2024-2025学年北京市东城区八年级上学期期末考试数学试卷（含答案）

2024・2025学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷

一,选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项也只有一项是符合题目要求的。

1.内角和为540。的多边形是（）

2.如图，为估计池塘岸边A,B两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点O,测得04=14m,OB=9m,则点A,8间

的距离不可能是（）

A.5mB.10机C.15mD.20m

3.下列各式计算正确的是（）

A.a3-a2=a6B.a6-i-a2=a4C.（a3）2=a5D.（2a2b）3=2a6b3

4.在一些科学研究或工程实验中，对测量结果的误差分析是非常重要的.例如,某个测量值的误差范围是±0.00056,用科

学记数法表示这个误差值可以更直观地看出误差的大小和相对精度.0.00056用科学记数法表示应为（）

A.0.56xIOTB.5.6x10-4C.5.6xIO-5D.5.6x104

5.下列怪形中，是轴对称图形的是（）

6.下列分式变形正确的是（）

c2b+a2+a

B.-5-=—r-

b2b

0.2y+l=2y+lD.*…2

O.Sx-5x

7.将一副三角板按如图所示的方式放置,图中心GIF的大小等于（）

8.下面是“作一个角使其等于4/lOB”的尺规作图方法.

(1)如图，以点。为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点

C,D.

(2)作射线0W,以点。'为圆心,0C长为半径画弧,交00于点U以

点C'为圆心,CO长为半径画弧,两弧交于点0.

(3)过点D'作射线0®,则44'点=Z.AOB.

上述方法通过判定△C'O'D'GAC。。得到440'夕=AAOB,其中判定^CUD&C。。的依据是()

A.三边分别相等的两个三角形全等

B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

9.牛奶和鸡蛋中含有十富的蛋白质.已知m克牛奶中含〃克蛋白质，比〃克鸡蛋中含的蛋白质少b克,则///克鸡蛋中蛋

白质的含量是()

皿。+匕)口。+匕)

Am(Q-b)Bcn(a-b)1

nnmm

10.如图,4B=AC,BE1AC,CF1AB,垂足分别为E,F,C产与BE交于点D,有下列结论：C

©△ABE^LACF,©△BDF^LCDE,③点。在，BAC的平分线上,®AB=DF+DB.其中/

所有正确结论的序号是()

A.①②/

B.②③F

C.①②③

D.①②③④

二，填空题：本题共8小题,每小题2分共16分。

H.港珠澳大桥全长约55公里,集桥，岛,隧于一体,是连接香港,珠海和澳门的超大型跨海通道,是迄今世界最长的跨海

大桥.下图是港珠澳大桥中的斜拉索桥,索塔,斜拉索,桥面构成了三角形,这样使其更柜定,其中运用的数学原理

是

12.若分式三有意义,则x的取值范围是____.

13.因式分解：a3-4ab2=_.

14.计算：（3-1+5-0°=___.

15.如图，点E,F在BC上,AB=CD,AF=DE,",。石相交于点G,若添加一个条件,可使

得^AB2>DCE,则添加的条件可以是_____.

16.如图，在四边形A8CD中=90°,4。=BC=4,AB=6,若AC平分乙41。，则四边形

A8CO的面积为______.

17.如图,等腰△ABC^AB=AC,AD1BC,石尸垂直平分A3,交AB于点£,交BC于

点居点G是线段Q上的一动点，若44BC的面积是6czn2,BC=6cm,则44DG的

周长最小值是_____.

18.如图,有正方形4,丛现将4放在A的内部得图1,将A,3并列放置后构造新的正方形得图2,若图1,图2中阴影部

分的面积分别为4,30.下列说法正确的有______.①正方形A和B的面积和是34,②图2中新的正方形的面积是64,③

正方形A和B的面积差是16,④正方形4的边长是5.

A

图

I图2

三，解答题：本题共10小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

26.（本小题6分）

己知血=5+23-2（九是正整数），机叫作〃的平方差倒数•例如亲=心,得叫作3的平方差倒数.

（1）4的平方差倒数是______.

（2）m=■一是〃的平方差倒数,求小的值.

（3）已知m=9_2b）2_3（1-2助+12）是某一正整数的平方差倒数仅涉是正整数）'求。+台的最小值.

27.（本小题7分）

在Rt△ABO^^ABO=90°,LAOB=60。,C为直线OB上一点（点C不与点。，点8重合），点C关于点B的对称点为

点D,连接AC,在直线OA上取一点E,使CE=AC,直线CE交直线AD于点F.

\A\A

CBO\BO\

图1

（1）当点C在如图1所在位置时,请补全图形.

①若匕0力。=a,求乙1EC的度数（用含a的式子表示）.

②写出此时OA,OCtOE之间的数展关系，并证明.

(2)当点C不在如图1所在位置时,请你确定一个满足题意的点。的位置,在图2中补全图形,直接写出一个

。4,。。,。£之间的数量关系.(要求：和(1)中OAOGOE之间的数量关系不同)

28.(本小题7分)

在平面直角坐标系xQv中，过点P(m,O)作直线1轴，图形W关于直线/的对称图形为“'，图形”上任一点到x轴,)，

轴的距离的最大值是d,称d是图形W关于直线/的加倍镜像“接收距离”.

已知点4(3,2).

8(5,2).(1)①线段A8关于直线/的1倍镜像“接收距离”是.

②线段4A关于直线/的机倍镜像“接收距离”是2〃〃的取值范围是.

⑵点C(-3,3),△4"关于直线/的〃?倍镜像“接收距离”的最小值是.

⑶点。(-4,一3),£(-2,-3),线段。£关于直线/的〃?倍镜像“接收距离”小于线段48关于直线/的〃?倍镜像“接收

距离”，求机的取值范围(直接写出结果即可).

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：设多边形的边数是〃，则

(n-2)-180°=540°.

解得n=5.

故选：C.

根据多边形的内角和公式5-2)-180。列式进行计算即可求解.

本题主要考查了多边形的内角和公式,熟记公式是解题的关键.

2.【答案】A

【解析】解：由三角形三边关系定理得：14一9V4BV14+9.

•••5<AB<23.

.•.48间的距离•不可能是5m.

故选：A.

三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边,三角形的两边差小于第三边，由此得到5<AB<23,即可得到答

案.

本题考查三角形三边关系，关键是由三角形三边关系定理得到5<AB<23.

3.【答案】B

【解析】解：A,M.小=故此选项不符合题意.

B,a6a2=a4,故此选项符合题意.

C,(a3)2=a6,故此选项不符合题意.

D,(2a2b7=8a6b3,故此选项不符合题意.

故选：B.

根据同底数塞相乘,底数不变指数相加，同底数幕相除,底数不变指数相减,塞的乘方,底数不变指数相乘,积的乘方,等

于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的事相乘,对各选项分析判断后利用排除法求解.

本题考查了同底数'曷的乘法，辕的乘方与根的乘方，同底数辕的除法,熟练掌握运算法则是解题的关键.

4.【答案】B

【解析】解:0.00056=5.6xIO-

故选：B.

科学记数法的表示形式为Qxion的形式，其中1<同<10,〃为整数.确定〃的值时,要看把原数变成。时，小数点移

动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值N10时，〃是正数，当原数的绝对值<1时，〃是负数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为QX104的形式,其中1<|a|<10,〃为整数，表示时关键要

正确确定。的值以及〃的值.

5.【答案】A

【解析】解：8,C,。选项中的图形不是轴对称图形，故旦C,。不符合题意.

A选项中的图形是轴对称图形，故C符合题意.

故选：A.

如果-个平面图形沿-条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，由此即可判断.

本题考查轴对称图形,关键是掌握轴对称图形的定义.

6.【答案】D

2_(〃+/；)(〃b)

【解析】解:=Q+匕，则A不符合题意.

a-ba-b

爷无法进行约分,则8不符合题意.

嚓±1=隼竺,则C不符合题意.

a2—4a+4_(a-2)2_

Q—2,则。符合题意.

a-2a-2

故选：D.

利用分式的基本性质逐项判断即可.

本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：z_DAC=乙DFE+ZC=60°+45°=105°.

•••Z-CAF=180°-Z-DAC=75°.

故选：C.

利用三角形内角和定理和三角形的外角的性质计算即可.

本题考查了三角形的内角和，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键.

8.【答案】A

【解析】解：由作图过程可得,OC=OD=O'C=O'D',CrDr=CD.

COD(SSS).

••・判定△C'O'D^LCOD的依据是三边分别相等的两个三角形全等.

故选：A.

由作图过程可得,OC=OD=O'C'=OU,CD'=CD,结合全等三角形的判定可得答案.

本题考查作图-复杂作图,全等三角形的判定,熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键.

9.【答案】B

【解析】解：由题意知，〃克鸡蛋中含的蛋白质(a+b)克.

所以m克鸡蛋中蛋白质的含量是吗也.

故选:B.

由题意知,〃克鸡蛋中含的蛋白质(Q+匕)克,据此可得答案.

本题主要考查列代数式,把问题中与数量有关的词语,用含有数字,字母和运算符号的式子表示出来,就是列代数式.

10.【答案】C

【解析】解：•••AB=AC,BE1AC,CF1AB.

...乙AFC=LAEB=90°.

在Rt△4E8中，£B=90°-z/1,在R£△AFC^Z.C=90°-Z.A.

/R=/C.

在A4BE和△4CF中.

Z.A=Z.A

AB=AC.

乙B=zC

△ABE^^ACF^ASA),故①选项正确.

-LABE^^ACF.

AAE=AF.

vAC=AB.

得BF=CE.

SABDF^\LCOE中.

(Z-BFD=MED=90°

乙8=乙C

(BF=CE

BDFW4CDE(AAS),选项②正确.

ABE^/s.ACF.

:.AE=AF,AC=AB.

连接AD.

&Rt△AFD^lRt△AED^.

(AE=AF

Ui)=AD'

Rt△AFD三R£△AED(HL).

:.^DAF=乙DAE,即点。在N/L4C的平分线上，选项③正确.

BDFACDE.

•••DE=DF.

:.DF+ED=DE+BD=BE.

vAB>BE.

AB>DF+DB,选项④错误.

故正确的为①®@.

故选：C.

根据垂直的定义得到=^AEB=90°,根据三角形的内角和得到乙8=心由全等三角形的判定定理得到4

ABE^^ACF(ASA),故①选项正确，由4E=AF,AC=48,得Br=CE,于是得到^BDF也公CDE(AAS),选项②正确，根

据全等三角形的性质得到4E=AF,AC=AR,连接AD,证得Rf△AFD金Rth4EO(“/,),根据全等三角形的性质得到

/-DAF=乙DAE,即点。在484c的平分线上,选项③正确，由DE=DF,得到际+BD=DE+BD=BE,根据48>

BE,AB>DF+DB,选项④错误,进而得到答案.

本题主要考查/垂直定义,全等三角形的判定与性质，角平分线的判定:熟记三角形判定定理是解决府题的关键.

11.【答案】三角形具有稳定性

【解析】解：港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔，斜拉索，桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是三

角形具有稳定性.

故答案为：三角形具有稳定性.

根据三角形具有稳定性解答即可.

本题考查的是三角形的性质的应用，熟记三角形具有稳定性是解题的关键.

12.【答案】工工5

【解析】解：由题意得：X-5H0.

解得：X=5t5.

故答案为：XW5.

根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案.

本题考查的是分式有意义的条件,熟记分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键.

13.【答案】a(a+2d)(a-2b)

【解析】解：a3-4ab2

=a(a2-4b2)

=a(a+2b)(a—2b).

故答案为：a(a+26)(a-2b).

先提公因式,然后再利用平方差公式继续分解,即可解答.

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公司式，必须先提公因式.

14.【答案】4

【解析】解:原式=3+1=4.

故答案为：4.

利用负整数指数累及零指数廨进行计算即可.

本题考查实数的运算,其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握.

15.【答案】z/1=乙。（答案不唯一）

【解析】证明：在/和△£）（?£中.

AB=DC

Z-A=Z.D.

AF=DE

.-.AARF^^DCE（SAS\

.•.使得^ABF^LDCE,则添加的条件可以是乙4=ND（答案不唯一）.

故答案为：LA=ZD（答案不唯一）.

由全等三角形的判定方法,即可得到答案.

本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS,ASA,AAS,SSS.

HL.16.【答案】20

【解析】解；过C点作“于E点，如图，二

•••4C平分4BAD,CE1AD,CB1AB.

CE=CB=4.

.••四边形A8CO的面积=S^ABC+S*ADC=1X6X4+1X4X4=20.

故答案为：20.AB

过C点作CE14”于E点,如图，先根据舛平分线的性质得到CE=CB=4,然后根据三角形面积公式,利川四边形

ABC。的面积=S4ABC+SAAQC进行计算即可.

本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了三角形面积公式.

17.【答案】5

【解析】解:如图，连接GB.

A

「0

AB=ACtADIBC.

.・.BD=DC=3.

VS^ABCBC-AD=6.

:.AD=2.

•••E"垂直平分AB.

GB=GA.

・，4G+GD=BG+GD.

■:BG+GDZBD.

•**GB+GDN3.

・•.GB+GD的最小值为3.

：,△AUG的周长最小值为2+3=5.

故答案为：5.

如图,连接G8.利用三角形的面积公式求出AD,由E/垂直平分AB,推出GB=GA,推出力G+GD=BG+GD,由BG+

GD>BD,推出GB+GD>3,GB+G。的最小值为3,由此即可解决问题.

本题考杳轴对称-最短问题,线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题,属于中考常考题型.

18.【答案】①②③④

【解析】解:设正方形A的边长为正方形B的边长为〃.

图1的阴影部分是边长为Q-b的正方形,因此面积为(Q-力尸.

图2的阴影部分是边长为a+b的大正方形与边长为边长为b的两个正方形的面积差，即(a+b)2-a2-b2.

又•.•图1,图2中阴影部分的面积分别为4.

30.•••(a—b。=4,(a+b)2—a2—b2=30,即ab=15.

:.a2—2ab+b2=4.

UPa2+〃=4+2ab=4+30=34.

因此①正确.

:.(a+b)2=(a—b)2+4ab=4+60=64.

囚此②正确.

v(a—bp=4,(a+b)2=64,a>b>Q.

a—b=2,a+b=8.

•••a=5,b=3.

a2-d2=25—9=16.

即正方形A与正方形8的面枳差为16.

因此③止确.

由于Q=5,即正方形A的边长为5.

因此④正确.

综上所述,正确的结论有①©③④.

故答案为：®®®®.

根据图1,图2与正方形4,正方形B的关系以及正方形面积的计算方法逐项进行判断即可.

本题考查完全平方公式的几何背景,掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键.

19.【答案】解:a4•(2a)2+(a3)3-6a9+2a3

=a4-4Q24-a9-3a6

=4a6+a9-3a6

=a9+a6.

【解析】根据题意,先算乘方,再算乘除然后合并同类项即可.

本题考查了整式的混合运算，解决本题的关键是掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则.

20.【答案】解：原方程去分母得：4=X2-2X-X2.

整理得：-2丫二4.

解得：x=-2.

检验：当％=-2时,/一2%工0.

故原方程的解为无=-2.

【解析】将原方程去分母后化为整式方程，解得x的值后进行检验即可.

本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键.

21.【答案】解；3mn—5m2—2.

:.6mn=10m2—4.

原式=m2-n2+97n2-6mn+n2

=n2—n2+m2+9m2—6mn

=10m2-6mn

=10m2-(10m2—4)

=10m2-10m2十4

=4.

【解析】先根据已知条件和等式的性质求出6nm=10m2-4,然后再根据多项式乘多项式法则和完全平方公式进行化

简，最后把6mn=10m2-4代入进行计算即可.

本题主要考查了整式的化简求值,解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和完全平方公式.

22.【答案】解：原式=(詈+告)♦詈

_%2+4%4-4x-1

-%-1%+2

_(%+2)2•-1

-x—1x+2

=x+2.

•••x=1或一2时分式无意义.

%不能是1或-2.

二当％=3时.

原式=3+2

=5.

【解析】先把括号内的整式化成分母是的分式，然后按照同分母的分式相加法则计算括号内的，再把除法化成乘

法,进行约分,然后取能让分式有意义的数，代入化简后的式子进行计算即可.

本题主要考查了分式的化简求值,解题关键是熟练掌握分式的通分与约分.

23.【答案】解:(1)如图,AD即为所求.

(2)如图，△4/iG即为所求.

(3)如图，连接"1，交直线/于点Q,连接CQ

此时QB+QC的值最小.

【解析】(1)取3c的中点D,连接即可.

(2)根据轴对称的性质作图即可.

(3)连接BG，交直线/于点Q,连接CQ,此时点。即为所求.

本题考者作图-轴对称变换,轴对称-最短路线问题,三角形的中线,熟练掌握轴对称的性质,三角形的中线的定义是解答

本题的关键.

24.【答案】证明：•.•乙1=乙2.

•••z.1+£CAD=z.2+Z.CAD.

:.Z.BAC=乙DAE.

在△/8C和中.

AB=AD

Z.BAC=Z.DAE.

AC=AE

：^ABC^^ADE(SAS).

BC=DE.

【解析】由乙1=42,推导出=而A5=A。，力C=4E,即可根据“SAS”证明△45cg△AOE,则8C=0E.

此题重点考查全等三角形的判定与性质,推导出4BAC=乙DAE,进而证明4/WE是解题的关键.

25.【答案】解：设第二小组的步行速度是x每小时千米，则第一小组的骑行速度是每小时2x千米.

依题意得不母含

解得：x=5.

经检验,x=5是原方程的解,且符合题意.

答：第二小组的步行速度是每小时5千米.

【解析1设第二小组的步行速度是x每小时千米,则第一小组的骑行速度是每小时2x千米,根据第一小组比第二小组提

前6分钟到达,列出分式方程，解方程即可.

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

26.【答案】4

【解析】解：⑴：-V-2=-T-2=

(4+2)-426Z-4，20

4的平方差倒数是赤

故答案为：去.

(2)由题易得,/一=—

62-n(n+2)z-n2

21

'62-n-4n+4

即8n+8=62—九.

解得n=6.

此时m=Ty—=Ty-T=

oz-noz-bZo

1

(Q-2b)2-3(/-2Qb+12)

_1

a2+2ab+12—36

_]

一(a+d)2-62'

(a+b}2-62=(n+2)2-n2.

A(a+b)2=4(n+10).

a,b,n为正整数.

・•.n可取的最小值为6.

・•・a+b的最小值为8.

(1)根据A方差倒数的定义直接求解即可.

(2)根据题意建立方程求解即可.

(3)利用国式分解化简求解即可.

本题主要考查了因式分解的应用，解分式方程等内容,熟练掌握相关知识是解题的关键.

27.【答案】解：(1)①•••Z-ABO=90°,LA0B=60°.

/.BAO=30°.

•••Z.OAD=a.

:.Z.DAB=Z.OAD+Z.BAO=a+30°.

•.•点C和点。关于点B对称.

BC=BD.

AAC=AD.

Z.BAC+乙DAB=ct+30°.

:./CAE=/RAC+/RAO=a+30°+30°=a+60°.

•••AC=CE.

Z.AEC=Z.CAE=a+60°.

0C=04+0E,理由如下：

作CG10A于G.

:.Z-CGO=90°.

•••LAOB=60°.

:.Z.OCG=30\

:.OC=2OG=2(OA-AG).

•••AC=CE.

：.AG=\AE=\^OA-OE).

AOC=2[OA-\(OA-OE)]=OA+OE.

当点C在OC上时.

作CG1。4于G.

由②知，OC=2OG,AG=EG=\AE.

OC=20G=2(04-4G)=2(0A-^AE)=2[0A-^(0A+0E)]=OA-OE.

【解析】(1)①可得出匕ZM8=Z-OAD+Z.BAO=a+30°,AC=AD,从而得出乙BAC十Z.DAB=a+3CT,进而得出

^CAE=a+60°,进一得出结果.

②作CG1。力于G,在R£