2024人教版八年级（下）期末数学试卷（拔尖卷）解析版

2024・2025学年八年级（下）期末数学试卷（拔尖卷）

【人教版】

参考答案与试题解析

第I卷

一.选择题（共10小题，满分30分,每小题3分）

1.（3分）（24-25八年级•浙江•阶段练习）已知x=&一百,y=&+代,则代数式+2町,+与+一一y-4

的值为（）

A.—B.-C.V3-1D.—

242

【答案】C

【分析】根据己知，得到x+y=V2-V3+V2+V3=2e,x—y=V2—V3—V2—V3——2S，整体思想

带入求值即可.

【详解】解：：X=a-V3,y=V24-V3,

.*.x+y=>/2—>/3+>/2+V3=2\[2,x—y=y/2—V3—V2—A/3=-2>/3,

、/%2+2%y+y2+*_y_4=+y）2+（x-y）-4

=J（2®2-2V3-4

=\Z8-2V3-4

=NZ4-2V3

=J（V3）2-2V3+1

"（百-J

=3-1.

故选c.

【点睛】本题考查二次根式的化简求值.熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的

关键.

2.（3分）（24-25八年级•浙江绍兴・期末）如图，在内△ABC中，zC=90°,AD平分2CA8交BC于点。，

点E在边A8上，AE=BE=BD,DE=；,则49的长度为（）

*5

B

A.V2B.5C.1D.V3

【答案】A

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，过.4作力GII8C

交DE的延长线于G,过4作/IH_LEG于，，可得△力EG三△BEO(AAS),即得EG=OE=|,AG=BD,

得到AG=AE,得到==gZ.GAH=Z.EAH,得至进而根据角平分线可得/D/H=45。,

得到△ZM”是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：过4作AGWBC交DE的延长线于G,过4作A"_LEG于H,

:.乙G=LBDE,Z-C+LGAC=180°,

VzC=90°,

：.ACAG=90°,

在小EG与ABEO中，

(LG=乙BDE

l^,AEG=乙BED,

(BE=AE

：.LAEG^BEDIAS),

2

：,EG=OE=mAG=BD,

•；BE=AE,

/.AG=AE,

,：AH1EG,

：.EH=-EG=AGAH=^EAH,

23

ADH=1+1=1,

33

,:AD平分NCAB,

：,£DAE=^CAB,

2

：.^.DAE+^.HAE=-^.CAG=45。,

2

即4DAH=45°,

:.kDAH是等腰直角三角形，

：,AD=>/2DH=V2,

故选：A.

3.（3分）（24-25八年级•湖北武汉•阶段练习）如图，在ABCD+，E,尸分别是48,BC的中点，连接

EC：FD,G,〃分别是EC,的中点，连接GH,若力8=6,BC=8,々BAD=120。,则GH的长度是

（）

【答案】B

【分析】如图，连接C”并延长交力。于P，连接PE,过E作瑁140交ZX4延长线于/,根据平行四边形

的性质得到AD\\BC,AD=BC=8；再说明=ABAD-Z/=30°,根据直角三角形的性质和勾股定理可

得AI=|、/E=苧根据全等三角形的性质得到PC=CF,进而求得IP=y,再由勾股定理可得PE=V34,

最后运用三角形的中位线定理即可解答.

（详解］解：连接CH并延长交4。于P,过E作£7_L4。交ZM延长线于/,

j_AP.n

B

F

•・•四边形48CD是平行四边形，

.-.AD\\BCtAD=BC=8,

丁点E.F分别是边AB.BC的中点,AB=6,BC=8,

二AE=\AB="6=3,CF=；BC=：x8=4,

2222

•••/.BAD=120°,

二LAEI=乙BAD-Z/=30u,

AI=^AE=|,/E=y/AE2—AI2=J32_（|）=苧，

VADUBC,

:•乙DPH=Z.FCH,

在APDH与ACFH中,

ZDPH=乙FCH

乙DHP=乙FHC,

DH=FH

.-.△PDW^ACFW（AAS）,

:.PD=CF=4,PH=CH,

.-.AP=AD-PD=4,

311

・・・/P=4/+4P=；+4=£,

PE=V/P2+IE2=J㈢2+（巧2=V37,

•・•点G是EC的中点，PH=CH,

「口

•••GH=-1ErPn=—V37,

22

故选：B.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理，直角

三角形的性质等知识点，正确的作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键.

4.（3分）（24-25八年级•北京西城・期中）如图1,已知点E,凡G,〃是矩形48CD各边的中点，48=6,

BC=8.动点M从某点出发，沿某一-路径匀速运动，设点M运动的路程为x,过点M作MQ18C于点。，

则ABMQ的面积y关于x的函数关系的图象如图2所示，那么这条路径可能是图中的（）

A.”一>GTHTET”B.£—〃TG—H->E

C.GTFTETHTGD.GTHTETFTG

【答案】D

【分析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.根据点£

F,G,〃是矩形4BCO各边的中点,AB=6,BC=8.得至jlBE=CG=AE=GD=\AB=3,AF=DF=CH=

BH=”C=4,讲而得到EF=FG=GH=EH=5,点M与点E,点〃重合时，此时，△8MQ的面积都

为0,点M与点扛点G时重合，此时，△8MQ的面积都为12,由图2得出始点面积为12,当％=5和％=10

时，面积都为0,由此即可解答.

【详解】解：•••点E,F,G,，是矩形ABC。各边的中点，48=6,BC=8.

，BE=CG=AE=GD=^AB=3,AF=DF=CH=BH=^BC=4.

二EF=FG=GH=EH=V32+42=5,

此时，8,M,Q三点再一条直线上,

•••△BMQ的面积都为0,

当点M与点尸时重合,

此时，MQ=AB=6,BQ=BH=4

△BMQ的面积为工BQ•MQ=-BH-AB=12,

当点.M与点G时重合，

此时，MQ=CG=3,BQ=8C=8

△EMQ的面积为:BQ-MQ=上BLCG=12,

由图2得出始点面积为12,当工=5和％=10时，面积都为0,

•.•5VXC10时，△BMQ的面积先增大后减小，

二5<%V1U时，点M运动的路径是〃TE,

二点A7运动的路径是GtHtEtFtG.

故选：D.

5.（3分）（24-25八年级•浙江杭州•期末）小明统计了某校八年级（3）班五位同学每周课外阅读的平均时

间，其中四位同学每周课外阅读时间分别是5小时、8小时、10小时、4小时，第五位同学每周的课外阅

读时间既是这五位同学每周课外阅读时间的中位数，又是众数，则第五位同学每周课外阅读时间是（）

A.5小时B.8小时C.5或8小时D.5或8或10小时

【答案】C

【分析】利用众数及中位数的定义解答即可.

【详解】解：当第五位同学的课外阅读时间为4小时时，此时五个数据为4,4,5,8,1（）,众数为4,中位数为5,

不合题意；

当第五位同学的课外阅读时间为5小时时，此时五个数据为455,8,1（）,众数为5,中位数为5,符合题意；

当第五位同学的课外阅读时间为8小时时，此时五个数据为4,5,8,8,10,众数为8,中位数为8,符合题意；

当第五位同学的课外阅读时间为10小时时，此时五个数据为4,5,8,10,10,众数为10,中位数为8,不合题

意；故第五位同学的每周课外阅读时间为5或8小时.故答案为C.

【点睛】本题考查了众数及中位数的概念，解题的关键是根申请题意，并结合题意分类讨论解答.

6.（3分）（24-25八年级•重庆沙坪坝•期末）如图，在正方形中，点E、尸分别在48、上，连

接，4尸，过点£作EG14/交CD于点G,连接FG.若AE=2B/，^BAF=a,则±EGF一定等于（）

A.450+aB.45。一aC.2aD.a

【答案】B

【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握正方

形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键.

过点。作。“IIEG,交AB于点、连接AG,证明△力BFwzkDAH(ASA),得至U4”=8凡AF=DH,再根

据AE=2BF得到AH=HE=BF.证明四边形DGEH是平行四边形，得至ljHE=AH=DG,证明△AHD=△

DG.4(SAS),^i/.ADH=/.DAG=a,DH=AG,W\z.FAG=/-BAD-(Z.BAF+/.DAG)=90°-2a,AF=

DH=AG,进而得至Ij，/FG="GF=T(18()O—NF/G)=45。+由根据EG/F得至1」，/6£1=90。一

乙FAG=2a,最后由4EGF=乙4G/一乙4GE即可解答.

【详解】解：过点。作OHIIfG,交AB于点H,连接NG,

•・•四边形4BCD是正方形，

：.AB=AD,ZF=Z.BAD=Z.CDA=90°,AB\\CD,

：.^BAF+Z.FAD=90°,

*：CELAF,DHWEG,

：.DHLAF,

：,LADH=乙FAD=90°,

，乙ADH=/.BAF=a.

在AABF和△D4H中

(Z.BAF=Z.ADH

AB=AD,

(LB=/.HAD

：.LABF^△DAH(ASA),

：.AH=BF,AF=DH,

：.AE=AH+HE=BF+HE,

-：AE=2BFt

・・・BF+HE=2BF,

：.HE=BF,

：,AH=HE=BF.

VZFIICD,DH\\EG,

・•・四边形DGEH是平行四边形，

:.HE=DG,

：,AH=DG,

S.LAHD^^DGA中

AH=DG

乙HAD=Z.GDA,

AD=DA

：.LAHD^^DGA(SAS),

：.Z.ADH=£DAG=a,DH=AG,

：.LFAG=/-BAD-(ZB/IF+LDAG)=90°-2a,

•；AF=DH,DH=AG,

*»AF=AGJ

：,LAFG=LAGF=1(180°-ZFRG)=45°4-a,

VEG14F,

：.LAGE=90°-乙FAG=90°-(90°-2a)=2a,

：.LEGF=Z.AGF-LAGE=45°+a-2a=45°-a.

故选：B

7.(3分)(24・25八年级•福建福州・期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数、二噂%-百分别交汇

轴、y轴于4、B两点、,若C为x轴上的一动点，则2BC+力。的最小值为()

A.3B.3V3C.6V3D.6

【答案】D

【分析】先求出点4点8坐标，由勾股定理可求48的长，作点8关于。力的对称点8',连接力8',B'C,

过点。作CH148于，，可证△A88'是等边三角形，由直角三角形的性质可得=则2BC+/1C=

2(8'C+CH),即当点炉，点C,点”三点共线时，8'C+C”有最小值，即2BC+HC有最小值，再利用等

积法可求解.

【详解】解：•・•一次函数y=fx-百分别交x轴、y轴于小B两点，

当x=0时，y=-V3,

当y=0时，%=3,

/.71(3,0),8(0,一⑸，

*.AO=3»BO=V3»

:,AB=\/AO2+BO2=J32+(V3)2=2V3,

如图，作点8关于。力的对称点B‘，连接/B',B'C,过点。作CH_L/I8于H,

：,OB=OB=V3,

：.BB=OB+OB=2>/3,

又YA。1BB：

：,AB=AB=2V3,BC=BC,

•,AB=AB=BB,

・・・A/8B'是等边三角形，

TAO上BB',

工血0=30。,

CHLAB,

：

.CH=2-AC,

・・・28C+AC=2（8C+g力C）=2（8'C+CH）,

・••点。，点”三点共线时，B'C+C7/有最小值B即2BC+47有最小值,

此时B,HJ■4B,△438'是等边三角形,

1/If

VS'=-AB•BH=-BB.OA,

△AA4RBBR22

/.1x2V3^/7=1x2V3x3

・・・8'H=3,

.•・B'C+CH有最小值为3,

・••2BC+4C的最小值为6,

故选：D.

【点睛】本题是胡不归问题，考查了•次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定

点。的位置是解题的关键.

8.（3分）（24-25八年级•湖北武汉•期末）如图，在菱形4BCD中，NB=60。，AB=6,E,尸分别是边CD

和8c的延长线上一点，且CE=CF=2,以CE,CF为边作CEGF,"是71G的中点.则线段CH的长为

（）

A.2V5B.4V3C.3V2D.2/

【答案】D

【分析】连接根据菱形的性质得出乙1二=8C=6/8|£0,证出NBC。=180。-48二

12QO/ECG=60°,△ABC是等边三角形，4C=AB=6,证明四边形CFGE是菱形，得出N3=Z2=3（T,CG1

EF，EO=1,CO=0CG=2V3,再证出乙ICG=90。，根据勾股定理得出4G=4百，根据，是4G的

中点，得出C”=；/1G=2d1

【详解】解：如图，连接AC,CG,EF,

B

•・•四边形A8CD是菱形，

・・・41=£.ACD,AB=BC=6,AB\\CD,

•・"=60。,

:.乙BCD=180°-乙B=120°,zFCF=60°,△ABC是等边三角形，

••AC=AB=6,

・・•四边形（TGE是平行四边形,CE=CF=2,

・•・四边形CFGE是菱形，

Z.z3=Z2=jzFCF=30°,CG1EF,

：

,EO=-2CE=1,

：.CO=y/CE2-EO2=V3,

：,CG=2CO=2>/3,

Vzl+22+23+Z.ACD=180°,

Az2+Z.ACD=44CG=90°,

：.AG=yjAC2+CG2=473,

•・•〃是/G的中点，

：.CH=AG=2V3,

故选：D.

【点睛】本题考查了菱形的性质和判定、平行四边形的性质、直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定,

勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键.

9.（3分）（24-25八年级•浙江宁波•期末）在四边形4BCD中，ADIIBC,连接对角线4C,4C148,点E

为边AB上一点,连接CECE平分4c与OE交于点儿若点尸恰为。E中点，且40=5,CO=7,

则DE=（）

A.V74B.V97C.11D.12

【答案】B

【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、

角平分线性质等知识，过点。作DH1AC于点〃，过点〃作H/lBC于点I,过点£作EGJ.BC于点G,

则4H/G=4EG/=90。，由角平分线性质得到4E=GE,证明△力?Ew△HFD(AAS),则4E=DH,证明四

边形4EHD是平行四边形，则4尸二»E”,证明四边形EG/H是矩形，则EG="/=力£=0”,

再证明△H/CE△。从4(AAS),则HC=AD=5,由勾股定理得到DH=VfD2-CH2=2瓜则AE=DH=

2跖勾J股定理求出AH='AD?一=1,则4/7=FH="H=最由勾股定理求出EF=7AE?+4产=

手，即可得到DE=2EF=V97.

【详解】解：过点。作。”_LAC于点〃，过点〃作H/18C于点/,过点£作EG_LBC于点G,贝i"H/G=

乙EG1=90°,

*：ACLAB,CE平分Z.ACB,

：.LEAF=乙DHF=90°,AE=GE

：.AE||DH,

•.•点/恰为DE中点,

：.DF=EF,

.:乙AFE=cHFD

WFD(AAS),

：.AE=DH

，四边形AEHD是平行四边形，

：.AF=FH=^AH,ADIIEH,

VAD||BC,

：.EH||BC,Z.DAH=Z.HCL

:.乙GEH=180°-EG/=90。，

:.乙H[G=Z-EGl=乙GEH=90°

・•・四边形ECIH是矩形,

:.EG=HI=AE=DH

♦：UHC=乙CHD=90°,Z.DAH=乙HCI,HI=DH

/.AH/C^ADHZ1（AAS）

：,HC=AD=5,

：.DH=VCD2-CH2=V72-52=2V6,

：.AE=DH=2V6,

：.AH=\/AD2-DH2=1,

：.AF=FH=-AH=-,

22

:.EF=y/AE2+AF2=J（2峋2+（J=哆

：.DE=2FF=V97,

故选：B

10.（3分）（24-25八年级•北京海淀•期中）如图，点D是菱形ABCO内一点，AD_Ly轴，BD1无轴，8。=2,

^BDC=120°,S^BCD=2V3,若一次函数丫=/^+力（攵,0）的图象经过。、。两点，则b的值为（）

A.V2+1B.2(724-1)C.3D.三

【答案】B

【分析】过点C作CE_Ly轴于点E,延长BD交CE于点F,可证明△COEw△ABD(AAS),则OE=BD=2,

由旌seo一]/一26，可得C尸一2代，由—120。，可知4CD尸一60。，所以D/一2，所以点

。的纵坐标为4,再求出=利用勾股定理求出力0的长，再利用勾股定理求出CE的长，从而求出

C、。的坐标，利用待定系数法求出匕b的值即可.

【详解】解：过点C作CE_Ly轴『点E,延长BD交CE于点凡

：.AB||OC,AB=OC,

：.LCOE=Z.AGE,

VBDlxft,力01y轴，

：.BD||y轴，

：.LADB=90°,LAGE=乙ABD,

：.£COE=MBD,

在ACOE和△ABD中，

eCEO=^ADB=90°

乙COE=乙ABD

(CO=AB

.\ACOE=A/1SD(AAS),

：.0E=BD=2,CE=AD,

ICE_Ly轴，

：.CE||x轴，

轴,

•••BD1CE,

又YCEly轴，轴，

・•・四边形DFEH为矩形，

：,FE=DH,

：.CE-FE=AD-DH,K|JCF=AH,

，：SABCD=”D.CF=2同

：.AH=CF=2V3,

•:乙BDC=120°,

AzCDF=60°,

：.DF=2.

・・・0H=OE+EH=OE+OF=2+2=4,

在RtA/lH。中，由勾股定理得，AO=>/AH2+OH2=J（2V3）2+42=277,

•・•四边形力RC。是菱形，

：,CO=AO=2y/7,

在Rt/kCE。中，由勾股定理得，CE="02一。0=J（2⑺--22=2瓜

・••点。的坐标为（-2n，2）,

:・FE=CE-CF=2^6-273,

・••点。的坐标为（2百一2遍，4）,

:一次函数丫=1％+以4工0）的图象经过。、。两点，则

-2辰k+b=2

（2V3-2V6）k+/）=4

解得］左=g.

U=2（V2+1）

故选：B.

【点睛】本题主要考查一次函数函数与几何的综合问题，涉及到菱形的性质，三角形全等的判定与性质，勾

股定理等知识点，求出关键点C、。的坐标是解题的关键.

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）（24-25八年级•河南信阳•阶段练习）已知机为正整数，若的函而是整数，则根据71频=

、3x3x3x7m=3V3x7m可知〃?有最小值3x7=21.设〃为正整数，若秒是大于1的整数，则〃

的最小值为_______，最大值为______，/的小数部分为______.

v2—1

【答案】375V2-1

【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将眄化简为10尸，可得九最小为3,

ynyjn

由秒是大于।的整数可得J乎越小，草越小，则〃越大，当月=2时，即可求解.六先进行分母的

有理化计算，即化去分母中的根号，得到e+1,然后通过估算减去整数部分即可；解题的关键是读懂题

意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解•.

【详解】解：・：悟=号=10日,且为整数，

yjnyJny/n

•••n最小为3,

••・J1是大于1的整数,

隹2越小,北2越小，则ri越大,

、nn

当科=2时,

300.

­=4,

二n=75,

11x(V2+1)

=(日+1)

x/2-1(V2-1)(V2+1)

v1<V2<2

2<V2+1<3

故看的小数部分为‘+1-2=&-1

故答案为：3；75；V2-1

12.（3分）（2025•江苏宿迁•二模）若非负数a,b,c满足a>0,a+b+c=6,则数据a,/）,c的方差

的最大值是.

【答案】8

【分析】先求出a力,。的平均数，L算方差，然后求解即可.

【详解】解：,；a+b+c=6,

・••数据a,b,c的平均数为誓=2,

设数据a,b,。的方差为S,

(a-2)2+(b-2)2+(c—2)2

S=

3

a2-4a+4+扶一4b+4+c2-4c+4

3

a2+b24-c2-4(a+b+c)+12

3

a2+b2+cz-12

3

,•,非负数a，b,c满足a>0

(a+b+c)2=层+匕2++2(ab+be+ac)>a2+b2+c2,即a2+/+工36,

.・.S=

J

故答案为：8.

【点睛】本题考查了平均数和方差的计算公式，根据已知条件推出（。+6+功2工於+62+。2是解题关键.

13.（3分）（24-25八年级•湖北武汉•期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形。力BC的顶点4C分别在

y轴和％轴的正半轴上，。力=6,0C=3,D、E两点分别在CB、BA边上,且NDOE=45。，若BD=4,

则点E的坐标为.

【答案】他6）

【分析】过点E作EF1。。，过点F作FN1OC,并延长N尸交4B延长线于点M,设M尸=ON=X,根据

三角形全等得到EM=FN=6—x,则尸。,6—幻，求出直线0D解析式，代入点尸（％6-%）求出-即可

求解.

【详解】解：过点E作EF_L。。，过点尸作尸NJ.0C,并延长拉下交48延长线于点M,如下图：

则/EF。=乙FNO=90°,

：.z.OFN+乙EFM=90°,乙OFN+乙FON=90°

J.LFON=乙EFM

在矩形04BC中，ABWOC,0A=BC=6,OC=AB=3

：.LM=乙FNO=90°

・•・四边形8CNM为矩形

：・MN=BC=6,CDWMN,BM=CN

：.AM=ON

•・"DOE=45。

・・・AEF。为等腰直角三角形，EF=OF

，么FONw&EFM

：,MF=ON,EM=FN

设MF=ON=x,则EM=rN=6-x,F(x,6-x)

设直线OD解析式为y=kx

*：BC=OA=6,BD=4,OC=3

：,CD=2

AD(3,2),代入y=kx得，3k=2,解得k二|,

又：点F(x,6-%)在直线OD上,

6-x=

«5

解得x=F，即4M=ON=£，FN=EM

ooo

：.AE=AM-EM=l

・••点E坐标为(£,6)

故答案为：6,6).

【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，

解题的关键是根据题意，作出合适的辅助线，利用有关性质求解•.

14.(3分)(24-25八年级•湖北随州•期中)如图，己知正方形48CZ)边长为8,点O为对角线4C、8。

的交点，四边形OEFG为正方形，F、”在8C边上，且8F=CH,Z.EHB=45°,则正方形OEFG的面积

【答案】10

【分析】过点。作。于连接力C,根据正方形的性质和勾股定理求出。。=4&，证明△OMC是

等腰直角三角形，进一步可得到0M=CM=4；过点E作EP18C于P,过点。作OQ1PE交PE延长线

于。，则四边形。MPQ是矩形，可得PQ=0M=4,PM=0Q：证明△QOE三△PEF(AAS),得到。Q=

PE,EQ=PF；再证明△EPH是零腰直角三角形，得到EP=PH,设EP=尸〃=",则MP=0Q=x,PF=

EQ=4一%,则8尸=CH=4-2x,根据BC=BF+PF+PH+CH=8,得到4-2x+4-x+x+4-2x=

8,解方程得到PF=4-％=3,PE=1,再利用勾股定理求出E尸即可得到答案.

【详解】解：如图所示，过点。作0M18C于连接4C,

•••四边形48CD是正方形，

：

,AB=BC=Q,OC=-2AC,AABC=90°,Z-ACB=45°,

：.AC=7AB2+8c2=8V2,

・・・0C=4VL

*：0M1BC,乙4cB=45°,

:MOMC是等腰直角三角形，

：,0M=CM,

在Rt△OMC中，由勾股定理得OC=VOM2+CM2=近OM=4vL

：,0M=CM=4；

如图所示，过点上作EP18C于P,过点。作OQ_LPE交尸£延长线于0,则四边形OMPQ是矩形，

：.PQ=OM=4,PM=OQi

•・•四边形OE/G是正方形，

:、EF=EO,乙UE卜'=乙UQE=ZhOf=90",

工人QOE+Z-QEO=乙QEO+乙PEF,

，乙QOE=乙PEF,

:UQ0E王＞PEF80，

：.0Q=PE,EQ=PF；

*：LEHB=45°,EP1BC,

・・・AEPH是等腰直角三角形,

:.EP=PH,

设EP=PH=x,则MP=OQ=%,PF=EQ=4-x,

:.CH=CM-PH-PM=4-2x,

：.BF=CH=4-2x,

•;BC=BF-^-PF+PH+CH=8,

.*.4—2x+4—x+x+4—2x=8,

解得x=1,

：.PF=4-x=3,PE=1,

：,EF2=PF2+PE2=l2+32=10,

.••正方形OEFG的面积为10,

故答案为；10.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，等腰直

角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键.

15.（3分）（24-25八年级•四川宜宾•期末）如图，在△力中，点。是BC的中点，AD.CE相交于点片

且满足=BC=2AF,Z.CAD=25°,则乙力C8=°.

【答案】35

【分析】延长力。，取点“，使0H=40,连接C4,过点B作BGMD,使BG=力凡连接GF,GD,GH,

证明△4B0三△HGXSAS）,得出CH=4B,乙BAD=MHD,根据等腰三角形的判定得出CF=CH,证明

四边形48GF为平行四边形，得出218=GF,ABHGF,证明四边形CFGH为菱形，得出GH=GF,乙GHF=

乙CHF,证明△48。三△HGO（SAS）,得出BD=DG&DB=证明△8DG为等边三角形，得出々80G=

60。，求出乙/08=4G0H=；（180。-60。）=60°,根据三角形外角的性质得出N4C8=Z.ADB-Z.CAD=

60°-25°=35°.

【详解】解：延长4D,取点儿使=连接CH,过点8作BGIL4D,使BG=A凡连接G凡GD,GH,

如图所示;

A

：.BD=CD,

*：z.ADB=乙CDH,

.•・AA8gAHC0(SAS),

：・CH=AB,乙BAD=^CHD,

•;AE=EF,

：.^EAF=Z.AFE,

\'/.AFE=MFH,

：.z.CFH=Z.CHD,

：.CF=CH,

yBGWAF,BG=AF,

・•・四边形ABGF为平行四边形,

：.AB=GFt力BUG/，

•••CmiGF,CH=GF,

・•・四边形CFGH为平行四边形,

•：CF=CH,

・•・四边形CFGH为菱形，

：.GH=GF,乙GHF=乙CHF,

：.CH=AB,

•:乙BAD=^CHF,

.\z-BAD=Z-GHF,

9：AD=DH,

••・A45DwZkHG0（SAS）,

：,BD=DG,乙ADB=^GDH,

\*BC=2AF,

:・BD二AF=；BC,

2

•;BG=AF,

：.EG=BD=DG,

:MBDG为等边三角形，

，乙BDG=60°,

：,LADB=Z.GDH=|x（180°-60°）=60°,

：^ACB=LADB-^CAD=60°-25°=35°.

故答案为：35.

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，

平行线的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅

助线，熟练掌握相关的判定和性质.

16.（3分）（24-25八年级•湖北武汉•期末）如图，点O为等边AABC边CB的中点.以8c为斜边作Rt△DBC

（点A与点、D在BC同侧且点D在^ABC外），点厂为线段OD上一点，延长AF到点E使EF=AF,Z.ABD=

ADBE,若OF=2.CE=5,贝IJ8E=

【答案】9

【分析】延长CD到N,使DN=CD.连接BN,CF并延长CF交BN于M.连接AM在BE上截取8G=8M.连

接。G.证明△8DN三ABDC,得出上CBD=ZJV8。，得出0DII8N,再通过平行四边形的性质证明/为CM

中点，BM=2OF=4fCF=FM,再证明，△AFM三△E"C,得出4M=Cf=5,乙FAM=&EF,再证明

△三AC8G,证出AGCE为等边三角形，得出EG=EC=5,即可求解；

【详解】解：延长CO到M使DN=CD.连接BN,CF并延长C"交BN于M.连接AM在BE上截取

BG=BM.连接CG.

vCD=DN,Z,BDC=Z-BDN=90°,BD=BD,

.MBDNWABDC(S屿,

・"CBD=乙NBD,

vCD=DN,。为BC中点，

ODWBN,

延长尸。使得尸。=〃。，连接BH,

Vzl=42,80=CO,FO=HO,

••.△80H三△W(SAS),

;,乙OBH=cOCF,BH=CF,

••・四边形是平行四边形，

・・・BH=MF=CF,

；•F为CM中点，

:.BM=20F=4,CF=FM,

vAF=EF,乙AFM=LCFE,

"MW△EFC(SAS),

AM=CE=5,/.FAM=乙CEF,

•••AMICE,

LMAC+LACE=180°,

•••LBAC-LBAM+^ACB+乙BCG+乙GCE=180°

•：z.BAC=^ACB=60°,

.../BCG+LGCE-Z.BAM=60°,

•:乙ABD=^DBE,乙NBD=LCBD,

AZ.ABD-乙NBD=乙DBE-乙CBD,

即々CBE=乙ABN

vAB=BC,BG=BM=4,

•••△48M三△CBG(SAS),

AM=CG,Z-BAM=Z-BCG,

•••CE=AM,

:.CG=CE,

vZ.BCG+乙GCE-Z-BAM=60°,

•••/GCE=60。，

•••△GCC为等边二角形，

EG=EC=5,

BE=8G+EG=4+5=9,

故答案为：9.

【点睛】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，

直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线.

第n卷

三.解答题(共8小题，满分72分)

17.(6分)(24・25八年级•甘肃武威•阶段练习)阅读材料：把根式J7王砺进行化简，若能找到两个数m,n,

使m2+„2=人mn=y/y,即把x±2打变成m？+层±2mn=(m±n)?,从而可以对根式Jx±2⑷进行

化简.

例如：化简：V5-2V6.

222

解：•••5-2巡=3-2返+2=(⑹-2xV3xV2+(V2)=(V3-V2),

二V5-2V6=J(V5—\[2)=V3—V2.

根据上述材料•，解答卜.列问题.

(1)化简：V11+6V2.

(2)化简：y/m+2VnT7T.

(3)计算：V12+6V3-V16-8V3.

【答案】(l)3+加

(2)Vm-1+1

(3)5-V3

【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键.

(1)仿照例题即可求解；

__________2

(2)将m+2而=I化为(屈=1+1),再利用二次根式的性质化简计算；

(3)将J12+6V5-J16-8/变形为J(3十遍『一J(2g-2『,再利用二次根式的性质化简计算.

27

【详解】(1)解：,:11+6&=32+2X3X&+(&)=(3+鱼)，

/.V11+6V2=3+V2；

(2)解：\'m+2Vm-1=m-1+2xVm-1x1+1=(Vm-l)2+2x7m-1x1+I2=(Vm-1+

IB

而-1>0,则Vm-1+1>0

:.\!m+2\fm—1=-f4-1)2=7m—14-1

(3)解：V12+6V3-V16-8V3

=J(3+对_J(2百一2『

=|3+V3|-|2V3-2|

=3+V3-2V3+2

=5-V3.

18.(6分)(24-25八年级•江苏无锡・期末)现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木

箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm).

(1)求线段BG的长；

(2)现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动.请你为蜘蛛设计一种

捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫.(木板的厚度忽略不计)

【答案】（l）BG=5dm；（2）答案见解析过程.

【分析】（1）直接根据勾股定理可得出BG的长;

（2）将正方体展开，联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考查特殊点等方法，化曲为直.

【详解】解：（1）如图，连接BG.

在直角4BCG中，由勾股定理得到：BG=VBC2+GC2=V42+32=5(dm),

即线段BG的长度为5dm；

（2）①把ADEH展开，如图此时总路程为J（3+3+5尸+42=g7

此时的总路程为J（3+3+4）2+52=3诙=5Z

③如图所示，把BCFGF展开，

力里

力外C

此时的总路程为J（3+3尸+（5+4尸=A/埼

由于«17</西<旧7,所以第三种方案路程更短，最短路程为VTT7.

19.（8分）（24-25八年级•福建泉州•期末）如图，在等边△力BC中，点。、E分别是8。、力。边上的一点

（点。不与端点重合），且BDVCD,BD=CE,连接4。、BE.

（I）求证：△ABD^△BCE；

（2）洛△45。沿AB翻折，得到△力84在40上取一点O,使乙F0D=48AC,延长F。交4c于点P.

①求证：四边形5EPF是平行四边形；

②若试求线段40和CP之间的数量关系，并证明.

【答案】（1）证明见解析

⑵①证明见解析；②4D=WCP，证明见解析

【分析】（1）利用等边三角形的性质证明48=BC,448C=60。，即可证明△4BD三△8CE；

（2）①如图，记40,BE的交点为K,先求解乙尸。0=41KE,证明"BC+”=180。，再结合平行线的判

定与平行四边形的判定可得结论；②设AB=BC=AC=5m,求解CP=4m,如图，过4作/GJ.8C于G,

求解AD=7AG?+DG2=y/19m,从而可得结论.

【详解】（1）解：•••△A8C为等边三角形，BD=CE,

:.AB=BC,248c="=60。，

&LABD和△BCE中,

BD=CE

LABC=AC=60°,

AB=BC

.,.Ai4BD^ABCE(SAS).

(2)证明：如图，记HD,8E的交点为K,

A

BDC

•:公ABD三2BCE,

：.LBAD=乙CBE,

,：/-AKE=乙ABE+LBAD=乙ABE+乙CBE=60°,LFOD=Z.BAC=60°,

：.LFOD=4AKE,

：.FP\\BE,

由对折可得：AF=AD,^ABD=^ABF=60°,

VzC=60°,

J.Z.FBC+^C=180°,

：.BF\\AC,

・••四边形四边形BEPF是平行四边形；

②40=孚CP,理由见解析：

4

•・NABC为等边三角形；

・••设A8=BC=4C=5m,

,:BD=IBC,

；・BD=2m,CD=3m,

♦:公ABDEABCE,

CE=BD=2m,

由对折可得：BF=BD=2m,

•・•四边形四边形BEPF是平行四边形：

：,PE=BF=2m,

：.CP=4m,

如图，过4作ACBC于G,而4B=AC=BC=5m,

A

T\p

F\E

BDGC

:・BG=CG=2.5m,

：.DG=0.5m,AG=>JAB2-BG2=1V3m,

.*.AD=y/AG2+DG2=V19m,

.ADy[V)mV19

>.-=--------=-------

CP4m4

：,AD=^-CP.

4

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理

的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键.

20.(8分)(24-25八年级•辽宁沈阳•阶段练习)为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两

校各随机抽取I个班级进行测试，两班人数恰好相同.测试成绩分为4B,C,。四个等级，其中相应等

级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，测试中心将日、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制

成如下统计图，己知乙学校测试班级有11人的成绩是A级.

用校测试班级成绩统计图乙校测试班级成绩统计图

(1)直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整.

(2)补全下面的表格中的数据：a=»b=

学校平均数/分中位数/分众数/分

甲校测试班级87.6a90

乙校测试班级b80C

(3)若甲校八年级有学生500人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为B级及以上的学生有多

少人？

【答案】(1)见解析:

(2)90,87.6,100；

(3)360人

【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、中位数与众数、用样本估计总体，从统计图中获取

数据求出中位数和众数是解题的关键.

(1)根据乙学校测试班级有11人的成绩是力级，占总人数的44%,可以求出乙校参加测试的总人数25人,

从而可知甲校参加测试的总人数为25人，用25减去获得力、B、0等于级的人数，可得获得。级的人数,

根据获得C级的人数补全统计图;

(2)根据平均数、中位数、众数的定义分别求出a、b、c的值即可:

(3)利用样本估计总体，用甲校参加测试的同学中。级及以上同学占测试总人数的百分比代表全年级同学中

B级及以上人数占全年级人数的百分比计算即可.

【详解】(1)解：•••乙学校测试班级有11人的成绩是4级,

从乙校测试班级成绩统计图中可以看出乙学校成绩是A级的占总人数的44%,

二乙校参加测试的学生的总人数为11・44%=25(A),