）

14.竽

15.(1)已知函数f(%)=alnx+bx2+x,

则r(x)=E+2bX+l,

又在％=1处切线方程6%-y-2=0,

所以y=/(1)=4,

r(i)=6

可

/(l)=4'

即真3=6

解得｛;:/・

(2)由(1)可得/(%)=-Inx+3x2+x,

所以/。）=_：+6无+1=（3xT,2x+D。＞0）,

令八外＞0,解得x＞；；令（（%）VO,解得ov%vg

则/(%)在(0,3单调递减，在(；,+8)单调递增，

即当“纲，/(%)的极小值为知仇3,无极大值.

16.解：(1)证明：因为PA1底面力BCD,ADu底面ABCD,所以P4J.4D,

又底面A8CD为长方形，所以4814D,PAC\AB=A,PA,48u平面P48,

所以401平面248,8Pu平面/MB,

所以/D18P.

(2)以A为原点，直线48,AD,AP分别为％,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,

易知底面/BCD的一个法向量为(0,0,1),记为沆，

又4(0,0,0),D(0,2/2,0)，E(l,y/2,1)-AD=(0,2/2,0).荏=(1,/I,1)，

设平面END的法向量为亢=(x,y,z)

则『.亚=°,则『合二。，

取x=l,可得五=(1,0,-1),

设二面角E-AD-8的大小为氏

则cos。=|cos<m,n)|=磊=a=苧'

所以二面角E-AD-B的大小为务

17.解：(【)证明：设尸。的中点为凡连接N凡BF,

因为N为尸。的中点，所以N/7/0C,RNF=^DC,

又AB"CD,且力B=：CD,所以NF〃AB,且NF=AB,

所以四边形AN尸B为平行四边形，则/N〃8F,

又AN仁平面PBC,BFu平面PBC,

所以力N〃平面P8C.

(11)记。。的中点为£连结4E,

因为71B//C。，CE=^CD=1=AB,AB1BC,

所以四边形A8CE是矩形，则<E=BC=LAEA.AB,

以4为原点，以AE,AB,4P所在直线为乃，y,z轴建立空间直角坐标系，如图,

则4(0,0,0),0(1,-1,0),C(l,l,0),P(0,0,2),

则而二(0,—2,0)，~PD=(1,-1,-2).而=(0,0,2)，

设平面PAD的一个法向量为方=(a,b,c),

则回1•亢，所以回・"2c=0,

(PO1亢(PD-n=a-b-2c=0

令a=1,则亢=(1,1,0),

设平面尸CD的一个法向量为五=(r,s,t),

则但*所以便•"-2s=0,

tPDLu(PD-u=r-s-2t=0

令t=l,则正=(2,0,1),

所以cos<n,u>=

|nHu|\//ZxvR55

由图可知，二面角C-PO-4为锐角，

所以二面先C-PD-A的余弦值为千.

(IH)依题意，设M(0,0,A)(0Wk$2),则丽=(一1,一1,1),

又由(H)得平面P4D的一个法向是为(1,1,0),

记宜线CM与平面/MD所成角为/?,

所以si印=|cos<n,CM>\=jjg-=-=苧，

V2y2+k

解得k=1(负值舍去)，

所以M(0,0,l),则丽=(0,0,1)，

而由(II)得平面PCD的一个法向量为正=(2,0,1),

所以点M到平面PCO的距离为簪=%=*.

|u|v55

18.解：(1)当m=l时,/(x)=/nx+^，r(x)=i-^,

故所求切线方程为y-1=一(％-1),即x+y-2=0；

C、。/、127nx2-2m

(2)fQ)"F=b，

又m>0,

则当％W(0,Y痂)时，f(x)<0,f(x)