2024年高一数学期末试题专项汇编：三角恒等变换与三角函数应用（4种经典基础练+4种提升练）解析版

s专题08三角恒等变换与三角函数应用

（4种经典基础练+4种优选提升练）

经

优

辅助角应用4题）两螂好色7题）

典

选

基

给值求值1共12题）提三倍角公式（共5题）

题型归纳

础

三^变换的实际应用供6题）升简单的三角恒等变换（共10题）

题

题

三角函数的应用（共16题）三角函数的应用（共1嬷）

^型01两角和与差（共7题）

^^,sina=则cos/7=()

1.（23-24高一上•浙江嘉兴•期末）已知依夕都是锐角，cos（a+/7）

510

A,也B.迪D.立

101010

【答案】B

【分析】根据夕=（。+£）-。，结合同角三角关系以及两角和差公式运算求解.

【详解】因为a/都是锐角，则a+夕£（0,兀）,

则sin(a+4)=^1-cos2(a+/?)=-y-,cosa=Jl-sin%=3y

所以cos£=cos[(a+〃)一a]=cos(a+£,osa+sinR+夕前na

述x亚+鸟叵二述

51051010

故选：B.

2.(23-24高一上•北京东城•期末)若ac(0,兀)，且sina-cosa£(0,1),贝ijtanaw()

A.(1,+8)B.(0,1)C.(-1,0)D.（一知一I）

【答案】A

【分析】先通过sina-cosae（0,l）求出。的范围，进而可得tana的范围.

【详解】sina-cosa=V2sina(0,1),所以sin

K3几

因为°€（0,兀），所以

44

n71

所以根据呵a-：e'0八,-近^~、,r可z得na-]几€([(八),兀a)卜

44

nn

所以aw,Jill]tanare(l,-H»i.

4,2

故选：A.

3.（23-24高一上•福建南平・期末）已知角夕的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合,

它的终边过点

（1）求2cosa-sina的值；

⑵求tan（a+：）的值.

【答案】⑴-2；

叫.

【分析】（1）由三角函数定义代入即可求解；

（2）由三角函数定义结合两角和的正切公式即可求解.

3443

【详解】（1）因为。的终边过点P，所以sina=《,ccsa=--,

64

所以2cosa-sina=------=-2.

55

344

（2）因为a的终边过点尸（-三,三），所以lana=-、，

JJJ

it4,

/xtana+tan——+1.

所ll以…tan"a元卜）;---------4^=丁?丁"一1亍

'71-tanatan—1+-

43

4.（23-24高一上•福建漳刑期末）在平面直角坐标系附中,角的顶点为坐标原点，始边为'

<Vw3vHp

轴的非负半轴，终边与单位圆交于点P记’10,

⑴求tana的值;

cos卜

(2)求「的值•

sin'a+2sin(兀-o)sin2+（X]

【答案】（1）；

（2）?

【分析】（1）由三角函数定义可得tanja+（J=3,后由两角和的正切公式可得答案;

（2）由sin%+cos2a=1与诱导公式可得后由tana=独巴可得答案.

sin~a+2sinacosacoser

3710

【详解】⑴由三角函数定义，结合题意，可得tan（a+：

词—3

10

------=3=>3-3tana=tana+1=>tana=—,所以tana=-；

1-tana---------------------------------22

COS2]<z+—1+1,

Isin'a+1

（2）由诱导公式，结合题意可得:

.2\■（n1sin2a+2sinacosa

sina+2sin（兀一<2）sm[5+aJ

sin26z+l_2sin2cr+cos2a

又sin?c?+cos2a=1

sin2a+2sinacosasin，a+2sinacosa

sina则2sin2a+cos2a2tan2<zl1_W_6

又tana=

?------------=------i-=—,

cosasina+2sincrcosatan~a+2tana一1+,z^x1-5

42

5.（23-24高一上•安徽宿州•期末）（1）已知c°s|j+\l,求3sma+2cosa的值

---;....-=一Lsina-2cosa

cos（兀+a）

（2）已知角a的终边过点时4）,sin夕=（，匹仁片），求cos（a+0的值.

1JIz//

【答案】（l）1;（2）-

3sina+2cosa

【分析】（1）化简已知式，求得tana的值，将利用弦的齐次式化弦为切代入即得;

sina-2cosa

（2）由条件分别求出sina,cosa,cos/7的值，再代入两角和的余弦公式计算即得.

/\

n

COS--FCt3sina+2cosa_3tana+2

【详解】（1）由（2J_-sina_tanzy_,可得：

sincr-2cosatana—2

cos（n+a）-cosa

43

（2）,•・角a的终边过点尸（3,4）,则sina=《,cosa=w

由sin/?=n',P可知：cosP=-5/1-sin2P

13\，乙乙）

3（12、45八

则cos（a+〃）=cosacos〃-sinasin,8=-x-----x—------.

5（13）51365

6.（23-24高一上•浙江丽水•期末）已知a为锐角，cosa=1.

⑴求tana的值;

(2)若sin(a+夕)=一正，求sin/?的值.

5

4

【答案】（1）§

（2）一座或立

255

【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求解即可;

（2）由题意利用同角二角函数的基本关系求得cos（a+£）的值,再利用两角差的正弦公式.求得

sin/?=sin[(a+/)-a]的值.

cos。、,sina=忘嬴/△

【详解】（1）Q。为锐角,

55

sina4

/.tana=----=—.

cosa3

(2),/sin(a+^)=—/.cos(a+^)=±—

5

sinp=sin[(a+6)一a]=sin(a+Q)cosa-cos(a+p)sina=-"在或—

255

7.（23-24高一上•广东深圳•期末）己知函数/（x）=sin2x+6cos2t.

0，g上的对称轴;

z/

（2）求函数/（X）在区间0,y上的取值范围.

o

【答案】（山咤

(2)[V3,2]»

【分析】（1）利用两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得;

（2）由x的范围求出2x+方的范围，再根据正弦函数的性质计算可得；

【详解】（1）因为/'（X）=sin2x+£cos2x=2（3由21+乎cos2x）=2singx+:

令2x+马=：+左兀（kwZ）,则x=^+E（keZ）,

32212

令2=0,得、=展，

\/（x）在区间（0身上的对称轴为“哈;

（2）对于/（x）=2sin（2x+1）,

八兀7T2n

xe0,—,

63*T

限+江卢1

3j2

所以当2x+mq，即户群时/（x）取得最大值，即〃x）a=2；

当2x+m=W或2x+W==，即x=0或X=£时/⑴取得最小值，即/（x）n,m=5

33336

.-./（X）G[>/3,2],

所以函数/（X）在区间（吟上的取值范围为[6,2].

二倍角公式（共5题）

2tan140

1.（23-24高一上•广西贺州•期末）设a=.sin570-L8s57。,b=,c=2sinl3cosl3°,则

22l-tan^M°

有（）

A.b>a>cB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】A

【分析】由两角差的正弦公式求。，由二倍角的正切公式求。，由二倍角的正弦公式求〜即可根据

正弦函数的单调性比较大小.

（详解】a=^-sin57°cos570=sin（57-30）=sin27”,

2tan[4。

b=--------；—=tan（14°+14°）=tan280,

1-tan-14°

c=2sinl30cosl30=sin26»

・・・E弦函数在呜）是单调递增的，,••c”.

Xvft=tan28,=^^->sin280>sin27,:.a<b.

cos28°

故选:A.

2.（23-24高一上•湖南益阳・期末）已知tana=3,则smF-sm2a=（）

cos,a

A.3B.6C.8D.9

【答案】A

【分析】利用二倍角公式及正余弦齐次法计算得解.

，任岳八,4Bsin2a-sin2asin2a-2sinacosa”，令

【详解】由tana=3,得------；-----=---------；--------=t4an2a-2tana=3--2x3=3.

cos-acos'a

故选：A

3.（多选）（23-24高一上•湖南长沙•期末）下列各式中值为1的是（）

tan13°4-tan32°

Bc.4Xsi•n兀—cos—兀

1-tan13°tan32°1212

C.—Cos2--sin2-1

D.sinlllocos381o+sin2losinl590

2I88)

【答案】ABD

【分析】对于A项，逆用两角和的正切公式计算即得；对■于B项，利用二倍角的正弦公式即得；对

于C项，利用二倍角的余弦公式即得；对于D项，利用诱导公式和同角的基本关系式计算即得.

【详解】对于A项，普耳普桨=tan。3。+32。）=tan450=1,故A项符合；

1-tan13°tan32°

对于B项，4sin—cos——2sin（2x—）-2sin¥-1,故B项符合；

1212126

对于C项，—fcos2--sin2-1=^€os（2x^=^os-=故C项不符合；

2I88J28242

对于D项，sin111°cos3810+sin21°sin159°=cos210cos210+sin210sin21°=sin221°+cos221°=1>

故D项符合.

故选：ABD.

4.（23-24高一上•安徽安庆•期末）已知夕e（O,兀），且女os2a-lOcosa-1=0.

（1）求sina的值；

⑵求cos（a+2）-\5cos1一：的值.

【答案】（1）半

⑵考

【分析】（1）根据余弦二倍角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；

（2）根据诱导公式，结合辅助角公式进行求解即可.

【详解】（1）由题意可知，3（2cos?a-l）-10cosa-l=0,

展开整理可得3cos2a-5cos2=0,

即（3cosa+l）（cosa-2）=0,

解得cosa=-§(cosa=2舍去).

因为。£（0,九），所以sina=Jl-cos，a=

7t

(2)costa+-^-白cosa——

I3J

CDS(y+a--VJCOS(«-$

=-sin(«-y)-6cos(a一令

=-2sin(a-y++=_2sina=一

5.（23-24高一上•福建•期末）在江面直角坐标系中，角a与小的顶点均与直角坐标系的原点重合,

（43、

始边均与x轴的非负半轴重合.已知角。的终边与单位圆交于点户工,-三，若将。尸绕原点。按逆

时针方向旋转5后与角力的终边。。重合.

4

⑴求cos2a的值；

（2）求siny-^j+cos5+尸）的值.

【答案】⑴（

⑵烙

【分析】（1）由三角函数定义以及二倍角公式即可求解:

（2）首先得£=a+f,进一步根据两角和差的三角函数运算即可求解.

【详解】（1）由题意角a的终边与单位圆交于点

34,/4V3Y7

所以sina=一二,cosa=二，cos2a=cos2a-sin2a=--一一=一.

55l5jI5）25

（2）由题意夕=。+=,

4

简单的三角恒等变换（共10题）

一、单选题

1.（23-24高一上•河北唐山・期末）若函数/*）=x/5cosx-sinx,则/。）可以化简为（）

_I711、兀,n

A.2cos^.v+yjB.2COSA-yC.2cosx+—D.2cosx--

6k6）

【答案】C

【分析】利用辅助角公式求出答案.

c乳

【详解】f（x）=x/3cosx-sinx==2cosx+—C正确:

6

其他选项不满足要求.

故选：C

二、多选题

2.（22-23高一上•河北唐山•期末）设函数/'3=2八28£1-2（：05%,若函数歹=/（》+夕）为偶函

数，则。的值可以是（）

“兀c冗-5兀C2兀

A.-B.-C.—D.—

6363

【答案】BC

【分析】根据三角函数变换结合条件可得/（x+e）=2sin（2x+2*q）-1,进而

2（p--=kn+-,keZ,即得.

62

【详解】因为/（x）=2\/Jsinxcos工一2cosa=\5"sin2x-cos2x—l=2sinI2.Y---1,

所以y=/（x+W）=2sin（2r+2eqJ—1,又函数y=/（尤+。）为偶函数，

所以2°-三二板+P,£wZ,即e=9+4,%wZ,

6223

所以。的值可以是学.

36

故选：BC.

三、填空题

3.（23-24高一上•湖北荆州•期末）若函数y=sinx+&cosx+3的最小值为1,则实数。=

【答案】3

【分析】利用辅助角公式与正弦函数的性质得到关于。的方程，解之即可得解.

【详解】因为y=sinx+石cosx+3=JT^~sin（x+0+3,其中tane=G，0<0q，

所以乂mn=一Jl+a+3=1，解得。=3.

故答案为：3.

4.（20-21高一上•安徽安庆•期末）“无字证明〃就是将数学命题比简单、有创意而且易于理解的几何

图形来呈现.请观察图，根据半圆中所给出的量，补全三角恒等式1@。6=7「=_1_1,第一个括

（）sin2。

【答案】1+COS26l-cos26>

加图所示，CM=sin2O

cC"CM_sin20

在直角三角形力MC中,tan0=---

AM1+OM1+cos20

tan”也=匕"=3£

在直角三角形CMB中,

CMCMsin20

故答案为：1+cos20；1-cos20.

四、解答题

5.（22-23高一上•湖北襄阳•期末）（1）若冗，化简:

(2)若cos(g-a)=,求cos]-^-+a)+cos，—+or的值.

【答案】(1)-2；(2)三亘

3

【分析】(1)根据a的角度范围，判断出sina和cosa的取值范围，即可化简求值.

(2)根据已知条件，将式子化成含cos(m-a'；的式子，即可求出该式的值.

【详解】解：(1)由题意，y<«<2K,

/.sina<0,0<cosa<1,

1+cosa

原式=sina

1-cosa

(1-cosa)2I(l+cosa)2.1(1-cosQ'(1+cosd

=s,m

(l+cos«)(l-cosa)y(l-cos«)(l+cos0

^l-coscrl|l+cosap|.(l-cosa1+cosa

=s:na、-----+\-----=sincr----------------

sina\pinaJ<sinasina

(2)由题意cos[W-a)=g,

/\

Tt=-虫+sin2n

=-cos—a+cos2'—a

(3)313

=£"c°sn石22-6

-a-----F—------------

33333

6.(23-24高一上•河南商丘・期末)已知cos^=噜,sin(a-/?)=咚，K0<^<a<|.

⑴求tan2尸的值;

(2)求sina的值.

7

【答案】(1)五

(2)亚

50

【分析】(1)由同角三角函数关系得到tan/7,再利用二倍角公式进行计算;

(2)凑角法，结合正弦和角公式进行计算.

【详解】(1)由cos〃=£^,0<£<],得sin£==书

°sin/7I

tan/?=—―=-.

cos/y7

l

co2lan夕z2x77

则324=匚京T千]正

(2)由0<〃<a<]，得0<。一々<^,

所以cos(a--)=J-sin」(a)=

sina=sin[(«-/?)+川

-sin(ar-/?)cos/?+cos(a-/?)sin/?

旧7a26V29厢

=——x------+-------x——=--------.

51051050

7.(21-22高一上•广东湛江•期末)证明下列等式：

(1)sin^(l+8s2。)=sin26cos0

d_R

⑵cosa(cose-cos/?)+sinagina-sin1)=2sin]-.

【答案】⑴证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)(2)利用三角函数恒等变换的应用化简等式左边等于右边即可得证.

【详解】(1)左边=©11。(1+852。)=5亩。(1+28$2。-1)=25后以052。=5泊2%05。=右边，得证;

(2)左边=cosa(cosa-cos?)+sina(sina-sin^)

=cos%-cosacos/?+sin%-sinasin夕

=1-(cosacos/?+sinasin/7)

=l-cos(a-/?)

=28"B

2

=右边，得证.

8.(22-23高一上•宁夏中卫・期末)已知tane=；,tan/=；.求：

⑴Ian2a的值；

(2)若。,夕€(0,今，求角。+夕.

4

【答案】(1)§

【分析】(1)直接根据二倍角的正切公式即可得解；

(2)利用两角和的正切公式求出tan(a+"),结合范围即可得结果.

2」

【详解】(1)因为tana=:，所以tan2a=/-f_1=i

21-tan_of3

4

\_\_

(2)因为tana=；tan/?=1,所以tan(a+/?)='ana+tan^=231,

231-tana-tanpj_1x-

~23

又因为心夕£(0,今,所以a+夕«0,江

故

4

9.(22-23高一上•河南郑州•期末)计算

sin—+a+3sin(兀+。)

(1)已知tanQ=3.求一-4------------------的值.

I371/U、

cos|^—一aj-cos(57t+a)

(2)已知cosa=L且cos(a-/?)=半0<0<a<g求角夕的值；

【答案】⑴4

呜

【分析】

(1)利用诱导公式和齐次式化简，化为关于lana的式子，代入求值即可；

(2)利用同角三角函数关系及角的范围得到sin(a-/?)和sina,从而利用余弦差角公式求出

cos夕=cos[a-(a-/?)]=p从而求出角P的值.

【详解】(1)因为tana=3,

sin—+a+3sin(it+a)_.、八

(2Jcosa-3sina1-3tana1-9

所以M\=-：=~r=~~~

{3n\/_、-sina+cosa-tana+1-3+1

cosl---al-cos(57i+cr)

(2)因为0<Z?<avg,所以—

因为cos(a-〃)=搐，所以sin(a-6)=Jl-cos，(a-6)，

因为cosa=!,所以sina=V1-cos-a-2巨»

77

故cos尸=cos[a-(a-77)]=cosacos(a-/7)+sinasin(a-/?)

1134x/3361

=—x-+----x----=—，

7147142

因为

所以夕=g.

10.（23-24高一上•天津河北•期末）已知tana

3

⑴求tan(+的值；

c-p.sin2a-cos2a

(2)求------------的值.

I+cos2a

【答案】⑴g

⑵-J

6

【分析】（1）利用正切和角公式求出答案;

（2）利用二倍角公式得到齐次式，再化弦为切,代入求值即可.

n

tan—+tana

【详解】（1）tan[?+a4I+tana41

,711-tana]卡|

1-tan—tana2

43

222

⑵sinla-cosa2sinacosa-cosa2sinacosa-cos'Q

1+cosla1+2cosa-12co?a

2tanor-1_35.

226

三角函数的应用（共10题）

一、单选题

1.筒车亦称“水转筒车"，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流

稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车，

在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M距离水面的高度〃（单位：米，记水筒M在水面上方忖高

度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间，（单位：秒）满足函数关系式

〃=2sinf9+*]+：,”仅父，且，=0时，盛水筒M位于水面上方2.25米处，当筒车转动到

130）4I2）

第SO秒时，盛水简M距离水面的高度为（〉米.

A.3.25B.2.25C.1.25D.0.25

【答案】B

【分析】根据2sz225求出

即可得到函数解析式，再代入，=80计算可得.

【详解】依题意可得2sine+j=2.25,即sinQ=J又9€（0弓）所以尹=2,

5

所以〃=2sin

4

贝ij当,=80时〃=25由（夺80+野+：=2$而（3花一青

+—=2sin—+—=2.25

464

即当筒车转动到第80秒时，盛水筒M距离水面的高度为2.25米.

故迄B

二、多选题

2.如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心。距离水面的高度为

2.2m.设筒车上的某个盛水筒尸到水面的距离为"（单位：m）（在水面下则为负数），若以盛水

筒P刚浮出水面时开始计算时间，则4与时间：（单位：s）之间的关系为

d=Asin（<yr+（p）+b4>0,/>0,-色v°■）下列结论正确的是（）

I22）

A.A=3B.co=—C.sine=-----D.b=-0.8

2015

【答案】ABC

【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，逐项求解，即可得到答案.

【详解】由题意，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，

所以振幅4=3且7=果=40,可得/=半=需=/，所以A、B正确；

又由筒车的轴心。距离水面的高度为2.2m,可得b=2.2,所以D错误；

根据题意，当/=0时，4=0,即0=3sino+2.2,可得sine=-三,所以C正确.A

故选：ABC.

三、填空题

3.一个单摆作简谐振动位移-时间图象如图所示，S表示离开。的位移（单位：cm）,/表示振动的

时间（单位：s）,则该简谐振动的振幅为cm,振动的最小正周期为S.

【答案】64

【分析】根据图象求得振幅以及最小正周期.

【详解】单摆作简谐振动的位移-时间图符合正弦型函数,

由图可知振幅为6,最小正周期为2x（3-1）=4.

故答案为：6：4

4.已知某段电路中电流/（单位：/）随时间/（单位：s）变化的函数解析式是

/=5sin<yr（0<co<100TI）,ZG[0,+a?）,若/二工5时的电流为3A,则/=Ls时的电流为

A.

【答案】y

【分析】由题意得sin养=],结合角0</<100兀、平方关系以及二倍角的正弦公式即可得解.

【详解】由题意5sin嬴=3,所以sin端=|,

又因为0<100兀，

所以/=」一s时的电流为I=5sin-^―=1Osin-已cos"=10x-x—=—

100100200200555

故答案为：—.

四、解答题

5.已知函数y=5sin(5x+二

(1)写出函数的振幅、周期、初相;

(2)求函数的最大值和最小值并写H当函数取得最大值和最小值时x的相应取值.

【答案】⑴振幅为5,周期为营，初相为J；

56

⑵当工=当+自京Z)时，函数有最大值5；当X=言+*〃叼时，函数有最小值-5.

J1JJ*J

【分析】(1)根据振幅定义、周期公式、初相定义进行求解即可；

(2)根据正弦型函数的最值性质进行求解即可.

【详解】(1)由函数y=5si15x+£]的解析式可知：振幅为5,周期为乌，初相为：；

(2)当5x+：=2E+?keZ)时，即当x=等+高AeZ)时，函数有最大值5；

U4JJLJ

当5x+r=2E+=(AcZ)时，即当方=当+萼(AwZ)时，函数有最小值—5.

62515

6.如图，有一块半径为/?的扇形草地OMV,4MON=匕现要在其中圈出一块矩形场地/也CQ作

2

为儿童乐园使用，其中点48在弧MN上，且线段48平行于线段

4y

（1）设ZAOB=2夕（0<e<，用e分别表示AB^11AD；

⑵当。为何值时，矩形场地48CZ）的面积S最大？最大值为多少？

【答案】⑴"8=2右比0,AD=R（cosO-sM）.

⑵当0=；时，s最大，为回1'甲2

【分析】借助二角函数表示48和4D,进•步表示矩形的面积.可求矩形面枳的最大值.

【详解】（1）如图：过。做力〃于〃.

则//。〃=0,所以AU=RsinO=>AB=2RsinO，AD=R^cosO-sinO).

(2)S=ABAD=2R~sinO[cosO-sinO)

=R2(isinOcosO-2sin2G)=/?2(sin20+cos20-1)

当且仅当2。+工=4即。=工时取”=〃.

428

故当时矩形场地的面积最大且最大为（近-1）/

7.深圳别称"鹏城"，"深圳之光"摩天轮是中国之眼.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从

高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为120米，转盘直径为110米，当游客坐上“深圳之

光"摩天轮的座舱开始计时.开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进

舱，转一周大约需要30分钟.开始转动，分钟后距离地面的高度为〃⑺米.

⑴经过，分钟后游客距离地面的高度为〃米，已知，关于，的函数关系式满足〃（/）=4sin®+8）+4

（其中4>0,^>0,H<y）,求摩天轮转动一周的解析式”0;

⑵若游客在距离地面至少92.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，

游客能有多长时间有最佳视觉效果？

【答案】⑴〃（/）=55sin信/q|+65Jw[0,30]

（2）10分钟

【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出48,根据转一周的时间计算出再结合初

始位置计算出夕，由此可求〃⑺；

（2）化简〃⑺，根据"“"92.5,求解出，的范围，由此可知结果.

【详解】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面120m,最低点距离地面120-110=10m,所以

5+J-12O.4-55

所以

8—4=108=65

又因为转一周大约需要30min,所以。=与=1^=1，

所以〃（/）=55sin+65,

又因为〃（0）=55sine+65=10,所以sin°=T且|同《5,所以p=-巴，

22

所以〃⑺=55sin（5一S+65/e[°，30]；

（2）因为“〃）=55sin-^-r-^4-65=-55cosjy+65,

令一55cos悔+65N92.5,则cos费工-孑，

又因为会[0,2注所以人叫考,

所以10W20,且2070=10分钟,

故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有10分钟最佳视觉效果.

8.风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能,

进而来推动发电机发电.如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为现

有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5

秒旋转一圈.风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动/秒后离地面的距离为人米，在转动一

周的过程中，/?关于7的函数解析式为〃a）=/sin（3f+e）+4（.4>0,0>0,同〈江）.

⑴求函数〃(f)的解析式;

⑵当风机叶片端点尸从离地面最低位置开始，在转动•周的过程中，求点尸离地面的高度不低于

80米的时长.

【答案】⑴皈)=40sinfy/-100(0</<5)

⑵与秒

【分析】(1)根据题意，建立关于4民。的方程组，解出即可；

(2)帕)280,解出三角不等式即可.

【详解】⑴由题意，得风机的角速度每秒，当"0时力=60.

4+8=140,A=40,

-.4+8=60,解得，8=100,

As\n(p+B=60,Tt

h(t)=40sin00(0</<5).

(2)令人(1)280,则〃Q)=40sin|生，一马+100>80,UpCos—/<-,

、52J52

兀，27r,5兀5,一2525510

•_.

，解得三4,4丁，,・----------------

35366663

••当风机叶片端点P从离地面最低位置开始,

在转动一周的过程中，点尸离地面的高度不低于80米的时长为5秒.

9.如图，一个大风车的半径为4m,8min旋转一周，它的最低点［离地面2m,它的右侧有一点片且

距离地面4m.风车翼片的一个端点/从片开始计时，按逆时针方向旋转.

地面I。

⑴试写出点P距离地面的高度”m)关于时刻/(min)的函数关系式力(1)：

(2)在点P旋转一周的时间内，有多长时间点P距离地面超过8m?

【答案】⑴，币)=4sin仅用+6

⑵:分钟.

【分析】(1)建立以圆心为坐标原点的坐标系，根据任意角三角函数的概念表示出P的纵坐标

〃(7)=4sinj7d+6即可求解；(2)令力(，)=4疝但一4+6之8,解三角不等式即可求解.

146)146J

以圆环的圆心为坐标原点，过圆心且平行于地面的直线为x轴,

过圆心且垂直于地面的直线为歹粕建立平面直角坐标系xOy.

以工轴非负半轴为始边，。，为终边的角为-3

O

点P时刻《所转过的圆心角为：

84

若Z时刻时蚂蚁爬到圆环P点处，

那么以x轴非负半轴为始边，

。尸为终边的角为。-三，

46

则P点纵坐标为4sin仔,

/\

所以〃〃)=4sin—t-—+6

146)

(2)令M/)=4sin('-[)+628,

-冗，冗、1ll兀-兀7T57r_._

即sin—t—之一，所以—F2kn<—/—<—+2版,AtwZ,

\46J26466

4

解得一+8AK/K4+8Z,A€Z,

3

所以在一周范围内，P距离地面超过8m持续时间为：

48

(4-86一(鼻+8底=(分钟.

JJ

10.如图.在扇形"。中.半径所=1・圆心角〃。。=3。是扇形圆弧卜的动点.矩形ABCD内

⑴将矩形48CQ的面积S表示成关于。的函数/(a)的形式;

(2)求/(a)的最大值，及此时的角a.

［答案］(l)/(a)=(cosa-sina)sina(0<a<-^)

⑵时，/(a)取得最大