2024-2025学年河南省安阳市滑县九年级（上）期末数学试卷+答案解析

2024-2025学年河南省安阳市滑县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.在平面直角坐标系中，点4（2.3）关于原点对称的点的坐标是（）

A.⑵3）B.（—2,3）C.（~-3,—2）D.（―2,—3）

2.下列词语所描述的事件属于随机事件的是（）

A.水中捞月B.水滴石穿C.瓜熟蒂落D.心想事成

3.抛物线v=/与沙=一/相同的性质是（）

A.开口向上B.有最高点

C.顶点是原点D.X<（）0'j,y随x的增大而增大

4.一元二次方程/++9=0的根是（）

A.工］=g=\/3B.z=±3C.Zi=电=3D.X\=X2=-3

5.如图，将绕点。按逆时针方向旋转65°后得到△ABC,若=20°

则N4C*的度数为（）

A.45°

B.65°

C.85。

D.105°

6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，4B,C,力四个点均在格点上，4c与

月。相交于点E,连接48,CD,则△A3E与△COE的周长比为（）

A.I：4

B.4：1

C.1：2

D.2：1

7.如图，力是。。外一点，直线与。。相切于点儿40的延长线交。。于点

C,连接8C,若43=4，ZC=15%则数的长为（）

A.7T

第1页，共21页

37r

C.—

2

D苧

8.如图1,“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计.

全套“燕儿”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的

宽都相等，七张桌面分开可组合成不同的图形.桌面的图2给出了《燕儿图》中名称

为“同文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x,七张桌子总面积为S,则S图1图2

与工的关系可以表示为（）

A.s=20/B.s=12/C.s=7x2D.s=4,+3

9.如图，在RtA43。中，47=8C=方，点。在力4的延长线上，且A8C

则cos。的值是（）

ABD

AV2D.正

23

10.实验证实,放射性物质在放出射线后，质量符减少,减少的速度开始较快，后来较慢，如图1是镭所剩

的质量随着时间的变化而变化，图2是“半衰期”的相关内容.下列说法不正确的是（）

半衰期

实际上，放射性物质的质量减为原来的，半

所用的时间是一个不变的量.我们把这个时

间称为此种放射性物质的半衰期0

图2

A.镭所剩质量与时间成函数关系

B.当时间为4860年时，〃?的值为当劭

第2页，共21页

C.镭的半衰期是1620年

D.32〃?g镭缩减为l〃?g所用的时间大约是6480年

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.二次函数V=—2/-1图象的顶点坐标为____.

12.若关于X的一元二次方程/+3z+m=0有两个不相等的实数根，请写出一个符合题意的整数/〃的值

13.如图所示的图案是由两个边长相等的正方形组成的，若使这个图案旋转一定角度

后与原来的图案重合，则旋转的最小角度为_____度.

14.如图，点4为反比例函数沙=一［2<0）图象上的一点，连接40,过点。作04的垂线与反比例函数

15.如图，在△43。中，乙4。8=90°,AC=BC=2^直线MN经过点C,

,8D是4c边上的中线，将△3CO绕点8顺时针旋转,得到ABCD：

当点。落在直线MN上时，CD'=______.

三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤。

16.（本小题8分）

(1)解方程：(/+4)2=3(④+4)；

（2）画图：在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△43。的顶点均为格点（网格线的交点）,

以边力C的中点O为旋转中心，将△4〃。按逆时针方向旋转180°，得列请画出△45'。，并

判断旋转前后的图形组合成了形.

第3页，共21页

20.(本小题8分)

古建筑的屋顶蕴藏着很深的中国文化，如“悬山顶”(如图1),一•般用于普通民居，建筑屋檐出了山墙，

远远一看，就好像悬在山墙之上，可以有效保护山墙不受风雨侵蚀，多见于雨季潮湿的南方.图2为一栋“悬

山顶”式建筑的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶力必经走廊顶部水平管道AC流出，呈抛物线形落到

院中地面上点E处(可将点。视为抛物线顶点).若走廊力尸和顶部的宽度均为1m,屋高8D即为4/〃，

雨水落点距屋子的水平距离OE为2m.请根据题意，解决下列问题.

图I图2

(1)建立适当的平面直角坐标系，求出雨水从顶点C落到地面点E的抛物线的解析式，并注明自变量的取值

范围；

(2)现计划在院中安放一个高为0.76m的圆柱形洗手池，使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心，点,

请计算所计划建造洗手池的底部中心G到走廊的距离FG的长.

21.(本小题8分)

如图1,在△43。中，AB=6,BC=4,点、P为AB上一点,AP=x,过点夕作PQ〃〃。交力。于点

Q.PQ=yi，△43。的周长△APQ的周长之比为

(1)分别求阴，如关于X的函数表达式，并注明自变量X的取值范围；

(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数妁，生的图象；

(3)结合函数图象，请直接写出当讥》如时”的取值范围.

第5页，共21页

22.（本小题8分）

阅读材料：“我们通常用的计数法是十进制，即以10作为进位基数，逢十进一.如

256=2x102+5x101+6x10".而计算机使用的是二进制，其各位上的数字只有。或1,如二进制数字

10111表示成十进制数是1x24+0x23+lx22+lx2】+lx20=23.第14届国际数学教育大会

（/CA/E-14）会徽的主题图案蕴含了丰富的数学元素，展现了我国数学文化的魅力.其右下方的（）是用我

国古代的记数符号写出来的八进制3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个数字，逢

八进一.八进制数3745换算成十进制数是3X83+7X82+4X81+5X8°=202b2021表示ICME-14

的举办年份”.

思考并解答下列问题：

（1）二进制数1011换算成十进制数是;八进制数202换算成十进制数是；

（2）十进制数2025换算成八进制数字是_____；

（3）小丽同学设计了一个①（/为正整数）进制数121,换算成十进制数是100,求x的值.（要求有求解过程）

23.（本小题8分）

如图1,直角三角形力4。中，ZC=90°，NA的对边记作。，的对边记作爪它的外接圆©O的半径是

第6页，共21页

【探究发现】小聪在探究中发现，焉=瘾,且这个比值和，•之间存在着某种数量关系.

（1）请你宜接写出它们之间的数量关系：;

【推广探究】小聪进一步研究发元，（1）中的结论不仅在直角三角形中成立，在任意三角形中均成立.并且还

田口abc

满足--7=~-5==予；

sinAsin13smC

（2）如图2.锐角三角形。中，乙4的对边是a,N8的对边是b,NC的对边是c,它的外接圆。0的半径

是「，请利用图2证明（1）中的结论；

【尝试应用】（3）如图3,△43。中，若乙4二105。，N8=30°，BC=®+&，请利用以上结论直接

写出力C,力4和△43。外接圆半径「的长：AC=______：AB=：r=_____.

第7页，共21页

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：•.•点4(2,3),

.・.A点关于原点对称的点为(-2,-3),

故选：D.

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反.由此何求点A关于原点对称的点的坐标.

本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：A.水中捞月，是不可能事件，不符合题意；

8、水滴石穿，是必然事件，不项符合题意；

C、瓜熟蒂落，是必然事件，不符合题意；

。、心想事成，是随机事件，符合题意：

故选：D.

根据事件发生的可能性大小判断即可求解.

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不

可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也

可能不发生的事件.

3.【答案】C

【解析】解：二次函数图象特征：开口向下，顶点是原点，为最高点，对称轴是y轴，在对称轴左

恻，y随大增大而增大，在对称轴右侧，丁随x增大而减小，

二次函数〃=/图象特征：开口向上，顶点是原点，为最低点，对称轴是y轴，在对称轴左侧，y随x增大

而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，

.•.抛物线"=一/和〃=/的共同性质是：顶点是原点，对称轴是y轴，

故选：C.

根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以解答本题.

本题考查二次函数图象的性质.熟练掌握该知识点是关键.

4.【答案】D

【解析】解：原方程可化为(£+3)2=0，

解得xi=xq=-3.

第8页，共21页

故选：D.

可将等式的左边因式分解，就可解出此方程.

本题主要考查了运用因式分解法解方程，解方程常用的方法有四种：直接开平方法、因式分解法、配方法、

公式法，应灵活运用.

5.【答案】C

【解析】解：由旋转的性质可知：/3。幺=65°，

•「Z4CB=20°>

AACB'=AACB+/.BCB'=85°,

故选：C.

由题意易得/3。3'=65。，然后问题可求解.

本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

6.［答案】D

【解析】解：如图所示，

由网格图可知：BF=2，4F=4，CH=2,DH=1，

AB=，4户+叱=2V/5，

CD=yJCH14-DH2=g

FA//CG,

：.AFAC=Z.ACG.

在RtZL4BF中,

BF21

tanZ.BAF=

k厂5'

在RtZXCOH中,

HD1

tanZ//CD=

CH=2

：,tanZ.BAF=tan/.HCD，

：,ABAF=AHCD,

•「ABAC=ABAF+ZC4F,^ACD=ZDCH+ZGCA,

第9页，共21页

：,ABAC=/.ACD，

：.ABI/CD.

赳ABEs&JDE,

：./XABE与△COE的周长比=禁=竺=M

CD瓜1

故选：D.

利用网格图，勾股定理求得力8,8的长，利用直角三角形的边角关系定理得出月F=NHC0,进而

得到则4B〃CO,再利用相似三角形的判定与性质解答即可.

本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，平行线的判定与性质,

充分利用网格图的特征是解题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：连接。8,

•.•OB=OC，

LOBC=ZC=15%

.•.A4OB=NC+NOBC=30。，

•.•直线48与。。相切于点儿

/.OBLAB，即。48。=90°，

.•.在RtZ\4B0中,AO=2AB=2>/3»

21

BO=VAO-AB,=J(2®-(g)2=3,

­.­LBOC=180°-/.AOB=180°-30°=150%

O1507rx357r

,，=180=亍

故选：C.

连接0从由等边对等角得到NO3C=NC=15°，从而乙405=NC+NOB。=30。，根据切线的性质与

勾股定理可求得50=，4()2一4方2=3,根据弧长公式即可解答.

本题考查切线的性质，弧长公式，勾股定理.，综合运用相关知识是解题的关键.

第10页，共21页

8.【答案】A

【解析】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则“回文”中的大长方形的长为5x,

/.S=4①・5,=20T2»

故选：A.

若设每张桌面的宽为x，则“回文”中的大长方形的宽为4x,观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则“回

文”中的大长方形的长为5x,再根据面积公式列出对应的函数关系式即可.

本题主要考杳了列函数关系式，解题的关键是理解题意.

9.【答案】B

【解析】解：如图所示，过点C作。EL43，

在中，AC=BC=

/.AB=+BC'2=而科不考=2,

CD=AB=2,/.A=ACBA=45%

/.AE=BE=CE=l-AB=1,

在RtZXCEO中，ED=\/CD2-CE2=x/22-I2=瓜，

口ED6

•.3=而=T

故选：B.

过点C作。E1A8,根据勾股定理可以求出CO=45=2,△4C8是等腰直角三角形，根据等腰直角三

角形的性质可知4E=8E=CE=：43=1,利用勾股定理可以求出EO=乃，再根据余弦的定义可以

求出N。的余弦值.

本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数，掌握以上知识点是解题的关键.

10.【答案】D

【解析】解：4对于每一个时间.加都有唯一的值与它对应，所以镭所剩质量与时间成函数美系，故力选

项正确，不符合题意：

1

8.根据函数图象可知，当时间为4860年时，，〃的值为6〃如，故B选项正确，不符合题意；

O

第11页，共21页

。.当镭的质量减为$九0时，时间为1620年，所以镭的半衰期是1620年，故。选项正确，不符合题意：

。.每经过1620年，镭的质量减为原来的一半，当质量为32〃?g经过〃个1620年后，镭的质量为（，x32（mg）,

所以当镭的质量为Img时,n=5>即32〃?g镭缩减为1〃噜所用的时间大约是1620x5=8100年，故以选

项错误，符合题意.

故选：D.

利用函数的定义即可判断4选项；根据函数图象即可判断8选项；根据“半衰期”的定义即可判断C选项；

每经过1620年，镭的质量减为原来的一半，当质量为32〃噜经过〃个1620年后，镭的质量为J）”x32（mg）,

则当71=5时，镭的质量缩减为l，〃g，以此可判断。选项.

本题考查函数的定义、函数的图象、新定义问题，根据题意结合函数图象得出镭的半衰期是解题关键.

11.【答案】（0,-1）

【解析】解：二次函数”=一2«-1图象的顶点坐标为：（0,-1）.

故答案为：（0,-1）.

根据二次函数的性质，直接写出顶点坐标即可.

本题考查二次函数的性质.熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

12.【答案】0（答案不唯一）

【解析】解：•.•关于x的一元二次方程/+3/+m=0有两个不相等的实数根，

/.A=32—4m>0，

9

解得加<；，

4

所以当小取（）时，方程有两个不相等的实数根.

故答案为：0（答案不唯一）.

先根据判别式的意义得到△=32-4m>0,解不等式得到，〃的范围，然后在此范围内取一个值即可.

本题考查了根的判别式：一元二次方程。/+历；+。=0缶#0）的根与△=/_4QC有如下关系：当△〉0时,

方程有两个不相等的实数根；当A=（）时，方程有两个相等的实数根：当A<0时，方程无实数根.

13.【答案】45

【解析】解：这个图形平分成8部分，则旋转的最小角度是争=45。，或45度的整数倍能够与原来的图

O

形重合，

故答案为：45.

第12页，共21页

直接利用旋转的性质结合正方形的性质得出各内角度数，进而判断得出答案.

本题主要考查了旋转对称图形旋转的最小的度数的计算方法，掌握其性质是解题的关键.

14.【答案】2

【解析】解：作AGLr轴，垂足为G,3HLe轴，垂足为从

y

G6H3

•.•点A在函数g=--[x<0）图象上,

X

S^AGO=2*

4

•.,点B在反比例函数V=-(x>0)图象上，

X

/.S&BOH=2,

•/-03=9()。，

;.ZAOG=/HBO,2AGO=4OHB,

4AGOsAOHB,

.SM)HB_(802_2

S^AGOA。I，

2

BO门

••荷=2・

故答案为：2.

作4G_Ur轴，3HLr轴，可证明△4GOs△。“8,利用面积比等于相似比的平方解答即可.

本感考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键.

15.【答案】通+松或，^一逐

【解析】解：①当。在点。的左侧时，过点。作CEL4B于点E,过点8作8GLWN于点G,如图,

•.•在△43C中，Z4CB=90%AC=BC=2^

：.是等腰直角三角形，

第13页，共21页

.AB=VAC2+BO=2AZ.CBA=45°，

/.CE=\AB=V2,

•：MNIIAB,

：.3G=CE=y2,2GCB=ZABC=45°=2CBG，

:.CG=BG=C，

•13。是AC边上的中线，

.•.D是4C的中点,

,'.CD==1,

由勾股定理得，BD=+3c2=，12+22=瓜,

由旋转得，BD，=BD=4

在RtZXBGZT中，G»=-BG2=而可二F而=瓜，

CD=GD-GC=W-瓜

②当。在点C的右侧时，GD'=y/BD'2-BG1=J（悯2T@2=瓜.

C。=G。+CG=遮+松.

故答案为：禽+鱼或逐一，！

点。'的位置有两个，在点。的左右两侧，①当。在点。的左侧时，过点。作CE_L43于点£,过点4作

BG上MN于点G,根据勾股定理求出48=2松，BD=x/^=BD^由平行线间距离相等得出

BC=CE=®可得出CG=，5,由勾股定理得出O'G=6，故可得出CO=瓜-瓜•、②当。在

点C的右侧时可求出GD'=禽，故可得出。。=乃+四.

本题主要考行旋转的性质，勾股定理以及等腰直角三角形的性质，正确进行计算是解题关键.

16.【答案】ii=-4,屹2=-1；

画图见解析，平行四边.

【解析】解:(1)据因式分解法解一元二次方程可得：

(x+4)2=3(I+4),

第14页，共21页

(N+4)2-3(E+4)=0,

(z+4)(x4-4-3)=0,

.,.t+4=0,n+1=0,

/.£1=-4,X2=-1.

(2)根据题意，利用网格作图如下:

旋转前后的图形组合成了平行四边形，

故答案为：平行四边.

(1)根据因式分解法解一元二次方程即可；

(2)根据题意，利用网格作图即可.

题目主要考查了因式分解法解一元二次方程，旋转图形的作法，熟练掌握这些基础知识点是解题关键.

17.【答案】:

【解析】解：(1)•.•字谜/、字谜4、字谜C、字谜。，其中字谜力、字谜〃是猜“数学名词”，字谜C、

字谜。是猜“数学家人名”，

21

小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是.=大，

故答案为：-：

(2)画树状图如下:

开始

BACDAzC\DAXBDAXBC

共有12种等可能结果，其中小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的结果有2种，即C。、OC,

了.小军抽取的字谜均是“猜数学家人名”的概率

(1)直接由概率公式求解即可；

第15页，共21页

(2)画树状图，共有12种等可能结果，其中小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的结果有2种，再由概

率公式求解即可.

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结

果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所

求情况数与总情况数之比.

18.【答案】见解析;

27T-2点

【解析】(1)证明：・••43是圆。的直径，

/."CB=90。，

£BAC=90°-Z.ABC=90°-60°=30°，

LABD=180°-ZD-ABAC=180°-60°-30°=90°,

BDLABt

•.•43是半圆。的直径，

30是半圆O的切线.

(2)解：•.•N4CZ?=90°,ZBXC=30%

/.AB=2BC=2x2=4,

AC=，4口2一BC2=1瓜、

：.OB=\AB=2,

SRLBC=•BC=：x2\/3x2=2\/3,

S华圈o=:7F-OB2=^7TX22=27F»

S阴影=S半圆。-SR^ABC=2TT—1瓜.

(1)根据直径所对的圆周角得到N4C3=90。，进而根据三角形的内角和求出ABAC=30%AABD=90%

即可得证结论；

(2)根据30。角的直角三角形的性质与勾股定理求出43=28。=4，4。=，4加一叱=2后根据

S阴影=Sr国°-SRI/UB「即可解答.

本题考查了直径所对的圆周角为直角，切线的判定，扇形的面积，熟知相关性质和计算公式是解题的关键.

19.【答案】教学楼48的高度约为16米.

第16页，共21页

【解析】解：如图，延长力8,交P0的延长线于点C,

由趣意知，AC=30m,PQ=9.8m,NAP。=45°，ZBQC=35°.

/.QC=PC-PQ=30-9.8=20.2(m).

在RtZXBQC中，BC=QC-tan35°x20.2x0.7=14.14(m).

AB=AC-BC=30-14.14=15.8G«16(m).

答：教学楼的高度约为16米.

延长力8,交P。的延长线于点C,由题意易得47=30m，PQ=9.8m,Z4PC=45°>NBQC=35。,

然后根据三角函数可进行求解.

本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解仰角、俯角的意义是解题的关键.

20.【答案】建立坐标系见解析，旷=一4，+4(0</(1)；

水池的底部中心G到走廊的距离FG的长为0.9m.

【解析】解：⑴以点尸为原点，射线尸E,"C的方向分别为x轴、》轴的正方向建立平面直角坐标系.

•「E(l,0),顶点C(0,4),

y=UJ?+4,

a-l2+4=0,

。=一4，

/.y=-4x2+4(0(n41)；

(2)当？/=0.76时，即一4,+4=0.76,

解得工1=0.9,©=-0.9(舍去).

答:尸G的长为0.9m.

第17页，共21页

(1)(答案不唯一)以点£为原点，射线正，小的方向分别为x轴、)，轴的正方向建立平面直角坐标系，得

到E(LO),顶点。(0,4),利用待定系数法即可求出此时的函数解析式；

(2)当y=0.76时，即一4/+4=0.76,求出方程的解，即可求出〃G的长.

本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法求函数关系式及二次函数的性质是解题的关键.

21.【答案】yi=-x(0《c46),y2=-(0<i《6)；

见解析；

34246.

【解析】解：Q『PQ/IBC,

：.△"QS/UBC,

AP_PQ

'1B=~BC'

.£z/i

，,4一I，

2

/.期i=/o

CAABC_48

乂豆菽=而

6

y-2=-X-

,:点、P为AB上一点,AP=

26

/.Hl=fZ(。wNw6),y-2=-(0<Nw6).

3x

(2)如图，即为所求；

(3)当见》改时x的取值范围为3(①於6：理由如下：

由函数图象可知，当见》沙2时x的取值范围为3<①(6.

第18页，共21页

(l)rtiZL4PQsZ\A3C可得嘿=f，//石，据此即可求解：

ABBCC&4PQA产

(2)根据(1)所得函数解析式画出函数图象即可；

(3)根据函数图象写出x的取值范围即可.

本题属于三角形综合题，主要考查了一次函数与反比例函数的图象及交点问题，相似三角形的判定和性质,

利用相似三角形求1B函数解析式是解题的关键.

22.【答案】11,130;

3751：

%的值是9.

【解析】解：(1)二进制数字1011表示成十进制数是：1x23+0x22+1x21+1x20="，

八进制数202换算成十进制数是2x82+0x814-2x8°=13()，

故答案为：