2024人教版八年级数学上册压轴题训练《全等三角形 A字、8字、燕尾模型综合题型》（含解析）

专题02三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾

模型三类综合题型

目录

典例详解

类型一、三角形中的倒角模型之“人”字模型

类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型

类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型

压轴专练

类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型

如图，B、C分别是NOAE两边上的点，连结8C,形状类似于英文字母A,故我们把它称为字模型。

4A

A.

DEDL

条件：如图，在AABC中，Nl、N2分别为N3、N4的外角；

结论：①Nl+N2=NA+180°；②N3+/4=NO+NE

证明：①・・・N1=NA+NACBAZl=ZA+180o-Z2AZ1+Z2=ZA+I80°o

②在中，ZA+Z3+Z4=180°；在AAOE中，NA+NO+NE=180。，N3+N4=NO+/E。

例I.如图，从VA8C纸片中剪去△<?£>£,得到四边形A8OE.如果Nl+N2=240,那么NC度数为（）

AB

A.40°B.60°C.50°D.55°

【答案】B

【分析】本题主要考查了三角形内角和定理,

根据平角的定义得出NCa+NCOE=(l80O-Nl)+(180°—N2)=360°-240°=l20°,再根据三角形内角和定理得出

答案.

【详解】解：0ZI+Z2=24O°,

[?]ZC£D+ZCD£=(180o-Zl)+(180o-Z2)=360o-240o=120o,

团NC=180°—(NCEO+NCOE)=60°.

故选:B.

【变式IT】如图，在VA4C中，按图中虚线把角度为50。的/C剪去，则N1+N2等于()

210°C.220°D.230°

【答案】D

【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用

【分析】本题主要考查三角形外角的性质及三角形内角和，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个

内角和：如图，由题意易得N1=NC+NCERN2=NC+NC在，然后根据三角形内角和可进行求解.

【详解】解：如图,

0ZI=NC+/CEF,Z2=NC+NCFE,

0ZC+Z.CEF+Z.CFE=180°,ZC=50°,

团Z1+N2=ZC+4CEF+NC+/CFE=180°+50°=230°；

故选D.

【变式1-2]如图1,直线/与的边AC,4B分别相交于点£>,E(都不与点A重合).

G

图4

⑴若NA=64。，①求Nl+N2的度数；②如图2,直线〃1与边A8,AC相交得到N3和N4,直接写出N3+Z4

的度数.(2)如图3,EO,。。分别平分N8EO和NCOE,写出NEOD和/A的数量关系，并说明理由；

(3)如图4,在四边形8C0E中，点M,N分别是线段。。、线段比:上的点，NG,MG分别平分N8NM和

/CMN,直接写出NNGM与NE,的关系.

【答案】(1)①244。；②244。(2)/反">=90。一;乙4,理由见解析⑶NE+/O+2NNGM=36D。.

【分析】本题主要考杳三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等

知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键.(1)①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算

即可；②根据①的结论即可解答；(2)由(1)的结论以及三角形内角和定理即可解答；

(3)由(2)的结论可得NBM0+NCMN=/O+NE,再根据三角形内角和定理进行解答即可.

【详解】(1)解：①如图1,

V/\=/A+/ADE,/2=/A+/AE力./.Z1+Z2=ZA4-ZAZ)E+

ZA+ZADE+ZAED=180°,Z4=64°,AZl+Z2=ZA+180o=64o4-180o=244°；

②巾①方法可得：Z3+Z4=Z1+Z2=244°.

(2)解：=理由如下：由(1)可得“瓦)+/。。后=180。+/4.

VEO,分别平分/BED和NCDE,NOED=gNBEDZEDO=g/CDE,

22

：.ZOED+ZEDO=l(ZSED+ZCDE)=l(180°+ZA)=90。+gZA,

r]、I

Z.EOD=180°-(AOED+AEDO)=180°-90°+—/A=90°--ZA.

\2J2

(3)解:NE+/O+2/NGM=360。，理由如卜.：由图2可得，/BNM+/CMN=/D+/E,

,:NG,MG分别平分N4NM和NCMN,：.4BNG=NMNG=L/BNM、/CMG=NNMG=LNCMN,

22

・•・/MGN=180°-(/MNG+/NMG)=180°--(4BNM+4CMN)=18O°--(ZD+ZE),

22

【拓展提升】(3)延长胡、CD交于点M,先求,再把NM=50。代入/尸=90。-]/加即可求解.

【详解】证明：【推理证明】团N1与N2分别为VABC的两个外角，

0Z1=ZA+Z4,Z2=ZA+Z3,

(3N1+N2=NA+N3+N4+NA.

0Z3+Z4+ZA=18O°,(三角形内角和定理)

1?1ZI+Z2=I800+ZX.

故答案为：N4：N3；ZA+Z3+Z4+ZA：

解：⑴0Z1+Z2=18O°+ZA,

0Z2-ZA=180°-Zl=l80°-130°=50°,

故答案为：50；

⑵回研、CP分别为外角/。跋、/反方的平分线，

团NP8C」NQ4C,NPCB=L/BCE,

22

0ZP=18O°-(/PBC+ZPCB)=180°-1(4DBC+NBCE),

0ZDBC+ZBCE=18OO+ZA,

0ZP=18O°-1(18O°+Z>4)=9OO-|ZA；

(3)如图所示，延长84、CD交于点、M,

0ZM=ZBAD+ZADC-180°=230°—180°=50°,

(3ZP=900--NM=90°--x50°=65°.

22

型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型

1）8字模型（基础型）

条件：如图1,4。、8c相交于点0,连接A8、CZ）；结论：®Z4+ZB=ZC+Zr）；®AB+CD<AD+BCo

证明：在AABO中，/4+NB+NAO8=180。；

在AC。。中，ZC+ZD+ZCOD=I80°；

V^AOB=Z.COD，NA+N4=NC+N。：

在A/450中，AB<AO+BOx在AC。。中，CD<C0+D0；

：,AB+CD<AO+BO+CO+DO=AD+BC；:.AI3+CD<AD+I3C.

2）8字模型（加角平分线）

条件：如图2,线段AP平分N84D线段CP平分/8CQ；结论：2NP=N8+N。

证明：•・•线段4P平分NB4D,线段CP平分N8C£>・・・NBAP=NB4DNBC片NPC。

,//RCP+/P=/BAP+/R①/PAD+7P=7PCD+7D②

①+②得2NP=N8+NO,则NP=，（28+NO），即2NP=N3+NO

例2.如图，AB和C。相交于点。，ZA=ZC,则下列结论中不能完全确定正确的是（）

D

A.ZB=ZDB.Z\=ZA+ZDC.Z2>ZDD.NC=ND

【答案】。

【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐•判断即可.

【详解】VZA+Z40D+ZD=180°,NC+NCOB+N8=180。，ZA=ZC,ZAOD=ZBOC,

；・NB=ND,VZI=Z2=Z/1-FZD,AZ2>ZD,故选项A,B,C正确，故选。.

【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键.

【变式2-1]如图，已知直线AB、CO相交于点。，ZC=80°.ZA=40°,90?,ZD=

【答案】30。/30度

【知识点】对顶角相等、三角形内角和定理的应用

【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理得NAOC=1800-NC-NA=60。，由对

顶角相等得N88=NAOC=60。.再利用三角形内角和定理即可得出结论.解题的关键是掌握：三角形内

角和为180。.

【详解加星：SZC-800,NA—40。，

0Z4OC=18O0-ZC-Z4=18OO-8O°-4OO=6OO.

团4OD=NAOC=60。，

团？B90?,

(3ZD=180°-ZB-ZBOD=180°-90°-60°=30°.

故答案为:30°.

【变式2-2](1)生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为"和谐8字形〃，则N4、

/B、NC、之间的数量关系.

(2)在图2中NDAB和/BCD的平分线”和CP相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形〃，若NZ)=42。，

N3=38。，那么—P的度数是.

【答案】ZA+ZD=ZC+ZB40。/4()度

【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题

【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解

题的关键.

（1）利用三角形的内角和定理表示出NAOO与NBOC,再根据对顶角相等可得NA8=N8OC,然后整

理即可得解；

（2）根据（1）的关系式求出NOCB-NO4。,4+ZD=Z3+N尸,然后利用"8字形”的关系式结合角平分线

列式整理即可得解；

【详解】解：（1）•/ZA+ZD+ZAOD=180°,NC+NA+N40c=180°,

乂&ZAOD=NBOC,

.•.ZA+ZD=NA+NC；

（2）•.•/。=42°,ZB=38°,

ZOAD+420=NOCB+38°,

..ZOCB-ZOAD=4°t

VAP.CP分别是//MB和/BCD的角平分线，

Z1=-ZO/1D,N3」NOC8,

22

X-.-Zl+ZD=Z3+ZP,

/.ZP=Zl+ZD-Z3=^（ZO/lD-ZOCB）+ZD=^x（-4o）+42o=40o：

故答案为：（1）NA+/O=N8+NC,（2）40°

【变式2-3］如图，已知线段A3、8相交于点O,连接ARCD,我们把形如这样的图形称为"八字图形

图①图②

（1）求证：ZA+NC=N4+N。；

⑵如图②，若NCA8和28OC的平分线AP和。尸相交于点P,与CD、A8分别交于点M,N.

①观察图②，写出另外两组"八字图形"中与（I）类似的结论：；

②若N8=100。，ZC=120°,求N■尸的度数；

③根据②的结果直接写出N8,NC,/Q之间的关系（不需要证明）.

【答案】（I）见解析

（2）①NC4M+NC=/尸Z5M+NP（答案不唯）：②/尸=110。；③2/2=NB+NC

【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题

【分析】本题主要考杳了三角形外角的定义和性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性

质等知识，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键.

（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；

（2）①根据"8字型〃的定义判断即可；

②由（1）结论可得在“U/C和△OA/P中，NC+NCAM=NP+NPQM,在△町加和△以可□,

N3+NBDN=NP+NPAN，两式相加再由角平分线的定义即可解答；

③根据角平分线的定义可得N1=N2,N3=N4,在AAMC和尸中，可有NC+N1=NP+N3,即

ZC-ZP=ZP+Z3-Z1,同理在ABON和△PAN中，可有"=NP+N2-N4,

N5+NC=/尸+Z2-Z4+ZP+Z3-Z1=2ZP,即可获得答案.

【详解】（1）证明：在△AOC中，Z4+ZC=I8（F-ZAOC,

在公BOD中,N8+NO=180°-N88,

^^AOC-^BOD,

I3N4+NC=N8+N。；

（2）解：①以线段AC为边的“8字型”有：AACM和AACO和△40/）,△4CO和△£>■）；

以点。为交点的“8字型”有：△4CO和△300,△ACO和△DVO,aAM。和△BOO,△AM。和△DVO；

故答案为：ZCAM+ZC=ZPDM+ZP；

②国在△AMC和△DMA中，ZC+ZCAM=ZP+/PDM,

在ABON和△尸4N中，ZB+ZBDN=ZP+ZPAN,

0ZC+ZC4M+4B+/BDN=N尸+4PDM+NP+/PAN,

回川平分/B4C,PD平分N8DC,

回NC4M=N2W,NBDN=/PDM,

团NC+N8=2NP,即120。+1000=220，

0ZP=11O°；

③/3、NC、NP之间的关系为2NP=N3+NC.

理由如下：

如卜图,

团"和分别平分ZCAB和NBDC,

团N1=N2,N3=/4,

在AAMC和中，ZC+Z1=ZP+Z3,

@ZC-ZP=ZP+Z3-Z1,

在ABZW和△尸AN中，

ZB+Z4=ZP+Z2,

团4=/尸+N2-N4,

团4+NC-N〃+N2-N4+N〃+/3-NI—2N〃,

I3N4、NC、之间的关系为2NP=NB+NC.

多型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型

图1图2

基本模型：条件：如图1，凹四边形A8C。；结论：(DZBCD=ZA+ZB+ZD：&AB+AD>BC+CDo

证明：连接AC并延长至点P；在AABC中，NBCP=NBAC+NB；在ZiAC。中，ZDCP=ZC.4D+ZD：

又:/朋£>=/84。+/。八。，NBCD=/BCP+NDCP；,NBAD+/B+ND=NBCD。

延长交A。于点P；在aAB。中，AB+AQ>BC+CQ；在小。。。中，CQ+QD>CD.

即：AB+AQ+CQ+QD>BC+CQ+CD,故A8+AD>8C+CD。

拓展模型1：条件：如图2,平分NA8C,0。平分NAQC结论：ZO=i(NA+NC)。

2

证明：：鸟。平分NABC,0。平分/AOC;AZABO=LZABC；ZAD0=-ZADCi

22

根据飞镖模型：ZBOD=ZAI3O+ZADO+ZA=^-ZABC+1ZADC+ZA；ZBCD=ZABC+ZADC+ZA；

22

A2ZB0D=ZABC+ZADC+2ZA=ZBCD-^-ZA；BPZO=1(ZX+ZC)。

2

例3.如图是一个"燕尾形"，已知ZADC=105。，ZABC=63°,/8AD=22。，则N8CO的度数为()

C

A.15°B.20°C.22°D.42°

【答案】B

【分析】本题考查了三角形外角的性质，解题关键是掌握三角形外角的性质.

先利用三角形外角的性质得到NADC=NOEC+N8co，再利用三角形外角的性质求得NQEC,代入

ZADC=ZDEC+/BCD求出/BCD即可.

【详解】解：延长AO交8C于点E,

•・・/4£>C是△。比'的•个外角，

・•・ZADC-/DEC十乙BCD,

•/ZADC=105°,

；・105。=/DEC+/BCD,

REC是AABE的一个外角，

:.ADEC=ZABC+/BAD,

■.ZABC=63°,/BAD=22。，

：.ZDEC=ZABC+NBAD=63。+22°=85°,

Al05°=85°+ZBCD,

解得：NBCD=20。,

故选:B.

【变式37】如卜•图.NA+N8+/C+ND+NE等于()

A.90°B.120°C.180°D.360°

【答案】C

【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用

【分析】本题考查了三角形外角、三角形内角和的知识，熟练掌握三角形的外角的性质与内角和定理是解

题的关键.延长的，交4。于点G,根据三角形外角的性质，得NGFC=ND+OEF,NKGC=N4+NR,再

根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案.

【详解】如图，延长鹿，交AC于点G,

国NGFC=ZD+ZDEF,

团NBGC=NA+NB,

0ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=ZGFC+Z1BGC+NC=180°,

故选:C.

【变式3-2】已知：ZA=49。，点8、C在NA的两边上，点P为平面内一点，且NP84=38。，NPC4=30。,

则<BPC=.

B

【答案】117。或41。或57°

【分析】本题考查了三角形的内角和与三角形的外角性质，全面分类、熟练掌握三角形的内角和与三角形

的外角性质是解题的关键；

分三种情况：当点P在NA的内部时，当点。在NA的外部时，若点P在A8上方,当点。在NA的外部时，

若点P在AC下方，分别画出图形，利用三角形的内角和与三角形的外角性质即可求解.

【详解】解：当点P在NA的内部时，如图，延长3尸交AC于点。，

(2JZfiPC=ZPDC+ZC=117°；

当点尸在NA的外部时，若点。在上方，如图，设AB.PC交于点E,

团NP+N4=NA+NC,

0ZP=49O+3OO-38O=41°；

当点尸在NA的外部时，若点。在AC下方，如图，设ACPB交卜点

B

团NP+NC=ZA+N3,

0ZP=49O+38O-3OO=57°；

综上：/8P。=117。或41。或57。；

故答案为：117。或41。或57。.

【变式3-3】【探究】如图①，试说明N8OC=/4+N8+NC；

【应用】

(1)一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，44=28。，。=12。，ZABC=64°,48=46。，求椅面

和椅背的夹角NAE。的度数：

(2)如图③，ZABC=100°,ND比'=130。，求44+/。+/。+/尸的度数.

【答案】探究：见解析；应用：(1)110°；(2)230°

【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质

【分析】本题侧重考查三角形的外角性质及三角形内角和定理.

探究：连结AO,并延长，如图所示，先由外角的性质得NWO+NB=N8Ql/①，ZCAO+ZC=ZCOM@,

再由①+②即可得出结论；

应用：(1)先由三角形的内角和求出N2=70。，得到Zt=N2=700,再由探究的结论得到

NAE£>=NA+NO+N1,代入求值即可：

(2)连结AO,由探究可知NF+N柠LD+N£D4=NO£F,ZBAD+ZADC+ZC=ZABC,即可得到

ZF+^FAB+ZD+NCDE=/DEF4-ZABC=130°+100°=230°，

【详解】探究：

证明：连结AO,并延长，如图所示,

•.•N80M是“160的夕卜角,

：.AHM）+N8=乙BUM①,

NCOM是△AOC的外角,

ACAO+NC=4coM②,

①+②，得

ZBAO+ZB+ZC4O+ZC=ZBOM+ZCOM，

即1BOC=NB4C+ZB+ZC：

应用：

解：（1）•.•ZABC=64°,NBCD=46°,

...Z2=180°-AABC-NBCD=18（）。-64°-46°=7（）°,

Zl=Z2=70°.

由探究可知ZA£D=ZA+ZD+Z1=28°+12o+70°=110°：

（2）连结A£>,如图所示.

由探究可知N/7+ZFAD+NEDA=ZDEF③，

^BAD+ZADC+ZC=ZABC（4）,

③+④，ZF+ZFAD+ZEDA+ZBAD+ZADC+ZC

=Z.DEF+ZABC=130°+100°=230°,

:.Z.FAB+NC+/LEDC+ZF=230°.

压轴专练

一、单选题

1.如图，VABC中，ZA=65°,直线OE交A8于点D,交AC于点E,则N8DE+NCED=().

C.235°D.245°

【答案】D

【分析】

根据三角形内角和定理求出4DE+NAED,根据平角的概念计算即可.

【详解】

解：vZA=65°,

二Z4DE+=1800-65。=115。，

NBDE+ZCED=360°-115°=245°,

故选：D.

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180。是解题的关键.

2.如图，在由线段AaCQ,O£3P.C4组成的平面图形中，/力=28。，则N4+N8+NC+N尸的度数为（）.

A.262°B,152°C.208°D.236°

【答案】C

【分析】如图标记行,2,?3,然后利用三角形的外角性质得N1="+NF=ND+N3,Z2=Z4+ZC,再

利用N2N3互为邻补角，即可得答案.

【详解】解:如F图标记行,2,?3,

•••Z1=ZB+ZF=ZD+Z3,

・.・ND=28°,

.•.Z3=NA+N下一28°,

乂•.•N2=ZA+NC,

/.Z2+Z3=ZA+ZC+ZB+ZF-28°,

•/Z2+Z3=180°

/.180°=ZA+ZC+ZB+ZF-28°,

ZA+NC+N8+N尸=1800+28。=208°,

故选C.

【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角

的意义是解答此题的关键.

3.如图，在折纸活动中，小明制作了一张AABC纸片，点。、E分别是边AB、4c上，将△ABC沿着。月折

叠压平，A与4重合，若04=60。，则叫+02=()

C.105°D.210°

【答案】B

【分析】根据三角形的内角和等于180。求出财。历财比),再根据翻折变换的性质可得0/VQ四般。E,

^A'ED^ED,然后利用平角等于180。列式计算即可得解.

【详解】解：004=60°,

00ADE+SAED=180°-60°=120°,

能U8C沿着OE折叠压平，A与4重合，

团胡'。代册。以0ATD=a4ED,

001+02=180°-((MTD+a4ED)+180°-(^DE+^ADE)=360°-2xl20o=l20°.

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，整体思想的利用求解更简便.

4.在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果乙4=52。,/8=25。,

/。=30。,/。=35。,/5=72。，那么//的度数是().

【答案】B

【分析】延长8后交。尸的延长线「。，连接AO,根据三角形内角和定理求出NBOC,再利用邻补角的性质

求出NOEO,再根据四边形的内角和求出NOR9,根据邻补角的性质即可求出■的度数.

【详解】延长BE交C77的延长线于。，连接40,如图，

0ZAOB=180°-ZB-NO",

同理得NAOC=1800-ZOAC-ZG

团Z4O8+ZAOC+ZBOC=360°,

团ZBOC=360°-ZAOB-ZAOC

=360°-(1800-ZB-ZO>4/；)-(18C'o-ZO/\C-ZC)

=ZB+ZC+ZBAC=107°,

团/BE。=72。，

0ZDEO=180°-/BED=108°,

0ZDFO=360°-Z.D-NOEO-/EOF

=360°-35°-108o-107°=ll0°,

团ZDFC=180°-ZDFO=180°-l10°=70°z

故选:B.

【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是

会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解.三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的

两个内角的和；邻补用性质：邻补角互补；多边形内角和：18。°(〃2).

二、填空题

5.如图，将Nl、N2、N3按由小到大的顺序可以排列为

D

【答案】Z1<Z2<Z3

【分析】本题考查了三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角大于和它不相邻的任一个内角是解题的关

键；

根据三角形的外角性质解答即可.

【详解】解:团N2是VA8C的外角，

团Nlv22,

同理N2<N3,

0Z1<Z2<Z3；

故答案为：Z1<Z2<Z3.

6.如图，ZA+NB+NC+/O+/E+N尸+NG+N"=.

【答案】7207720®

【分析】连接利用三角形外角性质得划=财短2，02=03+05,再利用四边形内角和等于36()。即可求解.

【洋解】解：如图，连接。从

团向1=财短2，02=03+05,01+02+^+00=360°

配14短IF+03+团5+团8短。=360°,

004+06+0E+0G=36Oo,

0HA+0F+S3+05+l3B+{3C+04+06+S£：+0G=72Oo,

003+04=0BHG,05+06=S4DE,

配W奄F+08+iaC+(3E+(3G+[38”G+[a4QE=72O°,

故答案为：720。.

【点睛】本题考查四边形内角和，三角形外角性质，将所求角转化成三角形与四边形的内角，利用四边形

内角和定理和三角形外角性质求解是解题的关键.

7.如图，四边形A8CD两组对边的延长线分别交于点日F,ZE=40°,/斤=60。，若N4与N8CO互补，

则/A的度数为.

E

D

/yc

J---------5z7

【答案】40。/40度

【分析】本题主要考查三角形内角和定理和外角的性质，连接E/L可得NE8=NA,再根据三角形外角

性质得NECD=N1+N2,贝ijN4=Nl+N2,然后根据三角形内角和定理有

zS4+Zl+Z2+ZAEi?+Zz4FD=180o,即2NA+400+60°=180°,再解方程即可.

【详解】解：连接竹，如图，

0Z4+ZBCD=18O°,ZBCD+ZZX7E=180°,

(7]ZECD=ZA,

0ZECZ)=Z1+Z2,

0Z4=Z1+Z2,

团4+N1+N2+NA硝+"7)=180°,

回2NA+400+60°=180°,

团N4=4O。.

故答案为：40°.

8.如图，AB工BC于点B,CD1BC于点C,点E在线段8c上，且AF.。尸分别平分2明E

和NCDE,则/尸的度数是.

【答案】45。/45度

【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用及角平分线的定义，熟知相关知识点,

正确添加辅助线是正确解答此题的关键.

过点F作FM//AB，根据平行公理的推论证明FM//AB//CD,根据平行线的性质证明ZCDF=ZDFM,

=根据于点3,。_18。于点。，点£在线段8。上，AE_LQE推出

NBAE+/CDE=90°,即可求解.

【详解】解：过点F作FM//AB,

VABA.BC,CDVBC,

/.ZB=ZC=90°,

/.ZB+ZC=180°,

/.AB//CD,

:.FM\\AB\\CD,

\-AE±DE,

ZCED+ZAEB=ZAEB+/BAE=90°,

:2BAE=NCED,

•/ZCED+ZCDE=90°,

:./BAE+/CDE=90°,

•.•A尸、。尸分别平分/84E和NCDE,

/.ZCDF=-ZCD£,NBAF=L/BAE,

22

NCDF+NBAF=；(NBAE+NCDE)=45°,

-FM\\AB\\CDf

:"CDF=/DFM,/BAF=ZAFM,

ZAFD=ZCDF+/BAF=45°.

三、解答题

9.如图所示，/八4£的两边上各有一点叫C,连接3C,求证/。4。+/或火=180。+4.

【答案】见解析

【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可.

【详解】解：・・・ZDBC和NECB是VA8C的外角,

NDBC=ZA+NACB/ECB=NA+ZABC.

乂ZA+ZABC+ZACB=180。，

NDBC+/ECB=ZA+ZACB+ZABC+ZA=180°+ZA.

【点睛】本题主要考杳三角形外角的性垢，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关

键.

10.如图，BP平分ZABC,交CD于点F,。2平分NADC交八8于点E,/W与CO相交于点G,ZA=42°.

(1)若NADC=60。，求NAEP的度数：

(2)若NC=38。，求NP的度数.

【答案】(1)72°；(2)40°.

【分析】(1)根据角平分线的定义可得财OP=g/AOC,然后利用三角形外角的性质即可得解:

（2）根据角平分线的定义可得财DP/PQF,XBP^PBA,再根据三角形的内角和定理可得

0A+a4DP=SP+0ABP,团C+l3cBp=13P+团PDF,所以团4+（3C=20P,即可■得解.

【详解】解：（1）0OP平分（MQC,

回船。PWPQF=|ZADC,

0ZADC=6O°,

121ZADP=3O0,

团ZAEP=ZADP+ZA=300+42°=72°:

（2）团BP平分团ABC,。尸平分财OC,

^DP^PDF,^CBP=^PBA,

品W+MOPWP+SABP,

0C-0CBP=aP+0PDF,

00Z+0C=20P,

00Z=42\团C=38°,

00P=1（38°+42°）=40°.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形〃

的等式是解题的关键.

11.（1）如图①，在凹四边形450。中，请直接写出NBOC与NC./A之间的数量关系.

（2）根据图②中的条件，利用（1）中你得出的结论计算NA+NA8C+NO+NOE尸的度数.

（3）如图③，在V48c中，设NA=£,NA8C和/AC8的平分线8。，CE交于点。，过8作EC的平行

线BG交AC的延长线于点G,试用含《的代数式表示NOBG.

【分析】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和，掌握三角形外角的性质是解题的关键.

（I）延长"O交AC于点/）,利J外角的性质可得N8£>C=4+N","OC=/BDC卜NC,从而得到

4OC=ZA+N8+NC；

(2)连接BE,利用(1)中得出的结论可知：ZA+ZABE+ZBEF=ZAFE=132°,

/CBE+4D+/BED=/BCD=92。,两式相加即可得解；

(3)利用角平分线得到NO4C+NOC8=90—，，再根据NC8G=N0C8,NO3G=NO8C+NC8G即可求

解.

【详解】解：(1)ZBOC=ZA+ZB+ZC,理由如下：

延长30交AC广点。，如图①：

0Zfi/X?=ZA+ZB.

团NBOC是△COD的外角，

©ZBOC=NBDC+NC,

回"OC=/4+N8+NC,

即/8OC与N8、NC、乙4之间的关系为NBOC=NA+N8+NC：

（2）连接BE,如图②：

根据图②中的条件，利用（1）中得出的结论可知：

Z4+ZABE+NBEF=ZAFE=132°,

/CBE+NO+/BED=/BCD=92°,

0ZA+ZABE+/BEF+/CBE+ND+NB£D=132。+92。=224°,

即ZA+ZABC\/D卜/DEF=224°；

(3)在VA8c中，N4BC+N4cB=180。-/4=180。一分,

团N'ABC和NAC8的平分线80、CE交于点。，

团NO8C」NA8C,^OCB=-^ACB,

22

回NO4C+NOC8」(NA4C+NAC3)=90一?.

田BG〃EC,

田NCBG=/OCB,

0NOBG=NOBC+/CBG=ZOBC+NOCB=90°-^,

2

即用含夕的代数式表示NO8G的度数为90。-，.

12.(1)己知：如图(1)的图形我们把它称为“8字形"，试说明：ZA+ZB=ZC+ZD.

(2)如图(2),AP,。尸分别平分/BAD/BCD,若NA8C=36。，ZADC=16°.求一夕的度数.

(3)如图(3),直线的平分/BADCP平分/BCD的外角NBCE,猜想NP与NB、N。的数量美系是

(4)如图(4),直线的平分/而。的外角NEW,CP平分4CZ)的外角NBCE,猜想—与4、N。的

数量关系是.

【答案】(1)见解析；

(2)26°；

(3)ZP=90o+^(ZB+ZD)；

(4)ZP=180°-1(ZB+ZD)

【分析】(1)根据三角形的内角和等于180。和对顶角的性质即可得证；

[x+Z4BC=y+ZP

(2)设㈤P=NEW=x,NBCP=NPCD=y,；、「解方程即可得到答案；

x+NP=y+NAfDC

(3)根据直线AP平分N84O,CP平分4co的外角N8CE,得到

NPAB=NPAD=；NBAD,NPC6=NPCE=g/PCQ从而可以得到180。一2(N%8+NPC8)+NO=N8,再

根据NP+/PAD=NPCD+/D,ZBAD+ZB=ZBCD+ZD得到

NP-NB=ZPAD+NPCB=NPAB+Z.PCB即可求解；

(4)连接PBPO,求得ZA尸C+ZABC+N尸C8+N幺8=360°,ZAPC+ZADC+ZPCD+^PAD=360°

再根据NPCE+NPC/XISO。，ZPAB+ZE4F=180°,AFAP=ZPAO,/PCE=/PCB,即可求解.

【详解】解：(1)如图.

7B

A</

•.•N4+"+N4O8=180°,ZC+ZD+ZCOD=180°,

CZ-------------'D

Z4+N8+ZAQ8=ZC+ZD+NCOD.

ZAOB=ZCOD,

.•.N4+4=NC+ND；

(2)如图.

/BCD,^ZBAP=^PAD=x,ZBCP=ZPCD=y,

[x+ZP=y+ZADC

ZABC-ZP=ZP-ZADC,

£P=g(N"C+/AQC)=；(36°+16°)=26°

(3)如图.

CP平分/BCD的外角NBCE,

Pl2/PAB+ZB=180°-2NPCB+ZD,

018O°-2(/PAR+NPCB)+ND=NB

0ZP+ZPAD=ZPCD+ZD,/BAD+/B=/BCD+/D

0ZP+ZPAD-ZBAD-NB=/PCD-/BCD

/.ZP-/PAB-ZB=NPCB,

@ZP-/B=/PAB+/PCB

018O°-2(ZP-Z5)+ZD=ZB,

BPZP=90°+^(ZB+ZD).

(4)连接。8,PD

•••直线AP¥分/区4。的外角NBA。，CP平分N8C。的外角NBCE,

:,ZFAP=ZPAO,4PCE=/PCB,

回/APB+ZPBA+Z.PAB=180°,乙PCB+ZPBC+NBPC=180°

回ZAPC+ZABC+ZPCB+NPAB=360°

同理得到：ZAPC+ZADC+ZPCD+ZPAD=360°

02ZAPC+ZABC+ZADC+Z.PCB+ZPAB+ZPCD+ZPAD=720°

02ZAPC+ZABC+ZADC+ZPCE+ZPAB+ZPCD+ZPAF=720°

0ZPCE+NPCIA180°,ZPAB+ZB4F=180°

02ZAPC+ZAI3C+ZAIX：=360°,

...ZAPC-180°-l(ZABC+ZADC)

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进

行求解.

13.如图1所示的图形，像我们常见的学习用品一一圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图〃，请发挥你的

聪明才智，解决以下问题：

A

A

⑴观察“规形图〃，试探究NBQC与NA、ZB.NC之间的关系，并说明理由；

⑵请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图2,把一块三角尺XYZ放置在VA8C上，使三角尺的两条直角边XKXZ恰好经过点以C,若4=50。,

直接写出NA8X+NACX的结果；

②如图3,0c平分EC平分^DAE=50°,ADBE=130°,求/DC石的度数：

③如图4,ZAWAZACP的10等分线相交十点Gl、G?、…、G”若N8DC==77。,求/A的

度数.

【答案】（l）NBDC=Z4+N8+NC,见解析

⑵①40。；（2）90°：③70。

【分析】（1）首先连接AO并延长，然后根据外角的性质，即可判断出N&）C=NA+N8+NC：

（2）①由（1）可得ZABX+ZACX+ZA=ZBXC,然后根据NA=40。，ZBXC=90。,即可求出ZABX+ZACX

的值；②由（1）可得4>8E=皿1£+/4。8+/4即，再根据N/ME=5（）o,NQ8£：=130。，求出ZADB+ZAEB

的值；然后根据NOCE=J（N4O8+NA£B）+NZME,即可求出NOCE的度数；③设4〃G=x。，

4CG=y。，结合已知可得NA8D=10f,46=10），。，再根据（1