2025年高考数学试题分类汇编：概率与统计解析版

专题08概率与统计

•081

2025高考真题

一、单选题

1.（2025•全国二卷•高考真题）样本数据2,8,14,16,20的平均数为（）

A.8B.9C.12D.18

【答案】C

【分析】由平均数的计算公式即可求解.

【详解】样本数据2,8,1416,20的平均数为2+8+：+16+20-m=]2.

故选：C.

2.（2025・上海・高考真题）己知事件A、8相互独立，事件A发生的概率为P（A）=事件3发生的概率为

P（8）=g,则事件4cA发生的概率26八8）为（）

A."B.；c.yD.。

【答案】B

【分析】根据独立事件的概率公式可求户（AC8）.

【详解】因为AB相互独立，故尸（AcB）=P（A）尸（B）=gx；=（,

故选：B.

3.（2025・天津♦高考真题）下列说法中错误的是（）

A.若X~N3b2）,则尸（X4〃F）=尸（X2〃+b）

B.若X:^（1,22）,y・N（2.r）,则P（X<l）<P（y<2）

c.卜|越接近i,相关性越强

D.卜|越接近0,相关性越弱

【答案】B

【分析】根据正态分布以及相关系数的概念直接判断即可.

【详解】对于A,根据正态分布对称性可知，P（X«〃-b）=P（X之〃+b）,A说法正确；

对于B,根据正态分布对称性可知，P（X<l）=P（y<2）=0.5,B说法错误；

对于C和D,相关系数卜I越接近0,相关性越弱，越接近1,相关性越强，故C和D说法正确.

故选：B

二、填空题

（567、

4.（2025・上海・高考真题）已知随机变量X的分布为，则期望E[X]=.

【答案】6.3

【分析】根据分布列结合期望公式可求期望.

[详解]由题设有E[A]=5x0.2+6x03+7x0.5=1+1.8+3.5=63.

故答案为：6.3.

5.（2025・天津・高考真题）在（x-的展开式中，V项的系数为.

【答案】-20

【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可.

【详解】（x-1）6展开式的通项公式为二产•（-1）’，

当r=3时，7；=C>3（-1/=-20X\

即（工T『展开式中/的系数为-20.

故答案为：-20

6.（2025・上海・高考真题）在二项式（2x-1），的展开式中，/的系数为

【答案】80

【分析】利用通项公式求解可得.

【详解】由通项公式却=“2、工”.（-1），=C>（-1）"2j/，，

令5f=3,得广=2,

可得/项的系数为C；•（-1>・炉-2=80.

故答案为：80.

7.（2025・上海•高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是

家长，则不同的排列个数有种.

【答案】288

【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可.

【详解】先选两位家长排在首尾有咛=12种排法；再排对中的四人有P：=24种排法，

故有12x24=288种排法.

故答案为：288

8.（2025・北京•高考真题）已知（1一2x）4=《）一2q大+4。/2―8。3丁+16。4/，则%=；

q+。2+.

【答案】115

【分析】利用赋值法可求4,利用换元法结合赋值法可求4+%+%+%的值.

【详解】令*=0,贝IJ4=1,

4234

又（1一2x）=a0-2alx+4«2x-8a3x+16a4x,

-4

故（1-2.r）*=%+a]（-2x）+a2（-2A）+%-2x）"+a4（-2x）,

24

令t=-2x,贝！1（1+/）'=4+a/+a4++a4t,

令1=1,则劭+勾+生+%+久=2”,故4+%+4+《=15

故答案为：1/5.

9.（2025•天津•高考真题）小桐操场跑圈,一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5,

若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4,6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈

的概率为0.6,6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为；若一周至少跑11圈为动量达标,

则连续跑4周，记合格周数为X,则期望4幻=

【答案】0.63.2

【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解.

【详解】设小桐一周跑11圈为事件A,设第一次跑5圈为事件8,设第二次跑5圈为事件C,

则P（A）=P（8）P（C⑻+P（耳）P（C万）=O5x06+05x0.6=0.6；

若至少跑11圈为运动量达标为事件。，P（D）=P（4）+P（P（C|«）=0.6+0.5x0.4=0.8,

所以X-B（4,0.8）,E（X）=4x0.8=3.2；

故答案为：0.6；3.2

10.（2025.全国一卷.岛考真题）一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地

取三次，记至少取出一次的球的个数X,则数学期望E（X）=.

【答案】^1/2.44

【分析】法一：根据题意得到X的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得X的分布列，

从而求得E（X）；法二，根据题意假设随机变量Xj,利用对立事件与独立事件的概率公式求得夙毛），进而

利用数学期望的性质求得E（X）.

【详解】法—：依题意，X的可能取值为1、2、3,

总的选取可能数为5,=125,

其中X=l：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，

故p（X=l）=工」，

12525

X=2：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）,

选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，

其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件X=2的可能情况有5x4x3=60种,

故"=2）=瑞4

X=3：三种不同球被取出，

由排列数可知事件X=3的可能情有况5x4x3=60种,

故P-3）=瑞吟

所以E（X）=lxP（X=l）+2xP（X=2）+3xP（X=3）

=IXA+2XI2+3X12=61

125252525

故答案为：爱

法二：依题意，假设随机变量X,.,其中/♦=1,2,3,4,5：

1,这3次选取中,球，至少被取出一次

其中X=

。，这3次选取中，球1•一次都没被取出/=1

由于球的对称性，易知所有矶X』相等，

则由期望的线性性质，得ETX]=E=£E[X』=5七[X』,

.i-lJr-l

4

由题意可知，球i在单次抽取中未被取出的概率为二,

64

由于抽取独立，三次均未取出球，•的概率为P（X,=0）

125

因此球i至少被取出一次的概率为：P（X,=1）=1-卷64=哉61,

故"]喂，

JL

所以E[X]=5E[X,]=5x蒜啜.

故答案为：

三、解答题

11.（2025•全国一卷・高考真题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机

调查了1000A,得到如下列联表:

超声波检查结果组别正常不卫常合计

患该疾病20180200

未患该疾病78020800

合计8002001000

（1）加超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P,求P的估讦值；

⑵根据小概率值。=0.（）01的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.

“(ad-bu)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(x2..k)0.0050.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】呜9

（2）有关

【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；

（2）根据独立性检验的基本思想，求出然后与小概率值a=Q001对应的临界值10.828比较，即可判断.

【详解】（1）根据表格可知，检查结果不正常的200人中有180人患病，所以〃的估计值为察=2；

（2）零假设为“°：超声波检查结果与患病无关，

2_IOOOx(2Ox2O-78Oxl8O)2

根据表中数据可得,

=765,625>10.828=x0001>

800x200x80()x200

根据小概率值a=0.001的/独立性检验，我们推断从不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该

推断犯错误的概率不超过0.001.

12.（2025•上海•高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4xl（X）米混合泳接力金牌.以下是历届奥

运会男子4x100米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列.

206.78207.46207.95209.34209.35

210.68213.73214.84216.93216.93

⑴求这组数据的极差与中位数；

⑵从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；

（3）若比赛成绩'关于年份x的回归方程为），=-0.31lx+/；,年份X的平均数为2006,预测2028年冠军队的

成绩（精确到0.01秒）.

【答案】（1）10.5210.015；

⑶204.56

【分析】(D由最长与最短用时可得极差，由中间两数平均数可得中位数；

(2)由古典概型概率公式可得；

(3)先求成绩平均数再由(元刃在回归直线上，代入方程可得人再代入年份预测可得.

【详解】(1)由题意，数据的最大值为216.93,最小值为206.78,

则极差为216.93-206.78=10.15；

数据中间两数为209.35与210.78,

209.35+210.68

则中位数为=210.015.

~2~

故极差为10.15,中位数为210.015；

(2)由题意，数据共10个，211以上数据共有4个,

故设事件A="恰有2个数据在2II以上”，

3

则P(4)

C：。10

3

故恰有2个数据在2II以上的概率为-；

(3)由题意，成绩的平均数

206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.93

10

=211.399,

由直线y=-0.311工+方过(2006,211.399),

则=211.399+0.31lx2006=835.265，

故回归直线方程为)，=-0.3Ilx+835.265.

当“2028时,y=-0.311x2028+835.265=204.557«204.56.

故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒.

13.(2025・北京・高考真题)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级

学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生

该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为8(),乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相

互独立，用频率估计概率.

(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率〃

(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的

概率及X的数学期望；

(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知

识点，甲校学生选择正确的概率为100%,乙校学生选择正确的概率为85%.设甲、乙两校高一年级学生掌

握该知识点的概率估计值分别为A,判断8与P2的大小（结论不要求证明）.

4

【答案】（Dy

（2）0.35,E（X）=1.55

（3）0<P2

【分析】（1）用频率估计概率即可求解；

（2）利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及X的分布列，从而可求其

期望；

（3）根据题设可得关于四,〃2的方程，求出其解后可得它们的大小关系.

【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率〃=需=3.

（2）设A为“从甲校抽取1人做对"，则P（A）=0.8,P（4）=0.2,

设8为“从乙校抽取1人做对”，则P（3）=0.75,尸（同=0.25,

设C为“恰有1人做对%故尸传）二尸（A耳）+P（初）=P（A）P（可|+P（Z）P（B）=0.35

依题可知，X可取0』,2,

p（X=0）=P（Z8）=0.05,P（X=l）=0.35,P（X=2）=0.8x0.75=0.6,

故X的分布列如下表：

X012

P0.050.350.6

故E（X）=1x0.35+2x0.6=1.55.

（3）设。为“甲校掌握这个知识点的学生做该题”，

因为甲校掌握这个知识点则有1（X）%的概率做对该题目，

未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，

故P（O）+：（l—P（O））=0.8,即P1+；x（l_〃J=0.8,故Pi=£，

同理有，0.85p2+^x（l-p2）=0.75,故“2=3，

故P<P2・

14.（2025・全国二卷•高考真题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得。分.设每个球

甲胜的概率为乙胜的概率为％P+q=l,且各球的胜负相互独立，对正整数攵22,记外为

打完&个球后甲比乙至少多得2分的概率，/.为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率.

⑴求凸（用〃表示）.

⑵若△一"=4,求

夕4一名

（3）证明：对任意正整数〃?，〃2m+l一%*</%「%,”<〃2*2一名^2.

【答案】（1）〃3=〃"〃4=P，（4-3p）

2

（2）P=-

J

（3）证明过程见解析

【分析】（1）直接由二项分布概率计算公式即可求解；

（2）由题意%=",%=/（4—3q）,联立二•-4,p+q=l即可求解；

见一%

⑶首先P.-P27G-P-PzCHqm,同理有%

C

42m1"2=仁）+q"f作差有Pznt+l-%»MJ<Pim~hm»另一方面

Pln+2-Plm=（：：P""".〃一司”「J，且同理有%m+2一%m=P"'，作差能

加（〃?+1）!I2m+\）/«!（/«+1）!（2/7?-1）

得到0m一%,”V〃2吁2一%吁2，由此即可得证.

【详解】（1）P3为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场，

故所求为〃3=G（l—〃）°p3=p3,

〃4为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场，

故所求为区=C（l-〃）‘p3+Cl（l-p）°p1=4p3（l-p）+p4=p3（4-3p）：

（2）由（1）得P3=P，，氏=〃3（4-3〃），同理％=d,%=/（4-3q）,

若包工=4,p+q=i,

为一%

则—P3_/(4_30一/_3P3|J—j%_(〃y_4,

q3(4-3q)-/3/iJr)q'p[q

2

由于0<p过<1,所以p=2q=2(l-p)>。，解得〃=§；

⑶我们有

m-lm-1m-1*1吁1

P2n-P2mLZC,”/产"-户-方或〃2m

X=0i=0A=0A=0A=0

一Tjn-1m-lrn-l

=(1-p)£c：c-fcw=-ZC；，"W

1=0k=0*=0A=0

nt-Im—2

=LC2mPq>C2mpq=C2mpq.

hOno

以及

〃i吁1mm吁I

PZP…ZC[p2'"”-匕；/产+“=ZC篮"产"W+XCmM产+2-W

&=0x=0Jt=oA=0%=0

而m-\

、',小一1_2m+2-A.cm_/n+2m./1\\、,A2m-*-l-Ak

qqq

=\c2mxp+c2m+1p+(p-l)\C2m+iP

hoJt=o

斯-—I

c-I,?二州+2-£/+,c〃jM/n+2mr^k・、2阳+1-«/+l

=L2z«+i/q2W+1pq-\c2gpq

hok=Q

m-l"，一l

C、，.、?2吁1-太‘.XI,+△C〃r"%+2”》\'Cc2"r,l-A-£+】C「小门7加+2C八用

=L2m+l/q2m+lP"-^2m^P=2m.l/i.

A-0t-0

至此我们得到〃2,”一/3a=C氏/严%”'，/马“，2一〃2M=C£+/"V\同理有％”「私小।=Q二,

%/2-%例+1=。黑+/次~P，n•

m+im

故P2m~P0=P(C、PV)>夕•(07*□)=C^qp=q2m-q2m+l,即

〃2m+l—%m+l<Pim-Qlm•

另一方面，由于

联2-〃24(〃2M-％向)-5”-仍1)=_《[*/=〃/•〃(〃.G,-G1)

=pV”.〃(〃.(2加+工____]=.(2加+2.〃(p_q]

…〃[〃加W+l)!W-l)!W+l)!j加W+1)/4〃(』2m+\)

的",“以上

且同理有%m+2=

加!。〃+1)!V2〃?+1

故结合

m/、6+1/、八

p[p-薪nn=（…）（，+）就6加6小--------(p-Q)=--------(p-q)>。，

2/n+lU力2〃?十八"力

就能得到P2m+2-Pim>%,”+2—%m>即Pim~%加<P2m+2—%,”+2>证毕.

•jn_

12025高考模拟题

一、单选题

1.（2（）25•福建莆田•三模）小明所在的学校每周都要进行数学周测，他将近8周的周测成绩统计如下：112,

101,93,99,106,105,114,119,则这组数据的第25百分位数是（）

A.99B.100C.101D.113

【答案】B

【分析】把给定的数据由小到大排列，利用第25百分位数的定义求解.

【详解】这组数据从小到大排列为93,99,101,105,106,112,114,119,

99+101

由8x25%=2,得这组数据的第25百分位数是三契=100.

故选：B

2.（2025•安徽蚌埠♦:模）医疗研究者会创建散点图来显示少女的体重指数（BMI）和身体脂肪百分比之间

的相关关系，如图，下列说法正确的是（）

B.BMI越大，脂肪百分比越小

C.BMI与脂肪百分比正相关

D.BMI与脂肪百分比负相关

【答案】C

【分析】根据散点图的特征可得正确的选项.

【详解】由散点图可得BMI增大时，脂肪百分比或变大或变小，故AB错误;

根据散点图的分布可得：BMI于脂肪百分正相关，故C正确，D错误；

故选：C.

3.（2025・湖南长沙•三模）二项式（g-Y了的展开式中第5项的系数为（）

A.252B.-252C.210D.-210

【答案】C

【分析】求出展开式的通项，从而可得第5项的系数.

【详解】二项式%展开式的通项公式加二.（一打=cM-a/z。,

当r=4时,第5项系数为C；。（-=210.

故选：C.

4.（2025・广东深圳•二模）下列各组数据中方差最大的一组是（）

A.6,6,6,6,6B.5,5,6,7,7C.4,5,6,7,8D.4,4,6,8,8

【答案】D

【分析】根据数据的波动越大，方差越大；数据越稳定，方差越小.通过观察数据的离散程度以及计算平均

值和方差来得出答案.

【详解】对于A：

数据全部为6,相等，没有波动，所以方差为0.

对于平均数为注警2:6,方差为*=2x（5-6f+（63+2x（7-6）：og.

对于C：

平均数为4+5+6+7+8=6,方差为4（4-6八（5-6『+（6-6）。（7-6）。（8-6）12

55

对于D：

平均数为4+4+6+8+8=6,方差为S2=2X（4-6『+（6-6）2+2X（8-6）、32.

55

通过比较可知，选项D的方差最大.

故选：D.

5.（2025・广东茂名•二模）随机变量4~N（4,2）,若P（H=P（&〈a）,则实数。的值为（）

A.2B.-C.3D.4

2

【答案】C

【分析】根据正态曲线的对称性可求解.

【详解】因为J〜N（4,2）,所以随机变量J的正态曲线关于x=4对称，

故-------=4,贝|]a=3.

故选：C.

6.（2025・天津•：模）某地组织全体中学生参加了主题为“强国之路”的知识竞赛，随机抽取了2000名学生

进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左

闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（）

A.在被抽取的学生中，成绩在区间[90,100）内的学生有750人

B.直方图中x的值为0.020

C.估计全校学生成绩的中位数为87

D.估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为90

【答案】C

【分析】根据频率分布直方图计算区间［90/00）的频率，即可判断A,根据频率和为1,计算x的值，判断

B,根据中位数和百分位数公式，判断CD.

【详解】A.由图可知，成绩在区间［90.100）内的频率为0.040x10=0.4,0.4x2000=800A,故A错误；

B.日图可知，（O.OO5+O.OlO+x+0.O3O+O.（MO）xlO=l,得工=0.015,故B错误；

C前3组的频率和为0.3,前4组的频率和为0.6,所以中位数在第4组，

所以0.3+（x-80）x0.03=0.5,得仙87,故C正确；

D.样本数据的80%分位数在第5组，0.6+（x-90）x0.04=0.8,得x=95,故D错误.

故选：C

7.（2025・浙江•二模）（/+1+Jj的展开式中，VV的系数为（）

A.60B.120C.240D.360

【答案】B

【分析】根据展开式中每一项的生成过程，结合组合数公式，即可求解.

【详解】要得到W这一项，相当于从6个含有/,』,），三项的因式中的3个因式取一,1个因式

xx

取二，2个因式取九

X

即工12这一项为C：（X2）3.C；・：・C》2=120X5/.

故Vy2的系数为120.

故选：B

8.（2025・湖南•三模）若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则甲、乙不相邻的概率为（）

34913

A.-B.-C.—D.—

551020

【答案】A

【分析】先求出所有排列情况，再求出甲乙相邻的排列情况，用总排列情况减去甲乙相邻的排列情况得到

甲乙不相邻的情况，最后根据古典概型概率公式计算概率.

【详解】5个人随机排成一排的总排列数为：&=5!=120种.

将甲乙看成一个整体（捆绑法），此时相当于有4个人随机排列，排列数为犬，

而甲乙两人之间又有种排列顺序.

根据分步乘法计数原理，甲乙相邻的排列数为：心用=24x2=48种.

所以，甲乙不相邻的排列数为120-48=72种.

根据古典概型概率公式可得，甲乙不相邻的概率为：宙72=：3.

故选：A.

9.（2025•北京昌平二模）若=%/+.414+4*3+//+。然+4，则《+/+4+4+%=（）-

A.-1B.0C.ID.2

【答案】D

【分析】利用赋值法即可求解.

5

【详解】令x=O得：（O-l）=a50+«4O+a30+«2-0+^O+«o=>ax）=-1,

令x=1得：（2-1）5=%•1+%•1+%%'1+44+%=%+。4+%+%+。1+4=1，

所以4+&+%+/+6=1—（T）=2,

故选：D.

10.（2025•广西河池•一•模）一家银行有V7P客户和普通客户，WP客户占客户总数的30%,普通客户占客户

总数的70%.已知WP客户的信用卡欺诈概率为2%,而普通客户的信用卡欺诈概率为5%.现在随机抽取一个

发生信用卡欺诈的客户，请问这个客户是WP客户的概率是（）

6「6「21

A.—B♦—C.—D.—

41251050

【答案】A

41

【分析】设事件E为“客户发生信用卡欺诈”，由全概率公式得P（E）=['，再由条件概率公式即可求解.

I（）00

【详解】记事件A为“客户是V7P客户”，事件笈为“客户是普通客户”，事件E为“客户发生信用卡欺诈％

则P（A）得，「⑻磊,尸（则$,尸侬⑻4,

由全概率计算公式得P（E）=P（E|A）P（A）+P（E⑻P（8）$x*^x不湍，

31

由条件概率公式得P（A|E）=篇=’.:同=哈14，

iooo

故选：A.

11.（2025・山东•三模）某班成立了A、B两个数学兴趣小组，A组10人，8组30人，经过一周的补习后进

行了一次测试，在该测试中，A组平均成绩为130分，方差115,8组平均成绩为110分，方差为215,则

在这次测试中，全班学生的平均成绩和方差为（）

A.115分，105B.115分，265

C.120分，105D.120分，265

【答案】B

【分析】利用各层平均数、方差与总体平均数、方差之间的关系式可求全班学生的平均数和方差.

【详解】依题意，亏=130,s；=115,以=110屈=215,

所以全班学生的平均成绩工=77黑'普。＞；；；%'[10=115（分）；

10+3010+30

全班学生成绩的方差为$2=历%比+（%一君2]+而珠反+国一幻2]

=-x（115+225）+-x（215+25）=85+180=265.

44

故选：B

12.（2（）25•湖南长沙・：.模）已知某个群体中对某活动持满意态度的人数比例为90%,从该群体中随机抽取

io人，设这io人中持满意态度的人数为x,随机变量y=2x+3,则。（丫）=（）

A.1.8B.3.6C.4.2D.4.8

【答案】B

【分析】判断出随机变量X服从二项分布，利用二项分布的方差公式求出。（X）.然后，根据随机变量

y=2X+3,依据随机变量线性变换后的方差性质。（4X+h）="O（X）（其中4、力为常数），求出。（丫）.

【详解】已知从群体中随机抽取10人，对某活动持满意态度的人数比例为90%=0.9,

设这10人中持满意态度的人数为X,那么X服从参数为〃=10（试验次数），P=0.9（每次试验成功的概

率）的二项分布，即乂~8（10,0.9）.

对于二项分布X~B（〃,p）,其方差公式为D（X）=〃p（"p）.

将〃=10,〃=0.9代入公式可得：Z＞（X）=10x0,9x（1-0.9）=10x0.9x0.1=0.9.

2

已知随机变量y=2X+3,根据随机变量线性变换后的方差性质Q（aX+b）=aD（X）t

所以。（丫）=。（2乂+3）=22。（乂）.由前面己求得。（*）=0.9,贝！]D（y）=4x0.9=3.6.

所以D（y）=3.6.

故选：B.

13.（2025・湖北武汉•三模）现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件A=“取出的

鞋不成双"；4="取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（）

A.A^BB.0⑺=|C.1D.P（^+B）=|

【答案】D

【分析】A写出事件A包含的基本事件；B根据古典概型的概率公式求出玳4）；C事件彳8是入可能事件；

D利用概率的加法公式.

【详解】假设运动鞋的左脚为。，右脚为与，凉鞋的左脚为右,右脚为此，

则选出两只鞋包含了&幻，（人0，（42，（《4，（“用，（4，鸟）6种，

其中事件A包含了（44），（4叫），（，&卜（弋，&）4种，

事件不包含了（NKMG尺）2种,事件8包含了4）,（砥鸟）2种,

故BqA,则A错误；

P（可=；,P（B）=m，P（^）=P（B）=1,P（AB）=O,故BC错误；

JvzJ»_»

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（Afi）=1+|-O=|,故D正确.

故选：D

14.（2025•安徽蚌埠•三模）空间中三个点A、B、C满足A8=BC=C4=1,在空间中任取2个不同的点,

使得它们与A、6、。恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法种数为（）

A.8B.9C.11D.12

【答案】B

【分析】根据空间中点线面的位置关系，和正四棱锥的几何性质，分类讨论，求出不同的取法数量.

【详解】

如图所示，设任取2个不同的点为尸、Q,当VABC为正四棱锥的侧面时，

平面48c的两侧分别可以做以四边形ABPQ为底面的正四棱锥，有2种情况，

同理以四边形BCPQ、四边形ACPQ为底面各有2种情况，所以共有6种情况;

当VABC为正四棱锥的截面时，P、。位于AB两侧，四边形AP4Q为圆锥的底面，只有一种情况，

同理以四边形8PCQ、四边形APCQ为底面各有1种情况，所以共有3种情况；

综上，共有6+3=9种情况.

故答案为：B.

15.（2025•广东广州•三模）一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字I到8,将其随机抛掷两次,

记与地面接触面上的数字依次为不占，事件4%=3,事件跟七=6,事件C：菁+&=9,则（）

A.A,3互斥B.A\JB=C

C.P（48C）=P（A）P（8）P（C）D.A,B,。两两独立

【答案】D

【分析】利用互斥事件的定义即可判断A,根据并事件的定义即可判断B,利用独立事件的定义即可判断

CD.

【详解】对于A：%=3,%=6,即事件A8同时发生，所以A故A错误；

对于B：事件C发生，4B不一定发生，故B错误；

、14x21

对于C：根据题意P(A)=P(B)=3P(C)=-4=\

OoXoo

所以尸(ABC)=e=1,P(A)P⑻P(C)=399P(ABC),故C错误;

5X504ooo

对于D：由尸（A8）=5=P（A）P（8）,尸（4C）=[二尸（A）P（C）,尸（8C）=』=P（B）P（C）,

O^T0i4OH,

所以4,ByC两两独立，故D正确，

故选：D.

16.（2025•重庆九龙坡•三模）"142857”这一串数字被称为走马灯数,是世界上著名的几个数之一,当

142857与1至6中任意I个数字相乘时，乘积仍然由1,4,2,8,5,7这6个数字组成.若从I,4,

2,8,5,7这6个数字中任选4个数字组成无重生数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于5700

的偶数个数是（）

A.66B.75C.78D.90

【答案】B

【分析】按千位数分别是5,7,8进行分类讨论即可.

【详解】若千位数字是5,则百位数字只能是7或8,故共有C；C+C；C=15（个）；

若干位数字是7,则共有C；A：=36（个）；

若千位数字是8,则共有C；A：=24（个）.

故符合条件的四位数共有15+36+24=75（个）.

故选：B.

17.（2025•山东枣庄•二模）子贡日：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让“指五种品德：温和、

善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片（颜色均不同）各2张，同学甲从中抽取4张卡片分给

另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（）

A.120种B.210种C.1440种D.28go种

【答案】D

【分析】将字相同的卡片看成一组，从5组中选出一组，再从剩下4组，选出2组，在各取一张，得到4

张卡片，全排列即可.

【详解】先把字相同的卡片看成一组，

第一步：从这5组中选出一组，

第二步：再从余下的4组中选2组，这2组中，每组各选一张卡片，

第三步：把选出的4张卡片，分给4位同学，

所以不同的分配方案有C；C：C；C；A：=2880种.

故选：D

18.（2025・四川巴中•二模）下图是一块高尔顿板示意图：在一-块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的

圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，

最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，且小球需要经过5次碰撞后落

入球槽，求小球最终落入从左往右数第5号球槽的概率为（）

【答案】C

【分析】小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为g,并且相互对立，最终落入⑤号球

槽4次向右，根据独立重复事件发生的概率公式，即可求解.

【详解】小球从起始点到最终落入球槽，需要经过5次与小木块的碰撞，每次碰撞时向左或向右的概率均

为（

我们可以把小球向左下落看作一次“左操作”，向右下落看作一次“右操作”.

要落入从左往右数第5号球槽，从组合的角度看，经过5次碰撞，相当于在5次操作中，向右的次数比向

左的次数多3次.

设向右为正方向，向左为负方向，那么向右的次数x与向左的次数了满足方程组卜+'一：，解得x=4,），=l.

也就是在5次碰撞过程中，需要有4次向右，1次向左.

由独立重复试酚概率公式P=-〃）T,这里〃==5.

5

所以=5x—=

3232

故选：C.

19.（2025・浙江・：.模）若数轴上有一个质点位于x=（）处，每次运动它都等可能地向左或向右移动一个单位,

已知它在第10次运动后首次到达x=6处，则它在运动过程中没有重返过原点的概率为（）

A.!B.UD.L

2715

【答案】B

【分析】把左称记为T,右称记为+1,要达到x=6处，记10次运动为一个有序数组，满足首