2025年新高考数学一轮复习（基础版）函数模型的应用

§2.13函数模型的应用

【课标要求】1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异2理解“指数爆炸”“对

数增长”“直线上升”等术语的含义3能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了

解函数模型在社会生活中的广泛应用.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.三种函数模型的性质

函数y=axy=log^vy"

性质、

(a>\)31)(a>0)

在(0,+8)

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随人一的增大逐渐表现随X的增大逐渐表现随a值的变化而各有

图象的变化

为与谢平行为与X轴平行不同

2.常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型y(x)=ax+伏〃，力为常数，aWO)

二次函数模型fix)=ax2+bx~\~c(a»b,c为常数,aWO)

反比例函数模型/U)=5+b(A,b为常数,kWO)

指数函数模型fi.x)=bax-\-c(a,b,c为常数，a>0且aWl,〃W0)

对数函数模型fix)=b\ogaX-^-c(a,b,c为常数，a>0且aWl,bKO)

品函数模型凡K)=ad+伙a,b,a为常数，“WO,aWO)

【自主诊断】

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“J”或“X”)

(I)函数的函数值比的函数值大.(X)

(2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%,第二天跌了10%,则员工甲不赚不

赔.(X)

(3)已知在(0,+8)上，随着x的增大，)，=〃的增长速度会超过并远远大于和y

=10gz内的增长速度.（J）

（4）在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.（X）

2.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（）

A.y=100xB.y=logi（x>v

C.y=y0°D.y=100V

答案D

解析根据函数特点可知，指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，底数天于1

的指数函数增长速度最快.

3.（2024・南宁联考）有一组实验数据如表：

X23456

y1.402.565.311121.30

则体现这组数据的最佳函数模型是（）

A.y=x2B.y=log2X

C.y=1-2rD.y=2^

答案C

解析通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快，A,B选项中的函

数增长速度越来越慢，不正确；C选项中，当x=6时，>,^21.33；D选项中，当x=6时，y

=18,误差偏大，故C选项正确.

4.（2023・福州拱拟）我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一

般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度/?（单位：米）与时间《单位：秒）之

间的关系为万⑺=一5尸+⑸+20,那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为（）

A.26米B.28米

C.31米D.33米

答案C

解析〃⑺=-5尸+I5f+2O=—5。一|〉+F，/?（）皿=6（|）=卓和31.

■探究核心题型

题型一用函数图象刻画变化过程

例1⑴（多选）（2024・钦州模拟）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污

水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间/的关系为

已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论，其

中正确的结论为（

A.在口，会］这段时间内，甲、乙两企业的污水排放量均达标

B.在，2时刻，甲、乙两企业的污水排放量相等

C.甲企业的污水排放量的最小值大于乙企业的污水排放量的最大值

D.在［0,川这段时间内，甲企业的污水排放量高于乙企业的污水排放量

答案BD

解析由图可知在山，⑸这段时间内，甲、乙两企业的污水排放量均超标，故A错误；

在B时刻，甲、乙两企业的污水排放量相等，故B正确；

甲企业的污水排放量的最小值不大于乙企业的污水排放量的最大值，故C错误：

在［0,3这段时间内，甲企业的污水排放量高于乙企业的污水排放量，故D正确.

（2）在一次实验中，某小组测得一组数据（如）*=1,2,11）,并由实验数据得到散点图.由

此散点图，在区间［-2,3］上，下列四个函数模型（。，8为待定系数）中，最能反映x,），函数关

系的是（）

答案B

解析由散点图的定义域可排除C,D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型.

思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

（1）构建的数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建三函数模型，再结合模型选择函数

图象.

（2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否

吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.

跟踪训练1如图，点P在边长为1的正方形ABCD的迈上运动，M是CD的中点，则当P

沿A-B-C-M运动时，点P经过的路程x与aAPM的面积），的函数,，=/5）的图象大致是

138

1g£2=4.8+1.5X6=13.8,E2=10,

（2）（2023・无锡模拟）根据《美用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓

度WO.Img/n?为安全范围.已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05mg/n?,使

用了甲醛喷剂并处于良好通风环境下时，室内甲醛浓度/（/）（单位：mg/n?）与竣工后保持良好

通风的时间々£N）（单位：天）近似满足函数关系式〃⑺+0.05（2WR）,则该文化娱乐场

所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（参考数据：hi2~0.7,In

3^1.1,ln5^1.6）（）

A.32天B.33天C.34天D.35天

答案C

解析依题意可知当［=0时，〃⑺=6.05,

0

即6.05=2e-7+0.05,解得4=6,

t

所以"。）=6e7+0.05,

由"（f）=6e3+0.05W0.1,

得门抬，

即一夫In得，即介In120=31n2+ln3+ln5、3X0.7+l.l+1.6=4.8,所以，233.6,

又/EN,所以，min=34,

至少需要放置的时间为34天.

思维升华已知函数模型解决实际问题的关键

（1）认清所给函教模型，弄清哪些量为待定系数.

⑵根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

（3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检脸.

跟踪训练2（2023・东莞联考）某食品的保鲜时间.y（单位：小时）与储藏温度M单位：。C）满足函

数关系》二卢十分化二？:7^…为自然对数的底数，七》为常数）.若该食品在0C的保鲜时间是

100小时，在10℃的保鲜时间是60小时，则该食品在20℃的保鲜时间是（）

A.20小时B.24小时

C.32小时D.36小时

答案D

解析由题意可得e〃=IOO,0叱〃=60,

可得e,ox=|.

故当x=20时，)，=峭"「"=©°£)2

9

=^X100=36,

即该食品在20°C的保鲜时间是36小时.

题型三构造函数模型的实际问题

例3(2023・宣城模拟)某旅游开发公司计划2023年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需

投入固定成本300力元，若该项目在2023年有游客x力人，则需另投入成本R(x)力兀，且

25,0<rW5,

/+20x—100,5<rW20’该游玩项目的每张门票售价为10。元.为吸引游客，该

9(X)

{6Lv+--565,第>20,

公司实行门票五折优惠活动.当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴10x

万元.

(1)求2023年该项目的利润WQ)(万元)关于游客人数人(万人)的函数关系式(利润=收入一成

本)；

⑵当2023年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？

解(1)该项目的门票收入为50x万元，财政补贴收入为10%万元，共6(k万元收入，

「60大一300-25,0<A<5,

60^-300-(.?+20A—100),5<xW20,

则利润W(x)=<

60x-300-(61x+^^-565),x>20,

f60.v-325,(KtW5,

-W+4()x-200,5<xW2(),

化简得卬a)=4

一工―^^+265,x>2().

X

(2)当0<AW5时，W(x)单调递增，

W(X)max=W(5)=-25；

40

当5JW20时，对应二次函数的图象开口向下，对称轴为《一一八h不=20,

2X(—1)

则W(x)nm=W(20)=200；

当心>20时，・・”+晒260,

X

当且仅当工=¥，即x=30时，等号成立，

人

:.W*)gx=w(3())=-30-絮+265=205.

综上，当2023年的游客人数为30万时，利润最大，最大利润为205万元.

思维升华构建函数模型解决实际问题的步骤

（1）建模：抽象出实际问题的数学模型.

（2）推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解.

（3）评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际

问题中去，得到实际问题的解.

跟踪训练3“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳,

弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片

第一次接触水面时的速度为20m/s,然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他为素,

假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的85%,若石片接触水面时的速度低于6m/s,

石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（参考数据：1g

2^0.3,1g3^0.48,lg17^1.23）（）

A.6B.7C.8D.9

答案C

解析设石片第〃次接触水面时的速度为办，

则%=20X0.85〃」，

由题意得20X0.85”r26,即0.85n-l>0.3,

得/?—Klogo.850.3,

-7,及0.3怛3—]怛3—1________1g3-1.

-74,

Xlogo.850.3-lg085-lg85-2lgl7+lg5-2-lg17-lg2-1^-

所以故这次“打水漂”石片的弹跳次数为8.

课时精练

一、单项选择题

1.（2023・内江模拟）现有一组关于速度”单位：m/s）与时间/（单位：s）的实验数据如表:

t2.03.04.05.16.18

V1.54.027.512183

用下列函数中的一个近似地表示这组数据满足的规律，其中最接近的一个是（）

A.O=log2/B.v=log)t

2

c.D.v=2t-2

答案c

解析从表中数据的变化趋势看，函数递增的速度不断加快，

A项，是对数函数模型，其递增速度越来越慢，不符合题意；

B项，随着/的增大，速度变小，不符合题意，

C项，是二次函数模型，对比数据，其最接近实验数据的变化趋势，符合题意；

D项，是一次函数模型，增长速度不变，不符合题意.

2.（2023・广安模拟）在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含

量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量0随时

间/变化的图象是（）

答案C

解析在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且单调递增，故

排除A,D；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，故排除B；能反映血液中药物含

量。随时间/变化的图象是C.

3.（2024.赤峰模拟）心理学家经常用函数卬）=4（1一en）测定时间，（单位：min）内的记忆量L,

其中A表示需要记忆的量.A•表示记忆率.已知一个学生在5min内需要记忆200个单词，

而他的记忆量为2（）个单词，则该生的记忆率攵约为。［10.92一0.105,1110.16一2.303）（）

A.0.021B.0.221C.0.461D.0.661

答案A

解析由题意可得20=200（1-e-5A）,

o

则ef=而=0.9,

两边取以e为底的对数并整理得―啜=0.021.

-5

4.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d（x）（单位：dB）与声强文（单位：W/m2）

满足4（幻=101g常石若人交谈时的声强级约为50dB,且火箭发射时的声强与人交谈时的声

强的比值约为IO",则火能发射时的声强级约为（）

A.130dBB.140dBC.15（）dBD.160dB

答案B

解析设人交谈时的声强为乐，

则火箭发射时的声强为10勾”

则50=101g靛，

解得加=10-7,

则火箭发射时的声强为109X10-7=102,

将其代入d（x）=101g|^|2中，

in2

得J（102）=101gy^i2=14d（dB）,

故火箭发射时的声强级约为140dB.

5.某次购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，优惠方案如下：（1）如果购物总额不超

过50元，则不给予优惠；（2）如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优

惠券；（3）如果购物总额超过100元但不超过300元，贝！按该次购物总额的9折优惠；（4）如

果购物总额超过300元，其中300元内的按第（3）条给F优惠，超过300元的部分给予8折优

惠.某人购买了部分商品，则下列说法不正确的是（）

A.如果购物总额为78元，则应付款73元

B.如果购物总额为2287匕，则应付款205.2元

C.如果购物总额为368元，则应付款294.4元

D.如果购物时一次性应付款442.8元，则购物总额为516元

答案C

解析若购物总额为78元，

则应付款78—5=73（元），故A正确；

若购物总额为228元，

则应付款228X0.9=205.2阮）,故B正确；

若购物总额为368元，则应付款300X0.9+68X0.8=324.4（元），故C错误；

若购物时一次性应付款442.8元，则包含购物总额300元应付的270元，还有172.8元时应的

177R

购物额度=216（元），因此购物总额为

V.O

300+216=516（元）,故D正确.

6.（2023・济南模拟）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便.某共

享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行'业规定，每座城市至少要投资40

万元.由前期市场调研可知：甲城市收益P（单位：万元）与投入〃（单位：万元）满足f=3①

一6,乙城市收益0（单位：万元）与投入A（单位：万元）满足Q=%+2,则投资这两座城市收

益的最大值为（）

A.26万元B.44万元

C.48万元D.72万元

答案B

解析设甲城市投资。万元，

则乙城市投资（12（）—0万元，

40Wa<120.

由题意可知

40W120—。<120,

解得40WaW80,

设投资这两座城市收益为y,

则有y=3/—6+；（120—幻+2

=36^-：〃+26,

令如=/=>/£[2师，44],

则有川）=一%+3也/+26,

该二次函数的图象开口向下，

且对称轴，=66习2#5,4小],

所以y（z）nm=A6V2）=-1X（6V2）2+3<2X6^2+26=44.

二、多项选择题

7.（2023・潍坊模拟）图①是某大型游乐场的游客人数*万人）与收支差额M万元）（门票销售额减

去投入的成本费用）的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场

采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是

A.图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为I万元

B.图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡

C.图②游乐场实行的措施是降低门票的售价

D.图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用

答案ABD

解析图①中点A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，故A正确；

图①中点〃的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，故B正确；

图②游乐场实行的措施是提高门票的售价，

故C错误；

图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，故D正确.

8.（2023・新高考全国I）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声

压级，=20Xlgf,其中常数p”po>0）是听觉下限阈值，p是实际声压.不同声源的声压级如

表所示：

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为〃“2,小，则

（）

A.pi2P2B.P2>10/73

C.p3=lOOpoD.piWlOOpz

答案ACD

解析因为520Xlg乐随着〃的增大而增大，

且4,£[60,90],LihG[50,60],

所以4咨，

所以pi》P2,故A正确；

n殳

由Lp=20Xlgj得〃=%1（）20,

因为Lpi=40,

40

所以P3="（）102。=100/m故C正确；

4”L巧

假设〃2>10〃3,则〃ol（）%>l（）〃（J（）苗,

Sz-La.

所以102°2。>10,

所以4-4>20,不可能成立，故B不正确；

K2"3

因为逊=侬1邑10贫豕2,

幺

RO?。

所以PIWI00〃2,故D正确.

三、填空题

9.某商场为了实现100万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在利润达

到5万元后，奖金），（单位：万元）随利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3

万元，同时奖金不超过利涧的20%,现有三个奖励模型：①y=0.2x,②），=logK，@y=1.02\

则符合该商场要求的模型为.（填序号）

答案②

解析在同一平面直角坐标系中作出函数），=02*），=1.02'的图象，如图所云.观

察图象可知，在区间［5.100］内，函数），=0.2x,）=1.02'的图象都有一部分在直线y=3的上方，

只有函数y=log、r的图象始终在直线y=3和y=0.2r的下方，所以按模型y=log%i进行奖励

符合商场的要求.

10.（2023•温州联考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表

明，某种绿茶用85℃的开水泡制，再等茶水温度降至55c时饮用，可以产生最佳口感，如

果茶水原来的温度是7b°C,经过一定时间《单位：min）后的温度“单位：C）可由公式T-Ta

=（4一乙求得，其中心表示室温，。是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常

数，现有一杯85℃的绿茶放在室温为25c的房间中，如果茶温降到40c需要20min,那

么在25°C室温下，用85℃的开水刚泡好的绿茶大约需要放置________min才能达到最佳饮

用口感.

答案10

20

解析由题意得40—25=［85—25）x（，「，

20

所以⑶4

设一杯85c的绿茶放在室温为25℃的房间中，茶温降到55°C需要/min,

则55-25=(85-25)X(，)，，

所以/=10.

四、解答题

11.（2023・南京统考）某企业为响应国家“节约用水”的号召，决定对污水进行净化再利用，

以降低自来水的使用量.经测算，该企业拟安装一种使月寿命为4年的污水净化设备.这种

净水设备的