2025-2026学年人教版八年级数学上册每日一练（第7周）

八年级数学每日一练（第7周）

星期一

1.（基础）（2023秋•那西县期中）如图，在△ABC中，△ABC的周长为26c〃?，NBAC=140。，AB+AC=

\4cm,AB.AC的垂直平分线分别交8c于E、F,与A3、AC分别交于点。、G.

求：（1）NE4b的度数；

（2）求AAE〃的周长.

2.（强化）已知：如图，NAOB=30。，点M,N分别是边04,08上的定点，点P,Q分别是边OB,OA

上的动点，记NMPQ=a,N尸QN=0.当M户+PQ+QN最小时，则（3-a为？

0PNB

星期二

3.（基础）2024秋•松滋市期中）如图，△A8C中，ADLBC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交8c于

点E,且8。=。£

（1）若N8A£=40。，求NC的度数;

（2）若△ABC周长13c?〃，AC=6cnh求QC长.

4.（强化）（2022秋•丰泽区校级期中）在等边△A8C中，点D和点E分别在边A8,BC上，以DE为边

向右作等边连接CR

（1）如图1，当点。和*A重合时，求N4CF的大小;

（2）如图2,点。是边A8的中点，求证：/FCE=NFEC.

星期三

5.（基础）在等边三角形ABC中，点力、E分别在边8C、4c上，且过点E作E凡LOE,交BC

的延长线于点F.

（1）求Nb的度数：

（2）若。。=4,求。尸的长.

6.（强化）（2022秋•来凤县校级期中）已知，△ABC为等边三角形，点。为AC上的一个动点，点七为

BC延长线上一点，且8力=。及

（1）如图1，若点。在边AC上，猜想线段A。与CE之间的关系，并说明理由；

（2）如图2,若点。在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由.

星期五

9.（基础）如图，在RSA8C中，ZACB=90°,ZB=30°,A。平分NCA艮

（1）求NCAD的度数；

（2）延长AC至E,使A£=A3,求证：DA=DE.

10.（强化）如图，AA8C是等边三角形，。是AC边上一动点（。不与A、C重合），E为8C边的延长

线上一动点，且在运动过程中始终保持CE=4Q,连接

（1）如图（1）,当点为AC边的中点时，试判断△8DE的形状，并证明你的结论;

（2）如图（2）,当点D为AC边上任一位置时，（1）中的结论是否成立，请加以证明.

图（2）

参考答案与试题解析

1.如图,在△ABC中，△ABC的周长为26cm,ZBAC=140°,AB+AC=I4cw,AB.AC的垂直平分线分

别交8C于E、F,与4B、AC分别交于点。、G.

求：（1）NE4/的度数；

（2）求AAE尸的周长.

【答案】（1）100°；

（2）12cm.

【分析】（1）根据三角形内角和定理求出N8+NC,根据线段垂直平分线的性侦得到E4=E8,FA=FC,

进而得到N£A8=NB,ZMC=ZC,计算即可：

（2）根据三角形的周长公式计算即可.

【解答】解：（1）VZBAC=140°,

.,.Z^+ZC=180°-140°=40°,

,/DE是A8的垂直平分线，

:・EA=EB,

：.ZEAB=ZB,

同理，FA=FC,

AZMC=ZC

：.ZEAF=ZBAC~(NE4B+/物C)=ZBAC~(NB+NC)=140。-40。=100。；

(2)••・△ABC的周长为26。〃，AB+AC=14cm,

.\BC=26-14=12Cem),

/.^AEF=EA+EF+FA=EB+EF+FC=BC=12Cem).

2.已知：如图，NAO8=30。，点M,N分别是边OA,08上的定点，点P,Q分别是边OB,。人上的动

点，记NMPQ=a,NPQN=S.当MP+PQ+QN最小时，则B-a=60。.

A

【分析】作M关于0B的对称点Af,N关于0A的对称点M,连接MN交。4于Q,交0B于P,则

MPfPQ十QN最小，物知乙OPM=NOPM'=NNPQ,/OQP=NAQN』/AQN,根据三角形的外角的性

质和平角的定义即可得到结论.

（解答］解：如图，作M关于0B的对称点M\N关于。人的对称点N,连接MN交CM于Q,交0B

于尸，则MP+PQ+QN最小，

11

・•・NOPM=NOPM'=NNPQ="M'PM,NOQP=NAQN'=NAQN=掾4NQN'

111

QPN=+乙M'PM=1(180。-NMPQ)(1800-a)

•・•/QPN=ZAOB+ZOQP

=NAOB+NAQN

=NAO8+鼻NQN'

=30。+：x(1800-p),

A-(180°-a)=30°+^x(180°-p),

A180°-a=60°+(180°-p),

Al80°-a=240°-p,

/.p-a=240°-180°,

.\p-a=60°,

故答案为60c.

3.如图，△ABC中，ADA.BC,垂直平分AC,交AC于点尸，交BC于点、E,且BD=DE.

(1)若NA4E=40。，求NC的度数；

(2)若△A8C周长13c〃?，AC=6cmf求。C长.

(2)3.5cm.

【分析】(1)根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE,求出NAEB和NC=NE4C,即

可得出答案;

(2)根据己知能推出2O£+2EC=7c/〃，即可得出答案.

【解答】解：(1)・.・A。垂直平分E〃垂直平分AC,

：,AB=AE=EC,

・・・NC=NCAE,

•・•NB4E=40。，

JZAED=70°,

.*.ZC=|ZAED=35°：

(2)：/XABC周长13c/〃，AC=6cin,

:・AB+BE+EC=7cm,

即2DE+2EC=7cm,

DE+EC=DC=3.5cm.

4.在等边△ABC中，点。和点E分别在边AB,8c上，以OE为边向右作等边△QEF,连接CE

(1)如图1，当点D和点A重合时，求NAC/的大小；

(2)如图2,点。是边A8的中点，求证：ZFCE=ZFEC.

A{D}A

【答案】（I）/AC"=60。；（2）见解析.

【分析】（1）证明△（SAS）,可得N/WC=NACr=60。；

（2）如图2中，连接CD,取BC的中点丁，连接07,FT.证明△8。£：04兀下（SAS）,可得结论.

【解答】（1）解：如图I中，

••.△ABC,AAEV都是等边三角形，

/.ZABC=ZBAC=ZEAF=60°,AB=AC,AE=AFt

即ZBAE+ZEAC=ZEAC+ZCAF,

：,ZBAE=ZCAF,

在484七和^CA”中，

AB=AC

Z.BAE=Z-CAF,

AE=AF

/.△fiAE^ACAF(SAS),

・•・N48C=NAC尸=60°；

(2)证明：如图2中，连接CO,取BC的中点r,连接。7，FT.

:・BD=BT,

VZB=60°,

是等边三角形,

•••△OE/是等边三角形，

，同法可证，△BDEBATDF（SAS）,

：.BE=FT,ZB=ZDTF=6Q°,

*/NBTD=60。,

・・・NFTC=N8=6()。，

•:BD=TC,/B=NFTC,BE=TF,

：.^BDE^ATCF(SAS),

,DE=CF,

,:EF=DE,

:,FE=FC,

/.ZFCE=ZFEC.

5.在等边三角形人8c中，点。、E分别在边BC、AC上，KDE//AB,过点E作七凡LOE,交BC的延长

线于点F.

（1）求//的度数；

（2）若CO=4,求。尸的氏.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据平行线的性质可得/EQC=N8=60。，根据三角形内角和定理即可求解;

（2）易证AEOC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解.

【解答】解：（1）•••△A6C是等边三角形，

・・・/4=60。，

'：DE//AB>

••・NEOC=N8=60。，

VEFlDE,

JZDEF=90°,

/.ZF=90u-ZhDC=30"；

(2)VZ/\CB=60°,ZEDC=60°,

.••△EOC是等边三角形.

:.ED=DC=4,

VZD£F=90°,/尸=30°,

：.DF=2DE=S.

6.已知，△ABC为等边三角形，点。为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且8。=。£

(1)如图1,若点。在边AC上，猜想线段A。与CE之间的关系，并说明理由；

(2)如图2,若点D在AC的延长线上，(1)中的结论是否成立，请说明理

【分析】(1)求出NE=NCOE,推出CO=CE,根据等腰三帝形性质求出AQ=。。，即可得出答案；解:

(1)AD=CE,理由：过。作。/〃A8交8c于6

(2)(1)中的结论仍成立，如图3,过点。作。尸〃8C,交A8的延长线于点尸，证明

得到PD=CE,即可得至ljAD=CE.

【解答】解：⑴AD=CE,

证明：如图1,过点。作。P/8C,交AB于点、P,

•••△48C是等边三角形，

・•・尸。也是等边三角形，

：.AP=PD=AD,ZAPD=ZABC=ZACB=ZPZ)C=60°,

":DB=DE,

:・/DBC=NDEC,

*：DP//BC,

:・/PDB=/CBD,

/PDB=/DEC,

又NBPD=NA+NADP=120。，ZDCE=ZA+ZABC=120°,

即N8PO=NOCE,

在△BP。和AOCE中，ZPDB=ZDEC,/BPD=/DCE,DB=DE,

:.XBPD乌丛DCE,

PD=CE,

：.AD=CEi

(2)如图3,过点。作。P〃BC,交AB的延长线于点P,

•••△AP。也是等边三角形，

：.AP=PD=AD,ZAPD=NABC=NACB=NPQ4=600,

•:DB=DE,

：.NDBC=/DEC,

■:DP//BC,

：,/PDB=/CBD,

：,ZPDB=ZDEC,

(Z.PDB=乙DEC

在aBPD和^QCE中,4P=乙DCE=60°,

(DB=DE

：,ABPDqADCE,

工PD=CE,

：.AD=CE.

B£

图1

7.如图，已知△ABC中，AB=AC,在AC上有一点。，延长8D,并在8。的延长线上取点E使AE=A8,

连接AE.

（1）作图：作NEAC的平分线A凡交DE于点、F,（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，连接C凡求证：ZABE=ZACF.

【答案】（1）图形见解析；

（2）见解析.

【分析】（1）根据题意画出图形即可；

（2）结合（1）和等腰三角形的性质，利用边角边证明△AE/WAACr即可得结论.

【解答】（1）解：如图所示：射线46即为N£AC的平分线4F；

（2）证明：连接CF,

9

：AB=AC,AE=ABf

：.AE=AC,NABE=/AEB,

在△£4尸和△CAr中，

AE=AC

/-EAF=N&4/，

AF=AF

：.XEAF出XCMF（SAS）,

NAEF=ZACF,

・•・ZABE=ZACF.

E

A

D：

8.如图，AABD和△8。均是边长为2的等边三角形，E、F分别是A。、CD上的两个动点，且满足

AE+CF=2.

（I）求证：△BDE乌ABCF；

（2）判断ABE尸的形状，并说明理由.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）利用菱形的性质和正三角形的特点进行证明;

（2）ABEF为正三角形,可解用（1）全等的结论证明：

【解答】证明：（1）•••△4双）和都为正三角形，

:.AB=AD=BC=CD=BD,

・•・四边形ABC。是菱形，

・•・NBDE=NBC尸=60。,BD=BC,

\'AE+DE=AD=2,而AE+C尸=2,

:.DE=CF,

:•△BDEmABCF（SAS）；

（2）,:4BDE@ABCF,

:・/DBE=/CBF,BE=BF,

NDBC=NDBF+NCBF=60。,

・•・/。8尸+/。8七=60。即NEBF=60°,

•••△8上五为正二角形；

9.如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,ZB=30°,A。平分NCAB.

（1）求NC4。的度数；

（2）延长4c至E,使AE=A3,求证：DA=DE.

【分析】（1）根据题意可知NC4B=60。，然后利用角平分线性质可求得答案；

（2）由题意可知三角形是等边三角形，然后在证明RM。。也RSQCE,即可求证.

【解答】解：（1）\•在RSABC中，NACB=90。，N8=30。，AD平分

・・・NCAB=60o=2xNCA。，

；・ZCAD=30°：

（2）连接得到三角形4跖，

•・•延长AC至E,使AE=/W,在Rs48。中，NACB=900,N8=300,

NE4B=60°,

・•・三角形ABE是等边三角形，

:,AC=CE,

，RSQCgRsDCE,

10.如图，ZkABC是等边二角形，D是AC边上一动点（。不与A、C'重合），七为8。边的延长线上一动点,

且在运动过程中始终保持CE=AZ）,