2025-2026高考数学第一轮复习：数列（解答题）专项练（含解析）

2025-2026高考数学第一轮复习试卷:解答题专项练

一、等差数列及其通项公式（本大题共2小题）

1.已知数列｛《J满足：=4q-4a,tT-l（〃N2,,?€N"）,%=1,生=3.

（I）若勿=勺+1，证明：步向-次｝为常数列，并求｛4｝的通项公式；

（2）将卬,生,…随机填入45x45的方格表中，证明：对任意某行，不存在其它的行或列，使其各自

所有数之和相等；

（3）将％,七,，/25所有任意两项的算术平均数按从小到大的顺序排列，得到的新数列的前〃项和为

3,证明：S”<2025x2>而.

2.已知数列｛%｝的前项和为S.，4=1，且〃S用=（〃+1电+〃"].

S

（|）证明：数列为等差数列；

n

（2）设）=力加,求数列也｝的前项和;

1-1

（3）在（2）的条件下，｛"｝中是否存在三项构成等差数列？若存在，求满足条件的三项；若不存在，请

说叨理由.

二、等差数列的前n项和公式（本大题共2小题）

3.己知等差数列｛q｝的前〃项和为S“，生=-5,S6=-12.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）求S.,并求当〃取何值时S”有最小值.

4.S”为等差数列｛4｝的前〃项和，已知％=1，S,=-32.

（I）求数列｛4｝的通项公式；

（2）求S”，并求S”的最小值.

三、等比数列及其通项公式（本大题共2小题）

5.已知数列｛&｝为等比数列，％=1，%+1是%与％的等差中项，S”为㈤｝的前〃项和.

（1）求｛4｝的通项公式及加

（2）集合A为正整数集的某一子集，对于正整数3若存在正整数加，使得1。82%=鼠，则4£/1,否

,、log,ci„n^A\,、

则正A.记数列也｝满足"=产y，求也｝的前20项和4.

6.在等差数列｛q｝中，已知4=7,4，%，4。2成等差数列.

（I）求数列｛4｝的通项公式；

（2）数列｛2%｝是否为等比数列？若是求其前〃项和，若不是，请说明理由；

（3）设10gM小牛华

且WAwN'J〃eN'，4-d“=4+|+4+2，求4的所有取值.

四、数列通项求法（本大题共2小题）

C

7.已知数列｛q｝的前〃项和为S”，（§｝是首项和公差均为I的等差数列.

（I）求数列｛4｝的通项公式；

（2）若2=2"-54，求"的最小值.

8.在数列｛4｝中，4=5,且q川=2q-l（〃eN）

（I）证明：｛4-1｝为等比数列，并求｛q｝的通项公式；

（2）令儿=（-»•4,求数列他｝的前〃项和S..

五、数列求和方法（本大题共26小题）

9.记5.为数列血｝的前〃项和，已知（>0,4S.=d+2〃。-3,数列他｝满足:：向':为偶数.

（I）求数列｛4｝的通项公式；

（2）记数列低｝的前〃项和为却若对任意〃eN“，7；,>10^+2,求实数人的取值范围.

10已知｛〃,｝是等差数列，且生=3.o,+/=14,数列也｝是等比数列,其前〃项和为S“，且满足

%=码+1，其中2工一1.

（I）当义=1时，求数列｛4｝与数列也｝的通项公式；

（2）在（1）的条件下，设数列£,｝的前〃项和为l，已知%=」^，证明：f<7；,<1;

（3）当a=时，若数列｛4｝满足4=〃（〃>。），且4用-4=-fa，若对任意正整数

i，j（iw/），何-4|<1恒成立，求实数〃的取值范围.

11.已知数列乩｝的前项和为S”，6=1,且〃1=S,+〃2+〃.

（I）证明：数列11｝为等差数列；

（2）设"=之《4，

1=1

（1）求数列也｝的前〃项和：

（ii）当心1时，设集合％=｛4+/“3小2"7+2<々+%<〃・2"工+2,1金.〈川,/€1^｝,集合此中所有元

素的和记为储，求数列｛£｝的通项公式.

12.（13分）

己知数列｛）满足a1+2及+...+/心后（〃-1）x2"+1+2.

⑴求｛斯｝的通项公式；

⑵若b„=-----%——77,求数列也｝的前〃项和S”.

anQn+1-an-an+i+l

13.已知数列｛q｝的各项均为正数，前〃项和为5,,,且q=l,£:是1-S”与S用的等差中项.

（1）证明；数列｛点｝是等差数列；

（2）设T=（T）".（S”+/）,求数列也｝的前2〃项和Q.

14.已知数列｛%｝，｛〃｝满足％=1,且一4,是关于工的方程父-2工-2=0的两个根.

（I）求凡；

⑵设「=『+（-1）Z,求数列£｝的前21项和邑一

15.已知数列｛《,｝满足％=g,

（i）求证：是等差数列；

I。"

（2）若b.=a“a"〃eNb，求数列出｝的前〃项和7；.

16.已知在数列｛4｝中，4=100,。向=100〃：，设2=也可+1.

（1）证明数列也｝为等比数列，并求也｝的通项公式；

（2）设c.=3〃+1,将数列｛2｝和数列｛%｝的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列｛4｝,求

数列｛4｝的前50项和工）.

17.已知数列｛q｝的前〃项和为且满足S”=24r-1.

（I）求数列｛《J的通项公式；

（2）已知:=a；+log2%，求数列｛a｝的前〃项和为

18.已知数列｛q｝满足：4=2,。向二广普.

（I）证明：数列，5»是等差数列；

（2）记。二备，,/eN\求数列｛，｝的前〃项和3”.

19.已知数列｛q｝的前〃项和为工，且4=1,S向=44+l（〃eN）

（1）求证：数列｛«用-24“｝是等比数列；

（2）求证：数列［枭］是等差数列；

（3）求数歹U｛咛•/｝的前〃项和，.

20.记等差数列｛勺｝的前〃项和为S“，已知S$=85,且凡=7%.

（I）求凡和s“；

（2）设"=」一，求数列也｝的前〃项和7；.

ananU

21.已知数列｛q｝的前〃项和为臬，2Sn=（n+l）anf且q=l.

（1）求数列｛q｝的通项公式；

（2）若数列〃，二名,

28.已知各项均为正数的数列｛©、他｝满足％=4e=2,且%成等差数列，4,％,一成等比数

列.

（I）求出也的值;

（2）证明：数列｛阮｝为等差数列；

（3）记求数列｛q｝的前〃项和为S”.

n

29.已知数列也｝中，4=3,&=15,且数列｛贤｝为等差数列.

（I）求｛凡｝的通项公式；

11一3

（2）记S.为数列一的前〃项和，证明：S„<4，

4

30.记数列㈤｝的前〃项和为S"，若《=2,1aM=同+2],

（I）求知的所有可能取值；

（2）若5.5=474,求的所有可能取值・

2

31,设数列&｝的前，项和为%，2Sn=n+5n,n6N\

（I）求｛册｝的通项公式：

（2）设"二叫2%求数歹I」｛黑｝的前71项和几；

（3）设C”=J_2,求证：■+。+C3+…+呢>2VH-]

32.已知数列｛q-1｝是递增的等比数列，生=5且%+%=26.

（I）求数列｛4｝的通项公式：

（2）求数列卜仁｝的前〃项和S.

33.记数列｛q｝的前〃项和为5”,已知q=3,nan+｝=2Sn+3n.

（I）证明：数列｛6｝为等差数列；

（2）求数列猾.的前八项和小

。八什I.

34.已知数列｛q｝的前〃项和为S”，且％=1,2S„=3alt+m.

（I）求实数〃?的值和数列｛q｝的通项公式；

（2）若4=3%%，求数列｛2｝的前〃项和人

六、数列与其它模块综合（本大题共5小题）

35,已知各项均为正数的等比数列｛4｝,其前〃项和为5.，满足2s“=勺,2-6,

（I）求数列｛4｝的通项公式；

（2）记心为数列⑸｝在区间（《“Cm）中最大的项，求数列｛制的前〃项和

36.已知数列｛当｝满足：/+1=/（%），其中/'（大卜加+加卜活工。）

a1

（I）已知4=b=2.x=g,令凡=1。比^+-，求数列MJ的通项公式：

L\,2）

（2）已知〃=-31=3,%>。，且对任意〃eN都满足：乙=/（芍用），求数列｛-%｝的通项公式；

,11

（3）已知a=〃=l，M=2,记2=MTi，证明4+打+4++""<]

37.已知等差数列｛〃“｝的第2项为3,其前5项和为25.数列｛"｝是公比大于0的等比数列，…,

"+仇=80.

（I）求｛4｝和他｝的通项公式；

（2）i己&=""+!，〃wN*，

hn

（i）证明付一%｝是等比数列；

3）证明二fl屋1<2&,相N*.

可。-%

38,模糊数学普遍存在于自然界却数学模型中，比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等.假设在一

个模糊数学系统中，用相来表示系统在第〃（〃£N.）个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状杰Xz满足

七田二/（%），其中/（力=一62+。仁

（1）当。=3时，若满足对W/zcNT，有七=/（%+J，求&;

（2）当4=1时，判断｛%｝中是否存在连续的三项构成等比数列；若存在，求出连续的三项；若不存在,

说明理由.

（3）若司=4，4=1,记7；=X%3,证明：7；+7；+7；+..+7；<1

26

39.已知双曲线。々一4二柳阳〉。），点。氏4）在C上,k为常数，0<攵<1.按照如下方式依次构造

点心（〃=2,3,...）：过《一作斜率为2的直线与c的左支交于点2T，令匕为Qz关于y轴的时称点，记外

的坐标为（乙,”）.

（I）若攵=；,求々，）’2；

乙

11L

（2）证明：数列｛%-券｝是公比为言的等比数列；

（3）设S”为.小几/2的面积，证明:对任意正整数〃，S“二S向.

七、数列新定义问题（本大题共11小题）

40.（17分）

若数列｛即｝满足:对任意九GN%n>3）,总存在ij6N",使得即=丰j,i<n,j<九），则称

｛斯｝是融积数列.

（I）判断数列｛e2^｝是否为融积数列,并说明理由；

（2）若等差数列｛Qn｝是融积数列，求｛Q工的通项公式；

（3）若融积数列｛Q"单调递增.%=2々2=8,求使即=2123成立的n的最值.

41.已知数列加J和常数c存在以下关系：对WQOJSWN',当时，\p,-（\<£,则称。为仇｝的

极限，若数列EJ的极限是与1,则称数列｛〃.｝为“超极限数列”.已知数列｛凡｝满足

：4=〃2=I，4r.2=4+4卜也=—.nGN\

%+l

（I）写出｛4｝的前5项；

⑵证明：也｝为“超极限数列”;

（3）若〃eN«,S“=a；+W++q\从*邑，，S“中任取一项，求该项能被9整除的概率.

42.在•个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成•个新的数列，我们把这样的操作称为该

数列的一次“积扩充”.如：数列2,3经过笫一次“积扩充''后得到数列2,6,3；第二次“积扩充”后得到数

列2,12,6,18,3；….设数列1,2,4经过第〃次“积扩充”后所得数列的项数记为4,所有项的积记

为心.

（I）求人和？；

（2）求4和J

（3）求数列｛号的前〃项积

43.设数列A：%，生，…即（N22）.如果对小于〃（2OWN）的每个正整数人都有为<%，则称〃是

数列A的一个“G时刻”.记“G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合.

（1）对数列A：-2,2,・1,1,3,写出G（A）的所有元素；

（2）证明:若数列A中存在/使得对>4,则G（A）工0；

（3）证明:若数列A满足%-JS（n=2,3,…,N）,则G（A）的元素个数不小于即-生

44.（17分）

若项数为k（kEN\k>3）的有穷数列｛a〃｝满足：1<a,<a2<a3<-<且对任意的

LKiJEN\l<i<j<k）。/%或巴是数歹U｛a,J中的项，则称数列｛a"具有性质P.

（I）判断数列1,3412与数列2,4,8,16是否具有性质P,并说明理由；

（2）设数列｛Q"具有性质P@（i=1,2,…，k）是｛册｝中的任意一项，证明:"一定是｛七｝中的项；

（3）若数列｛。八｝具有性质P,证明:当攵>5时，数列｛Q"是等比数列.

45.已知序列史（外么），（&也），L,（q也），L,（凡也）（其中keN'）对应的数阵为：

定义：S/P）是序列。阵列中从a到4（2<々4〃）的经过各数和的最大值（每次经过的数只能往右或往下

移动），且S"P）=4+/v

（I）若P：（2,3）,（5,1）,求&（户）；

（2）已知序列P：（aS）,（c,d）和。:（c,d）,（a/），若〃，b,c,d四个数中最小的数为。或d,求

证：S?（P）4s2（〃）；

（3）请给出数对（8,11）,（2,5）,（11,16）,（11,11）,（6,4）组成的所有序列?中S$（P）的最小值,并说明

理由.

46.现定义:对于实数。也J若从之年,则称人是。和。的加比中项；若及Sac、则称〃是。和。的减比

中项.已知数列｛%｝满足％=1，%=1，且存在正数〃?，使而〃向是勺+2和勺的加比中项与减比中项.

(1)若%是4与%的等比中项，求〃?；

(2)数列低｝满足2=2,打=2,且机满足厢猛是七2和〃的减比中项.记数歹U｛广三T的前〃项

和为S”.

(i)求证：向瓦是巴和"+1的减比中项；

，尸

(ii)当〃?>1时，求证：S“<——.

m-｛

47.若数列也｝满足"㈤：""2=川4工0”N.),则称数列的｝具有性质M.

(I)若数列｛叫具有性质M，且q=l，4=2，%=3,求处的值；

(2)若二=3"-(-1)”,求证:数列也｝具有性质用；

⑶设各项都为正数的数列匕｝的前〃项和为%且4s”=(C.+1)2(〃GNJ,数列｛〃｝具有性质M,其

中4=G52=C2-1,4+出=%，若4>2025,求正整数4的最小值.

48.已知数列也｝满足：①％eN"S.是上｝的前〃项和：②对于V〃cN，从集合4=｛49,•,«｝中

不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数4,h2,

a(«w%i=12L,〃,/=l,2,L,&)；③4,仇，…，仇与％，生，…，4一起恰好组成数列

｛q｝：q=〃(iw〃4s”).

(1)求4,生的值.

(2)(i)求数列｛《,｝的通项公式；

(ii)对于数列｛4｝,若4=1,-^-=——+1,证明：当时，4,>2-.

%a”+i52\3y

49,给定正整数〃之4,数列A：4,4，LM”,其中4M2,qWN,,且“va2V<%.若数列

B:4也，…也满足：〃=4，包=qt,，=2,3,…，〃一1时，2=《_i+l或4=《+[-1,则称数列4为数列A的

“调节数列

(I)写出数列4136,7,8的所有调节数列B；

(2)若数列A满足通项q=2i(1<三〃)，将数列A的调节数列中的递增数列记为%氏L,/,数列

B*中的各项和为&(l<k<m),求机及所有5]+52++S,”的值；

(3)已知数列4满足：4=1,=2025,且A的所有调节数列是递增数列，求满足条件的A的个数.

50.(17分)

设集合M=｛Ma=.F-Kr£Zj£Z｝.对于数列｛〃〃｝,如果a£M(i=l,2,3,...),则称｛%｝为“平方差数列”.

(1)已知在数列伍〃｝中必=3,(〃+1)华〃加产1,求数列｛小｝的通项公式，并证明数列｛〃“｝是“平方差数列”；

(2)己知九=2",判断｛4｝是否为“平方差数列”，说明理由;

(3)已知数列｛0｝为“平方差数列"，求证:qqWM®=123,...).

参考答案

I.【答案】⑴见=2"-1；

（2）见详解；

（3）见详解.

【详解】⑴由题意得

.•也L纹=2（〃J,

%一叫=2"T（4—花），其中％=44=2,

〃川一22=。，即｛时「如“｝为常数列，

・•・〃—・

⑵对任意某行，不妨设%%,、％,且彳汕＞＞小，

,;,,|

则5=4+4++aln=（2-1）+12^-!）++（2--1）＞2-1,

考索另外的某行或列，不妨设《，心，，%，（记为（*））,且，＞刃＞＞.兀,

则5'=4+勺「.・・+%「（21-1）+（2,2-1）+..+（2川-1）,①

若（*）为行，则知彳，，九为互不相同的正整数，

不妨设彳＞，，则心/+1，

/.5*＜（2；|-1）+（2；|-1）+（271-2-1）++（27'-44-1）

=（2九+2'门+4-2A-44）-45

＜（271+,-1）-45＜（2''-I）-45＜S；

②若（*）为列，则该列与上述行恰存在一个交叉的相同格，

在S与S'中同时去掉这个相同数，对于剩余的各自44个数，

这88个数仍各不相同，类似（1〕进行考虑，知S与S'仍不相等，

综上所述，命题得证.

（3）对于任意互不相等的正整数i,j,k,t,不妨设

故知所有算术平均数的排序成为：

4+/14+%,生+%,4+4-2〜/%024+4025

222222

易知新数列的项数为C；o”，故〃4co”=2025X1012,

对V/iWC菰s，"wN,JAjeN,使得〃=C：+f,0WfWk-l,知［<攵<2025,

则S”为《，，4中任两项的算术平均数之和,

再加上与4，,，《的I个算术平均数之和,

2，2

k-it1(

乙1=1Z乙/=!

=?安(2一)+；3—)+殳(2一)

/i=1/4J=l

i+,i+,,+1

=Az!.(2-^-2)+1(2-l)+|-(2-r-2)

=伏+1-1)・2"+2'-网"+1)-/<(4+/)・2"<2025x2x2",

2

由于〃之c；,则与得产一八2〃wo，

,暮+7^<1+1+廊=1+后,

22

.•.S“<4050X2“历=2025x2?+而.

2.【答案】(1)见详解

(2)。=5—2)2向+〃+4

(3)不存在，理由见详解

【详解】(1)由已知S=q=1,

〃+1n

所以数列｛&｝为首项耳=1,公差1的等差数列.

n

2

(2)由(1)Sn=n,且〃22时，a”=S“-S"_]=/J一(〃一11=2〃-1,

〃=],4=1也符合,所以。”=2,"1

所以d=C；l+C；3+…+C](2〃-3)+C：(2〃-l),

所以N=C丁⑵L3)+…+C：3+C：1+C：⑵L1),

因为c：=C「，

所以2勿=《(2〃-2)+(3：3+-+(3丁(2〃-2)+2(2〃—1),

=(2〃—2)(2"-2)+4〃-2=(2〃-2)-2"+2,所以勿=(〃-1)2"+1,

记数列｛2｝的前项和为

则7；=02+1-22+…+(〃-1)2"+〃，

27；=0-22+1-23+---+(«-1)2^'+2«,

所以-7；=2?+2、…+2”-(〃-1)2”“-〃，

4(1-2,,~|)

_(〃一1)2"j=(2—〃)2"“—4—〃

1-2

所以(=QL2)2"T+〃+4.

(3)不存在，显然数列｛2｝为递增数列，

若存在正整数3工广，使得2也也成等差数列，不妨设s<r<r，

则2(1)2'+2=($-1)2'+1+(广一1)2r+1,

即(/—1)2川=(s-1)2'+(-1)2',

因为厂力+1,所以(厂一1)2'>(/+1-1)2'>(，-1)2“，显然("D*=(s-l)2r(rT)2,不成立,

所以数列｛%｝中不存在不同的三项构成等差数列.

3.【答案】(1)勺=2〃-9

(2)S”=(,?一4)2—16,当〃=4时，S.取得最小值

【详解】⑴解：设依｝的公差为d,由题意得二57即夕：；；5

ofl,+15a=-12(2q+5d=-4

解得％=-7,4=2,

所以｛4｝的通项公式为%=2〃-9；

(2)解：由(1)得工=4)=―8〃=(〃—4尸—16,

所以当〃=4时，S”取得最小值，最小值为-16.

4.【答案】(I)=2/7-13

(2)S.=(〃-6)2-36,最小值为-36

【详解】(1)QS”为等差数列｛3｝的前〃项和，%=1,54=-32.

4+6d=1

解得q=-11,d=2,

「•数列也」的通项公式%=TI+QL1)X2=2〃-13.

，l(，，V)22

(2)Sll=-\\n+~x2=n-\2n=(n-6)-36.

，〃=6时，S”的最小值为-36.

5.【答案】⑴4=2TS.=2"—1

(2)160

【详解】(1)设{%}的公比为/4=1吗+1是见与(的等差中项，

.\2(1+^2)=<7+^\/.(^-2)(^2+1)=0,:.q=2,

Aa=2"-',=

n"1-2

(2)由题意知,log21/,=Sn,,

又4=2i,鼠=2-1，

r.k-\=r'-\»即上=2"‘，

故/1={4％=2"/£1<}.

又k)g2a”=〃_|,

「•4=(噫4+噫药++噫^)-(log2a2+log2a4+log2%+log2^16)-4

=(0+1+―+19)-(14-3+74-15)-4

=160.

6.【答案】(I)=3n-2

(2)是等比数列.2(8”7)

7

(3)V2-1

【详解】(1)设等差数列｛《,｝的首项为华公差为d，

因为%=7,4,4生成等差数列，

_4+2d=7fa=1

所以|2(4+4d)=(4+3d)+4(4+d)，解得[=3，

所以%=3〃-2.

(2)因为24=2=2，—=2<4-,­£,"=23=8,

2"”

所以｛2"“｝是以2为首项，8为公比的等比数列，

所以数列｛24｝的前〃项和为2(T")=2(8"-1).

1—87

⑶因为log/”=(m0<q<3所以d'=者券=/，

因为VA亡N',11〃亡N',4-d"一"HI+dk+2，

所以4一4一4=1一夕一夕2=</"(〃?=，z-l,〃?eN),

当〃?=。时，乡无解；

当〃7=1时，解得q=-1或。=-0-1(舍去)；

当"1N2(〃?£N)时，"q-q2=q",即。"+/+q=l(*),

令/(4)=/'+d+“，则/①)为关于4的单调递增函数，

因为Ovqvg,所以+(g)+9(3)+(g)+g_]，

所以(*)无解，

所以^的取值为&-1,

进一步得，当彳=夜-1时，对任意的正整数3

4一4+|-4+2=4(1_q_q)=4q=4"，

满足：V^GN\3^+IGN：4—=4讨+4+2，

所以4的所有取值是亚-1.

7.【答案】(I)4=2〃-1

(2)-19

【详解】(1)由｛jq｝是首项和公差为1的等差数列，得q2=1+〃-1=〃，则S“=〃2,

nn

2

当〃22时，an=Stl-5„_,=ir-(/*-1)=2n-\r由;=；=1,得q=1满足上式，

所以数列｛%｝的通项公式4=2/2-1.

(2)由(1)得2"-5(2〃-1),则优.一2-[2"+|-5(2〃+1)]-[2"-5(2〃-1)]一2"-10,

当〃K3,时，%〈逐,当〃24,〃GN'时，当|>如

所以当〃=4时，2的最小值为％=79.

8.【答案】（1）见详解，。”=2向+1

4,、

：（2"-l）,〃=2k,kwN,

⑵S.,

2吟7』,7

-----------,〃=2k-1,kwN.

3

【详解】⑴解：因为…f所以％T=23T，又…4,所以”=2,

所以｛《-1｝是以4为首项，2为公比的等比数歹U.

故6-1=4x21,即。“=2叫1.

（2）解：由（1）得2=（一1卢（2川+1）,

2向+1,〃=2攵，攵eN”

则2=>

一（2'向+1）,〃=2左一1,攵£押*，

①当〃=时，

234z,rt+,

5rt=（-2-l）+（24-l）-（24-l）+...+（-2-]）+（2+l）

4,、

=-22+23-24+25+-2"+2"i=2?+24++2"=§（2"-1）;

②当〃=2k-lMwN•时,

S“=S,m—/、=去2,山—1）—（2川+Q=_r±Z

综上所述，工二2"+2,■>

—『,n=2k-l,kwM

9.【答案】（1）〃“=2〃+1

（2）2<-24

q~+2。1-3

【详解】（1）〃=1时，q=Si=,解得q=T或4=3,因为4,>0,所以q=3,

4

―4；+2%-3a；i+2q1-3

〃22时，a-S-S“7,得3+4T）（4-%-2）=0,

nn44

因为可+q1>0，所以4一4_1=2，乂4=3,

故数列｛%｝是首项为3,公差为2的等差数列,

所以数列｛〃”｝的通项公式为q=2/2+1；

。”+1，〃为奇数所以小:嘤慧,

（2）解法一：由〃=（”

,〃为偶数'4/2+4,也为偶数

当〃为偶数时，

[=4+4+4++%+〃=（«地++“一3+/=）+（包+用+・+2・2+2）

=[-2+（-2）++（-2）+（-2）]+[12+20++（4〃-4）+（而+4）]

n

（12+4/z+4）x-

=（-2）x—+--------------------=-=tv+3〃'

22

当〃为奇数时，

i=（〃+l『+3（〃+l）-[4（〃+l）+4]=〃2+〃—.

H、|丁”+〃_4,〃为奇数

所以4=42o*AH的，

上/+3〃,〃为偶数

因为对任意的〃wN"，（Nl（）〃+Z成立，

所以，当〃为奇数时，即〃2+,?—4之10"+/1，所以241-9〃—4，

不等号的右边可看作关于〃的二次函数，对称轴为〃=-9=4・5，

因为〃为奇数，所以〃=5时，（/一9〃一4）而「一24,则/_24

当"为偶数时，n2+3«>10n+A>所以几《/一7〃，

同理可得，因为〃为偶数，所以〃=4时，（1-7,?）=-12,fflZ<-I2,

\/min

综上，2<-24.

6一矶，〃为奇数

解法二:由

〃为偶数

当〃为偶数时,

4=4+8+4++%+2

二(4-%)+(生+%)+(%-4)+••+(《1-4)+(为+%)

=〔4+(/+%)++(4+4+J]+[(一出)+(6-/)++(%-4)]

=S“+|+(-5)+(-2)X肉一=+3”.

当〃为奇数时，

<=1向-".|=7；“-々”=(〃+1)2+35+1)-[4(〃+1)+4]=〃2+/7-4,

/r+/1-4,〃为奇数

所以1=（下同解法一）

n2+3//,〃为偶数

解法三：因为对任意的〃wN'，北之10"+%成立,

则即求（-10〃的最小值，令C“=7；-IO〃，

当〃为奇数时，Cw+1-C„=7；l+l-7；1-l0=^1-10=4n-2>0

则C+i>C,，所以G最小值一定在〃为奇数时取到，

当〃为奇数时，C+2-C=&2-G-20=%+々.「20

=%+2一q+3+4+1+『2・20=4〃-14,

当"N4时，C.+2>C”,当〃43时，Cn+2<C„,

所以当〃为奇数时，c,>c5>c5,c5<c?<q<,

则3的最小值为G=T$-50=瓦+瓦++^5-50=-24,

所以於-24.

10.【答案】(1)%=2〃-1；%=2"7

（2）证明见解析

（3）（0,73）

【详解】（1）设等差数列伍“｝的公差为"，已知外=3,%+6=14,根据等差数列通项公式可得:

q+d=3fq+d=3

<，即.

q+2d+q+4d=14[2^+6J=14

由4+d=3可得4=3—d,将其代入2q+6d=14得：2（3-〃）+64=14,

解得1=2.把〃=2代入q=3-〃得4=3-2=1.

所以。“=1+2(〃-1)=2〃-1.

当2=1时，"+1=S"+1①,

当〃之2时，”=Sz+l②.

①-②得：bn^-b,=Sn-Sn_}=bnt即/〜=2"。亚2).

当〃=1时，A=Si+l=*+l,又4=24，所以纥=々+1,解得乙=1.

所以数列协”｝是以1为首项，2为公比的等比数列，则勿=2"，

(2)己知%=""+：=不―二；口、》,将其变形为：

的N%(2〃-1乂2〃+1)・2

=____1__________]

—(2〃-1).2”7-(2〃+1〉2”，

则％=G+G++G

)+J——

Ux2°3x2'JUx2'5x22,)(2〃+I>2"

(2〃+l>2"

因为〃wN「所以。二、则

1

又&1-⑵?+3).2〃

(2〃+l>2"

_]__________]_2(2〃+3)-(2〃+1)_2〃+5

"(2«+l)-2M-(2/?+3)-2M+,-(2〃+1)(2〃+3>2向―(2〃+1)(2〃+3)2出

所以⑺』单调递增，(之7；=1-3=：.

3x26

综上,:工1<1,

o

44

⑶当4=时，%=_§s“+l③，

4

当〃之2时，2=-§S”_i+l④.

441

③-④得：心「勿=一5⑸一5")=一]2，^bll+i=--btl(n>2).

44141，1\

当〃=1时，优=—QS]+1=+1,又匕2=-『|，所以一,4+1=，解得4=1.所以a=—I

33333

当〃22时,4=4+@-4)+(4-—2)+…+(4・)

当〃=1时，4=〃也满足上式.

当〃为奇数时，<,=;/-单调递减，4七〃一5,〃

当〃为偶数时，4=4-4(1+击)

单调递增，—

因为对任意正整数仃(谆力，14-"/<1恒成立，所以〃-今］

<i,即£<i,又〃>。，解得

3

0<//<6.

所以，实数〃的取值范围是(0.6).

11.【答案】(1)见详解；

(2)(i)7>(〃-2)2田+〃+4；(ii)K,=(〃2+〃-2)2""+2〃+4.

【详解】(1)由1=：=1,痴%=〃(邑讨-5.)=3+/+〃，则/电“=(〃+1电+〃(〃+1),

ccQ

所以壬一%=],故一是首项、公差均为1的等差数列；

/?+1nn

(2)(i)由(1)得以=〃n&=〃2,

n

22

当〃N2时,=Sn-S,“=n-(/i-l)=2/i-l,

显然4=1满足，所以勺=2〃-1,

所以a=C；-1+C>3++C7♦(2〃-3)+C：・(2〃-l),

又C：=C：r,i£N,“£NF«〃，

所以24=C(2/L2)+C：⑵?—2)++C：T(2〃—2)+2(2〃—1)=(2〃-2)(C：+C：++C；-')+2(2;«-l)

=(2〃-2)2'+2,

所以a=(〃-»2"+l,

若数列也｝的前〃项和为小

则7；=0-2'+1-22+.+(//-l)-2rt-z?,27；=0-22+1-23+...+(n-l)-2ff+,+2n,

所以一天=22+23+…+2”_(〃_1>2向—，7=4(；-；|)_5_1).2旬_〃=Q—〃)(.一4一明

所以］二(〃-2)2川+〃+4；

,,wf2+2

(ii)当，2〃+2时，/?.+/?.=(/-l).2+(j-l)-2+2>(«+l)-2+2>nr+2,与伪+%<〃・22+2矛

盾,所以JV〃+1,

当加〃时,4+*%+2=5-2).21+5-1).2"+213〃.2入+2,与/+与知疗+2矛盾,所以

八〃+1，

综上」=〃+1,jitW3/z-Z1-1+2<2?4-Z?.=(/-1)•2;+/?-2n+,4-2<w-2,,+2+2,

所以一小2"7<«-1).2'<〃-2"”，可得1W〃，即，=1,2,…

所以％=也+〃用也+加，也则K“=〃+be+a+〃“+.,+〃+〃加

=7；+〃27=(〃-2A2向+〃+4+/.+〃=(〃2+〃-2)2""+2〃+4・

12.【答案】见详解

【详解】【解】⑴第一步:当片1时，计算⑶

当〃=1时,3=2..........................................................................................................................1分

第二步:当论2时,得出递推关系

当n>2时,0+2a2+…+(〃-l)an-i=(»2)x2"+2①,

又〃1+2俏+...+〃〃”=(〃-1)x2"+1+2②.

②•①得〃斯=(〃-1)x2"+i+2-(〃-2)x2'-2=〃・2”，

所以如二2"(〃22)........................................................................................................................3分

第三步:检验〃=1时满足关系式

当72=1时,0=2满足斯=2",

第川步:求得数列通项公式

n

所以an=2................................................................................................................................6分

(2)笫一步:计算数列｛儿｝的通项公式

由⑴可得4,=2”.

所以bn=.........................................................9分

第二步:裂项相消法求和

则S产6+〃2+加+…+小

二岛-六)+岛~册)+岛-六)+…+岛-F^7)

=1---12分

2n+1-l..........................................................................................

所以数列｛瓦｝的前〃项和S=\--^—...................................................................................13分

n/"FA—1

13.【答案】(1)见详解

(2)2"+3〃

【详解】(1)因为£二是1-S”与S用的等差中项，所以267=1-S“+SW

所以S.=l+S〃+「2疯二=(£7-1『，

因为数列｛%｝的各项均为正数，所以S“>0,

所以=Js“+]—1,所以Js..i-=1»

所以数列｛6;｝是公差为1,首项为质=向=1的等差数歹h

（2）因为数列｛底｝是公差为1,首项为店=1的等差数列,

所以疯=l+（〃T）xl=〃，

所以S”=//,当〃=1时，41=1,

当〃22时，q,=S“—S“T="—（〃_i）2=2〃—l,

所以为=2〃-1,

所以“=(T)”・(S.十4),

&=一$-%+邑+-S3-4+S,+%++S2n+。2n

_56/

=(S2-51)+(54-S3)++(52n2n-l)~(l-^2+----%〃)

=%+q+•・+%,一(4-4+・%”)

=一(4+生+・，+%”_J+2(%+4+,・+%J

=_必+%7)+2X〃(%+%“)

22

〃(1+4〃-3)2〃(3+4/?-1)

22

（2〃-1）十〃（4〃+2）二2，/十3〃

14.【答案】（1）%=2〃-1

（2）-20，

43

【详解】（1）因为-可，可讨是关于％的方程/-2x-a=0的两个根,

所以一%=2.

所以数列｛q｝是一个首项为1，公差为2的等差数歹U.

因比%=1+（〃-1）x2=2〃-1.

（2）由（1）知凡=2〃-1,对于方程/-2.1-2=0,

由韦达定理得=",即d=（2〃—。（2〃+1）.

所以％=1+(—)'%=西二急而+(一1)”(2〃—1)

(-1广(2〃-1)+

所以S?=(T+3)+(-5+7)+••+(-374-39)-41+fl+-——-1

>I3354143J

=2x10-41+fl--1=-20—

I43J43

15.【答案】（1）证明见解析;

(9)T=---

“"4(〃+1).

【详解】）数列｛%｝中，《=；,。向=蜡打，则为工。I1c

3,---=一+2,

凡41凡

所以数列一是以一二2为首项，公差为2的等差数列.

(2)由(1)知，—=2+(/?-l)-2=2/z,则〃=4，I)=-L.1=1(-一一

an2〃2〃2(〃+1)4n〃+1

所以数列也｝的前〃项和<二夕(ig)+WT)+WT)++(：一・)]=公正

f44J，frcflTl»1

16.【答案】(1)见详解，〃=3"

(2)3409

【详解】(1)由4”=100。；，4=100,得%>0,则lga““=31g%+2,

即lga“+i+l=3(lg4+l),又，=lga”+l,于是%=3〃,而。=