2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考【测试范围：徐州专用苏科版第1章】（全解全析）

八年级上学期第一次月考数学试卷（徐州专用）

全解全析

（考试时间：90分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生多•必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：苏科版2024人年级上册第1章。

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.分别用下列各组的三根细棒来围三角形，能围成三角形的是（）

A.2cm,3cm,5cmB.6cm,6cm,6cm

C.5cm,7cm,13cmD.15cm,8cm,23cm

【答案】B

【知识点】构成三角形的条件、三角形三边关系的应用

【分析】本题考查的是三角形的三边关系，根据三角形的三边关系判断即可.

【详解】解:A、・・・2+3=5,・••长为2cm,3cm,5cm的三根细棒不能围成三角形,故本选项不符合题意;

8、・・・6+6>6,・,・长为6011,6011,6^^的三根细棒能围成三角形，故本选项符合题意；

C、・・・5+7<13,，长为5cm,7cm,l3cm的三根细棒不能围成三角形，故本选项不符合题意；

D、•・•15+8=23,・••长为15cm,8cm,23cm的三根细棒不能围成三角形，故本选项不符合题意：

故选：B.

2.如图，下面是三位同学的折纸示意图，则力。依次是△48C的（）

A.中线、角平分线、高线B.高线、中线、角平分线

C.角平分线、高线、中线D.角平分线、中线、高线

【答案】C

【知识点】画三角形的高、折叠问题、三角形角平分线的定义

【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，轴对称的性质等知识点，熟知三角形角平分线、中

线和高线的定义是解题的关键.根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求

解.

【详解】解：由图①的折叠方式可知，=,

所以是△力8c的角平分线.

由图②的折叠方式可知，NADB=N4DB',

因为Z.ADB+ZADB1=180°,

所以NADB=NADB'=90°,

所以,

所以4。是MB。的高线.

由图③的折叠方式可知，BD=CD,

所以4。是△48。的中线.

故选：C.

2

3.如图，在中，D,E,歹分别是4C,AD,CE的中点，S4fiC=8cm,则阴影部分痔的面

积等于（）

A.1cmB.2cm2C.4cm2D.8cm2

【答案】B

【知识点】根据三角形中线求面积

【分析】本题主要考查了三角形的面枳，三角形中线的性质等知识点，根据三角形的中线把三角形分成两

个面积相等的三角形，即可得出结果，熟练掌握三角形中线把三角形分成面枳相等的两个三角形是解决此

题的关键.

【详解】解：•・•£是力。的中点，S=8cm2,

••&48E=34/8n»S"CE=5Sds»

=+S/e）=；S/8C=；x8=4（cm」）,

,•S“8£+S&ACE=5S“80+5SRACD

•**S4CBE~不S“8c=4卜"）,

•・•尸是CE的中点,

,S.FBE=IS"8c=；x4=2（cm，）,

乙乙

故选:B.

4.如图，点E在川9上，力。与。E相交于点户，△ABgADEC,ZA=20°,N8=650,则N/W力的度数为

）

A.70B.85°C.95°D.110

【答案】A

【知识点】三角形的外角的定义及性质、仝等三角形的性质、等边对等角

【分析】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应边

相等、对应角相等是解题的关键.根据全等三角形的性质得到NDEC=N8=65°，CE=CB,得到

/C£B=N8=650，根据平角的定义可求/力科，根据三角形的外角性质计算，得到答案.

【详解】解：/8=65°，

/./.DEC=N8=65°，CE=CB,

ZCEB=NB=65°，

...NAEF=180°-650-65"=50，

•・•ZA=20°,

/.Z.DFA=ZJ+Z.AEF=20,+50=70",

故选：A.

5.如图，在△4?C中，AB=AC,BD=DC,4）的延长线交8c于点£,下列结论错误的是（）

故选项D正确，不符合题意：

根据已知条件无法判定AD=IDE,

..・选项C错误，符合题意.

故选：C.

6.数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏.游戏规则是：两人轮流对△力8c及的对应边或

对应角添加一如等量条件（点4分别是点力，B,。的对应点），某轮添加条件后,若能判定△力〃。与

△AB9全等,则当轮添加条件者失败，另一人获胜.

行动者添加条件

AB=A'B'=2cm

4=NH=35°

上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法不正确的是（）

A.若第3轮甲添加NC=NC'=45。,则甲获胜

B.若第3轮甲添加8c=8'。'=女》1,则甲必胜

C.若第2轮乙添加条件修改为乙4=4'=90。，则乙必胜

D.若第2轮乙添加条件修改为4C="C'=3cm,则此游戏最多4轮必分胜负

【答案】A

【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解.

【详解】解：A、若第3轮甲添加NC=NC'=45。，可根据角角边判定△/BC与AH*C全等，则乙获胜，

故本选项的说法错误；

B、若第3轮中添加8C=8c'=3‘m,满足边边角，不能判定△/BC与全等，则中获胜，故本选项

的说法正确；

C、若第2轮乙添加条件修改为N4=4=90。，

若第3轮甲添加•边相等，可根据边角边或斜边直角边判定△/SC与全等，则乙获胜，

若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定△/8c与全等，则乙获胜，

故乙必胜，故本选项的说法正确；

D、若第2轮乙添加条件修改为8C="U=3cm,第3轮甲只能添加/力=N/f或NC=NC'其中之一，此时

己有边边角，无论第4轮乙添加对应边相等还是对应角相等，都会有边边边或角角边或角边角来判定出全

等，则乙必输，甲必胜.所以最多4轮必分胜负，故本选项的说法正确.

故选：A.

7.如图，在△/1AC中，平分DE1AB,DFJ.AC,E、尸为垂足，则下列四个结论：①

DE=DF；®AE=AFx③“。垂直平分£/；④所垂直平分ZD.其中，正确的个数是()

A.4B.3

【答案】B

【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、角平分线的性质定理、线段垂宜平分线的

判定

【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，角平分线的性质，先利用角

平分线的性质可判定①，证明△力OF(AAS)可判断②，利用线段的垂直平分线的判定可判定③④，从

而可得答案.

【详解】解析：平分/84C,DE1AB,DF1AC.E、F为垂足，

：.DE=DF,故①正确：

•.•力。平分/氏4C,

NE4D=NH4D,

NEAD=/FAD,

在MDE与AADF中,/AED=NAFD,

AD=AD,

：.AE=AF,故②正确;

vAE=AF,DE=DF,

.•J。垂直平分七尸，故③正确：

AE与DE,”'与O/7不•定相等，

二.M不一定垂直平分AD,故④借误;

综上所述，①②③共3个正确.

故答案为：B.

8.如图，RtZ\/4C中，乙4c8=90。，/力4C=3()。，AC=6t。是线段4?上一个动点，以BD为边在MBC

外作等边△8QE.若尸是OE的中点，当W取最小值时，ABOE的周长为()

A.12B.16C.18D.20

【答案】C

【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质

【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、垂线段最短等知区.连接s尸，过

点C作CHLBF,交8厂的延长线于“，4B和C〃交于点G,当点尸与点〃重合时，6取最小值，根据“在

角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得AB=\2,再证明“CG是等边三角形，进而可得BG

的值，然后计算力E的周长即可.

【详解】解：如下图，连接引、过点。作交8厂的延长线于〃，4B和CH交『点G,

是等边三角形，点尸是OE的中点，

AZABF=30°,

J点尸在射线8尸上运动，

当点尸与点，重合时，b取最小值，此时点。、G重合,

•:AACB=90°,ZABC=30。，

ZJ=900-ZABC=60°,AB=2AC=\2,

VZ.ABF=30°,

.•・2BGH=N4GC=90°-NABF=60°,

•••△/1CG是等边三角形,

・•・AG=AC=6,

8G=AB-AG=\2-6=6,

/.△比应的周长为3x6=18.

故选：C.

二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

9.桥梁折杆、电视塔架底座等都有三角形结构,这样设计的数学原理是利用了二角形的.

【答案】稳定性

【知识点】三角形的稳定性及应用

【分析】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，根据三角形的稳定性作答即可.

【详解】解：桥梁拉杆、电视塔架底座等都有三角形结构，这样设计的数学原理是利用了三角形的稳定性,

故答案为：稳定性.

10.己知△45cM△。底尸，△/水?的周长为3()cm,如果45=5cni,EF=12cm,AC=cm.

【答案】13

【知识点】全等三角形的性质

【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键.根据全等三角形

对应边相等，可得5C=E/=12cm,再根据三角形的周长公式即可求解.

【详解】解：♦:丛ABC义丛DEF、

・•・BC=EF=i2cm,

:△/IBC的周长为30cm,

，AC+AB+BC=30cm,

又；AB=5cm,

AJC=30-5-12=13cm.

故答案为：13.

H.如图，&BC=/DCB,只需补充条件,就可以根据“44S”得到△力8c名△/».

【答案】Z4=ZD

【知识点】用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)

【分析】此题考查三角形全等的判定定理，根据已知条件确定一个角和一组公共边相等，利用X4S添加条

件即可.

【详解】解：补充条件N4=N。，

•：/ABC=NDCB,BC=CB4=ZD,

:sABC%DCB(AAS).

故答案为4=/O.

12.在△力8c中，AC=6,AB=\0,则△48。的中线取值范围是

【答案】2<AD<S

【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型（全等三角形的辅助线

问题）

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边不等关系，证明三角形全等是解题的关键.延

长到R使。b=力。，连接斯，则易证明丝△必。，有BF=AC=6：利用三角形三边不等关系

得10-6<力尸<10+6,由此即可求得中线/。取值范围.

【详解】解：如图，延长/O到人使。户=/O.连接“户，

KOAF=2AD；

为的中线,

/.CD=BD；

•・•Z.ADC=4FDB,

.•・△ACOg△必。(SAS),

・•・BF=AC=6：

在二ABF中，由三角形三边不等关系得AB-BF<AF<AB+BF,

BP10-6</lF<l()+6,

/.4<2JD<16,

，2〈力。v8.

故答案为：2vXOv8.

13.如图，△Z8C中，ZJC5=90°,AC=BC,。为平面上一点，AD1DCt若。。=6,则△8CO的面

积为.

【答案】18

【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)

【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形的面积公

式是解决问题的关键.

过点、B作BE1CD于点E,证明“CD和MBE全等得CD=BE=6,再根据三角形的面枳公式即“J'得出

△8CO的面积.

【详解，解：过点B作BE上CD于点E,如图所示：

•/AD1CD,BELCD,

ZADC=NCEB=90°,

ZJCD+ZCJD=90°,

/.ACAD=ZBCE,

在44。力和4。8石+，

NADC=NCEB=90。

<AC=BC,

Z.CAD=NBCE

l\ACDg△C4E（AAS）,

:.CD=BE=6,

.•.△8CO的面积为：1cO8£=1x6x6=18.

22

故答案为：18.

14.如图，力。是△/18C的高，4D=BD=8,E是力。上的一点，BE=AC,AE=2,的延长线交力。于点

F,则CD的长为.

【答案】6

【知识点】全等的性质和HL综合(HL)

【分析】证明Rt△力C。出RS8EZ)(HL),由全等三角形的性质得CO=EO=4OdE=6.

【详解】解：・・・力。是。的高，

C.ADLBC,

:・NEDC=/BDE=9。。,

[AD=BD

，在R£4CO和口38£。中〈s„,

AC=BnE

：,RtAJCD空△RtABED(HL),

:.CD=ED=AD-AE=8-2=6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质.掌握证明三角形全等的条件是解题的

关键.

15.如图，在四边形/138中，点£在6c上且刚好落在*6垂直平分线上，点广是。。中点,

EF工AF,已知力。=4,BE=7,则CE=

【答案】3

【知识点】根据平行线的性质求角的度数、全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、线段垂直

平分线的性质

【分析】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质.

通过延长”构造全等三角形，利用平行线性质和中点条件证回知GCA转化线段力。为CG,结合

EF1AF及AF=FG,得垂直平分力G,推出力E=GE,最后计算C£.

【详解】解：连接ZE，并延长AF交BC延长线于G,

因为4Z)〃8C,

所以ND4Q=/G,

又F是CO中点，

即DF=CF,

且乙4FD=NGFC,

.・./O/^AGCRAAS)

则NO=CG=4,

点E在AB垂直平分线上，

故AE=BE=7,

由EF1AF,尸是/G中点,

得AE=GE=7,

所以CE=GE-CG=7-4=3.

故答案为：3.

16.在上△"。中，ZC=90°,乙1=30。，48=8,若点。在直线4?上，/8。。=30。，则80的长为.

【答案】2或4

【知识点】直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长

【分析】本题考查了含30。角的直角三角形的性质，直舛三角形两锐角互余，等角对等边.分为点。在线段

力8上和。在线段48的延长线上两种情况，利用直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半即可求

得8Q的长度.

【详解】解：・.・/。=90。，4=30°,

Z.CBA=60°,BC=—AB=-x8=4,

22

①点0在线段48上，

VZQCB=30°,ZCBA=60°,

.・.ZC05=90°,

・•・8。=；8c=2；

②点已在线段48的延长线上,

VZQC^=30°,484=60。，

・•・ZCQ5=30°,

Q]B=BC=4,

综上，台。的长为2或4.

故答案为：2或4.

17.如图，点尸是N/O4的角平分线。。上一点，PNLOB于点N,点、M是线段ON上一点、,已知。"=3,

ON=4,点、D为OA上一点、,若满足=则。。的长度为.

A

【答案】3或5

【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理

【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，理解和掌握角平分线的性质，直

角三角形全等的判定和性质是解题的关键.

如图所示（见详解），点。为二一点，若满足尸D=则有点4或点4,根据直角三角形全等的判

定，即可求解.

【详解】解:如图所示,

过点尸作PEJ.O4,

•・•点P是/404的角平分线OC上一点，PN108于点N,点口是线段ON上一点，且。W=3,ON=4,

:,PE=PN,且PE=PN,OP为公共边，

・•・在中，△OPNdOPE（HL）,

・•・ON=OE=4,

若PR=PM,PE=PN,

.・.RtAPW^RtAPED/HL),

:.MN=ED、=ON-OM=4-3=\,

：.0D、=0M=OE-ED\=4T=3；

若PD?=PM,PE=PN,

：.RtAPWRtAPED2(HL),

:.MN=ED?=ON-OM=4-3=1,

：,OD2=OE+ED2=4+\=5.

故。。的长度为3或5.

故答案为：3或5.

18.如图，在四边形/18C。中，ZJBC=90°,BD=BC,NCAD=2/ACB,BE±AC于点、E,BD交AC

于点尸，若力C-4)=4,BE=5，求S4BFC—S&ADF=-

【答案】10

【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角

形的性质和判定

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，合理构造全等三角形是本题解题的关键.

延长。4cB交「，点G,在力C上截取C，=/O,连接8”,先根据三角形内角和得出NG=4Cff,然后根

据三角形仝等得出〃G-9C,从而得到〃G-QD,所以44。4-NG,然后证明△反“和△AZM仝等，从而

求得力〃，最后根据面积的差补求出两个三角形的面积差即可.

【详解】解：延长。4C8交于点G,在力。上截取。"=力。，连接4〃，如图：

/.NG4C=180°-2N4C8,

•••ZG4-ZGAC+ZACB=\80°,

ZG=ZACB,

在△力5G和△/BC中

/G=乙4cB

^ABG=ZABC=90°,

AB=AB

:^ABG^ABC{AASy

BC=BG,

•/BD=BC、

BG=BD»

/.ZG=4BDG,

/.NBDA=NACB,

在△4BD和AHBCM

AD=CH

,NADB=NHCB,

BD=BC

:.“DB/HCB(SAS),

-4,S&BCF~S^ADF

=(S&3CF+)-(S4CF+S^ABF)

—=s_Asam

=S^ABC~S^BCH

=；BE(AC-CH)

=^BE(AC-AD)

=-x5x4=10,

2

故答案为：10.

三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19.(本题8分)如图点4、B、C.。在同一条直线上，点£、尸分别在直线/位的两侧，且力E=BF,

4=N4,CE//DF.

⑴求证：MCE-BDF；

(2)求证：DE//CF.

E

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)

【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是关键.

(1)证明//。£=/8。尸，结合已知条件即可证明三/(AAS)；

(2)证明△产QC(SAS),WiJZEZ)C=ZFCZ),即可证明结论.

【详解】(1)证明：・・・CE〃。尸

ZECD=ZFDC

，AACE=4BDF

在△4CE和△〃八/中

Z=NB

</ACE=NBDF

AE=BF

AACE三A5DF(AAS)

(2)VLACE^LBDF

JCE=DF

CD=DC

在LECD和AFDC+,4ECD=ZFDC

EC=FD

・•・AECZ)^AFZ)C(SAS)

・•・2EDC=ZFCD

:.DE//CF

20.(本题8分)如图，在△/出。中，点。在月5上，点E在6。上，且BD=BE.

ft

BEC

(1)请你再添加一个条件，使得△BJig.BDC,并说明理由，你添加的条件是：依据是.

(2)根据你添加的条件,再写出图中的一对全等二角形,并说明理由.

【答案】(1)/BEA=/BDC,ASA(答案不唯一)

QMDFAAEFC、理由见解析

【知识点】用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)、添加条件使三角形全等(全等三角形的判

定综合)

【分析】本题考查添加条件证明三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键

(1)根据己知条件，在△3"和"OC中，己有一组对角和一组对边相等，仅需再添加一组对角相等即可

(也可添加"=8C)；

(2)由ABE/IGABDC得ND4F=NECF,AB=CB,进而可得/O=CE,即川证明△。日力gAEFC(AAS).

【详解】(1)解：添加的条件是=依据是ASA；

在△8E4和ABOC中，

NBEA=ABDC

BE=BD

=/B

..4〃£4/5£>C(ASA)；

故答案为：4BEA=/BDC,ASA；

(2)解：ADFA%EFC,理由如下：

LBEA^BDC,

：.£DAF=NECF,AB=CB.

BD=BE♦

：.4B-BD=CB-BE,BRAD=CE,

在和AMC中，

Z.DAF=Z.ECF

NDFA=/EFC

AD=CE

4DFJ^A£FC（AAS）.

21.（本题8分）小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：”在直角三角形中，30。角所

对的百角边是斜边的一半并进行了如下的探究,请完善小明的探究过程.

⑴结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证：

已知：.

求证：4C=»B；

（2）补全上述猜想的证明过程（先按要求用尺规作出辅助线，再接着完成证明过程）.

证明：作线段48的垂直平分线交AB于点、D,交BC于点、E,连接力£.（在下图中作图，并保留作图

痕迹）

【答案】⑴在△彳8c中,ZC=90°,4=30。；

（2）见解析.

【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、作垂线（尺规作

图）、写出一个命题的已知、求证及证明过程

【分析】本题主要考查了写出命题的已知求证、全等三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质、等边

对等角等知识点，掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键.

（1）根据题意写出对应命题的已知和求证即可；

（2）先作线段AB的垂直平分线OE，再由线段垂直平分线的性质得到力七=,进而得到N8=力上.=30。,

利用直角三角形两锐角互余推出=进而证明△力。七名△力CE（AAS）得至lj/o=*c,贝ij

AD=BD=AC,由此即可证明AC=；AB.

【详解】（1）解：已知:在△⑷?［中,ZC=90°,4=30°.

求证：AC=-AB.

2

故答案为：在ZUAC中，ZC=90°,4=30。.

（2）证明：如图：作线段的垂直平分线0E,殳AB于点、D,交BC于点、E,连接力后.

■:直线DE是线段AB的垂直平分线，

/.AE=BE,

/B=ZBAE,

•・•Z5=30°,

:.NBAE=300.

•••△48C中，ZC=90°,/8=30°,

・•・ZZ?JC=90o-ZZ?=60°.

工AEAC=ZBAC-/BAE=60°-30。=30°.

LBAE=NEAC.

VDE1AB,ZC=90°,

・・・N/Z)E=NC=90。.

在&ADE和△/(；£中，

NBAE=NEAC

-ZADE=ZC,

AE=AE

：.AADE^AJCE(AAS)

/.AD=AC.

•・•直线。E是线段AB的垂直平分爱，

AAD=BD=-AB.

2

,AC=-AB.

2

22.（本题8分）如图，在△ABC中，点£在43上，点。在8c上，AD、CE交于点F,且4D=CE/B4D=NBCE,

试判断△/内。的形状，并说明理由.

A

【答案】△/人?为等腰三角形，证明见解析

【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、根据等角对等边证明等腰三角形

【分析】先利用AAS证明△48。姿△C8E,可得力B=CB,可得的C=NBC4,再证明NE4C=NR7/1,从

而可得答案.

【详解】解：△力尸C为等腰三角形.理由如下：

NBAD-BCE

在△48。和△C8E中，，NB=NB,

AD=CE

ABDACBE(AAS),

:.AB=CB,

：./BAC=NBCA,

,?/BAD=Z.FCA,

・•・NBAC-NBAD=NBCA-Z.BCE,即ZFAC=ZFCA,

•♦.A4产C为等腰三角形

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，等腰三角形的判定，证明N"C=NRX是解本题的关键.

23.(本题10分)如图，△480与都是等边三角形，若BE与4c相交于点尸.

⑴求的度数；

(2)连接F。，求证：FQ平分N4FE.

ADE

【答案】(1)60°

（2）证明见解析

【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理、等边三角形的性质

【分析】（1）根据与ACQE都是等边三角形，证明“"冬4。七，进而可求的度数；

（2）连接尸0,作。G_L，C,DH1BE于点、G,〃，根据A/OCgASOE,可得/C=4E,根据全等三角

形的面积相等，底相等，可得高相等，再根据角平分线的判定即可得结论.

【详解】（1）解：•.•△力“。与都是等功匚角形.

/.AD=BD,DC=DE,ZBDA=ZCDE=60°,

ZADC=NBDE,

在△4OC和△BOE中，

AD=BD

-N4DC=NBDE,

DC=DE

：^ADC^BDE（SAS）,

：.NACD=ABED,

ZBFA=NFAE+NFEA=ZFAE+N4CQ=/CDE=60°：

（2）证明：连接产O,作。G_L/C,DH上BE「点、G,H,如图所示：

「JC=BE>S“DC=S^BDE»

:.-ACDG=-BEDH

22t

DG=DH,

:.FD平分N4FE.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形面枳公式及角平分线的判定，

解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质.

24.（本题12分）如图1和图2,△49C是边长为6的等边三角形，尸是力。边上一个动点，。是C8延长线

上一点,当点P从点片出发向终点C运动时，点。同时以与点尸相同的速度由点8沿射线C3方向运动，

过点尸作尸£_LA5于点E,连接户。交力8于点Q.

⑴过点P作PF//BC交48于点F,如图2,求证：△/力'是等边三角形；

(2)在点尸(不与点儿。重合时)与点。的运动过程中.

①嘉嘉说：”点。始终是线段尸。的中点.”你是否同意她的说法？说明理由；

②淇淇说：“线段OE的长度始终不变.”请你帮淇淇求出QE的长度：

⑶当/。。。=30。时，请直接写出4七的长.

【答案】(1)见解析

⑵①同意，理由见解析；②3

(3)1

【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、含30度角的直角三角形、等边三角形的性

质

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含30。角的直角三角形，解一元一次方

程，垂线的性质，平行线的判定，仝等三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的性质等知识点，合理

添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键.

(1)根据8c得到/月尸尸=/月8。=60。,/4。/=/。=60。，则N4=//Q=/力产产=6()。，即可证明；

(2)①过P点、作PF//BC,交AB于F,证明△008且△。尸产即可；

②由△008也△O/Y',得到。/，进而求得OE=£>b+产七=；4？=3：

(3)可得△。尸。，△力后。均为30。角直角三角形，设8。=力尸=x,CP=6-x,CQ=6+x,在AQPC中，

由3()。角直角三角形性质得到2(6-x)=6+x,求出x=2,在AAEP,再由30。角直角三角形性质求解即可.

【详解】(1)证明：如图,

•••△/8C是等边三角形

，ZJ5C=ZC=Z4=60°,

•・•PFHBC

・•.AAFP=AABC=60°,NAPF=ZC=60°,

/.NX=/AFP=/APF=60°,

二.AAPF是等■边—.角形：

(2)解：①同意她的说法，理由如下：如图,

一。BC

过P点作尸?〃。。，交月B于F,

,:PFHBC,

：.£DBQ=/DFP,

由(1)知“尸产是等边三角形，APEA.AB,

：.PF=AP=AF,EF=AE,

由题意得：4P=BQ,