2025年新高考数学一轮复习（基础版）立体几何中的截面、交线问题

§7.10立体几何中的截面、交线问题

【重点解读】“截面、交线”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一

些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三

角形、多边形面积、周长、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求

解.

题型一截面作图

例1如图，在正方体ABCD-A^iCiD1中，M是4周的中点，N在棱CCi上，且CN=2NC\.

作出过点。，M,N的平面截正方体A8CO—48Goi所得的截面，写出作法.

解如图所示，五边形OQWFN即为所求截面.

作法如下；连接。N并延长交AG的延长线于点£,

连接ME交所Q于点凡交。小|的延长线于点儿

连接。，交A4于点Q,连接QW,FN,

则五边形DQMFN即为所求截面.

思维升华作板面的几种方法

(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面

实际就是找交线的过程.

(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.

(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通

过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线.

跟踪训练1如图，已知在正方体A3CQ—A山Cid中，"是棱44的中点，过C,。，M

三点作正方体的截面，作出这个截面图，写出作法.

解如图，连接CA,连接AM并延长，交。4的延长线于点M连接CN交AB于点P,

连接MP,则四边形CZ>iA"为过C,四，M三点的正方体的截面.

题型二截面图形的形状判断

例2已知在正方体ABC。-4BiGDi中，E,F,G分另!是AB,BBi,&G的中点，则过这

三点的截面的形状是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

答案D

解析如图，分别取。iG,DiD,4。的中点”，M,N,连接G”，HM,MN,EN,EF,

FG、

•・•在正方体中,E,F,G分别是A8,BBi,8G的中点，

:.HG〃EN、HM//EF,FG//MN,

；・六边形EFGHMN是过E,F,G这三点的截面，

・••过这三点的截面的形状是六边形.

思维升华判断几何体被一个平面所城的微面形状，关键在于弄清这个平面与几何体的面相

交成线的形状和位置.

跟踪训练2已知一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点（不

在同一侧面或同一底面内）的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可能是（）

A.等腰三角形B.等腰梯形

C.五边形D.正六边形

答案D

解析如图①，由图可知，截面48。为等腰三角形，选项A可能；截面48E尸为等腰梯形,

选项B可能；如图②，截面AMDEN为五边形,选项C可能；因为侧面是正方形，只有平

行于底面的截面才可能是正六边形，故过两底的顶点不可能得到正六边形，选项D不可能.

题型三截面图形的周长或面积

例3（2024・朔州模拟）在正方体从以笫一48心。中，棱长为3E为棱上靠近勿的三等

分点，则平面AEDi截正方体ABCD-A^BiCiDi的截面面积为（）

A.25B.45C.2^22D.4^22

答案C

解析延长AE,AIi交于点F,连接。尸交SG于点G,如图，

在正方体A8CZ）-A|BiG/）i中，平面40/）4〃平面BCGBi,

•・•平面AFQiP平面ADDiA}=ADit平面平面BCGBi=EG,

•••ADi〃GE,又FOE吸，GE=也

・•・四边形AEGDi是梯形，且为平面AED\截正方体ABCD-A^CiDi的截面.

又・・・/1]6=>4£=小，在等腰梯形AEG。中，过G作GH_LAQi,

・•・GH=7DIG2—DiH?=Vn,

・・・S=；（ADi+EG）.G”=；X（陋+3啦）XVTT=2率.

思维升华几何体的板面的相关计算，关键在于根据公理作出所求的假面，再运用解三角形

的相关知识得以解决.

跟踪训练3（2023・新乡模拟）如图，在棱长为2的正方体A8C。-A&GDi中，E>是棱CG

的中点，过A,。口E三点的截面把正方体ABCQ-A/iGA分成两部分，则该截面的周长

为（）

所以

又四边形48C。为正方形，所以AC_L8。，

^AAiCiAC=A,AA],ACU平面AAiC,

所以BOJ_平面A4C,

因为AiCU平面AAC,

所以BDLA\C,

同理可证明SCilAiC,

因为BGn8£）=B,BG,8OU平面BG。，

故AC_L平面BGD,

故平面a即为平面BC\Dy

则a截该正方体所得截面的形状为三角形.

2.在长方体A8CO—A由GOi中，若A8=2,AD=AA\=4,E,〃分别为88”4。1的中

点，过点4，E,产作长方体ABCO-ABGQi的一个截面，则该截面的周长为（）

A.6\[2B.（J\[5

C.2小+4色D.4小+26

答案D

解析如图，连接过点上作EP//AF交SC于点P,连接FP,AE,即可得到截面AFPE,

因为E为的中点，EP//AF,

所以丛P==4尸=1,

因为A8=2,AD=AA\=4,

则AF='\/42+22=2小，所以EP=^A产=小，

4七=严”=26，"=产”=小，

所以截面AFPE的周长为2小+小+26+小

=4^5+2^2.

3.（2023・承德模拟）在三棱锥P-/WC中，/1B+2PC=9,E为线段人P上更靠近〜的三等分

点，过E作平行于AB,?C的平面，则该平面截三棱锥P-A8C所得截面的周长为（）

A.5B.6C.8D.9

答案B

解析如图所示，在三棱锥P—A8C中，过E分别作E尸〃A8,EH//PC,

再分别过点“，尸作”G〃4B,FG//PC,可得&F,G,"四点共面，

因为A8Q平面E/G”,EFU平面EFGH,所以4B〃平面E/G”，

同理可证，PC//平面EFGH,

所以截面即为平行四边形EFG”,

又由E为线段A尸上更靠近尸的三等分点，且A8+2PC=9,

所以E尸£H=|PC,

9

所以平行四边形EFGH的周长为2（我〃+可，）=虱4〃+2夕。=6.

4.己知正方体/WCO-AiSG。的棱长为2,M,N分别为49，BiG的中点，过M,N

的平面所得截面为四边形，则该截面的最大面积为（）

9

地BC-

A.2

答案D

解析如图所示，面积最大的截面四边形为等腰梯形MNCA,

其中MN=g，AC=2y/2,AM=CN=&

高为A=^5—2=-2,

9

故面积为:X（5+2理）X平=-

2-

5.从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底面为正四棱锥底

面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，用一个平行于底面且距底面为

1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为（）

A.4TT_4B.4TIC.4K—2D.2兀—2

答案C

解析截面图形应为圆面中挖去一个正方形，且圆的半役是2,则截面圆的面枳为4兀,

设正四棱锥的底面正方形边长为〃，则24=16,所以。=26，

正四棱链的底面正方形的面积为（2吸）2—8,

由圆锥中截面的性质，可得圆面中挖去一个正方形与正四棱锥的底面正方形相似，

S's'I

设圆面中挖去一个正方形的面积为S',正四棱锥的底面正方形的面积为S,则一针=^-=尢

从而S'=2,

所以截面图形的面积为4TI—2.

6.在正方体/WC。-4/力GA中，M，N分别为A。，GQ的中点，过M,N,巴三点的平

面截正方体人9C力一所得的截面形状为（）

A.六边形B.五边形

C.四边形D.三角形

答案B

解析如图，在AB上取点Q,且BQ=3AQ,取C。的中点P,

连接QM,BP,NP,BQ

在。。上取点R,

且D\R=3DR,

连接NR,MR.

因为=^=豆己=5，NQAM=NPCB,

所以△Q4MS2XPC&所以NAQM=N8PC.

又AB"CD,所以NA8P=N8PC,

所以NABP=NAQM,

所以QM〃8P.

因为M尸分别为GO,C。的中点，

所以PN〃CG,且PN=CG.

根据正方体的性质，可知BBi〃CG,且BB尸CCi,所以PN〃BBi,且PN=BBi,

所以四边形BPNB\是平行四边形,

所以BiN〃BP,所以田N〃QM.

同理可得NR〃小Q.

所以五边形QMRNB\即为所求正方体的截面.

二、多项选择题

7.如图，M,N为正方体中所在棱的中点，过M,N两点作正方体的截面，则截面的形状可

能为（）

A.三角形

C.五边形D.六边形

答案BD

解析由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形，如图，截面的形状只

可能为四边形和六边形.

)

A.ACi//MN

B.BiD工MN

C.平面MN。截此正方体所得截面的周长为时牛叵

D.三棱锥BLMND的体积为1

答案BCD

解析如图1,以。为坐标原点，OA,DC,。。|所在直线分别为羽)，，z轴，建立空间直

角坐标系，则A(2,0,0),G(0,2,2),M(2』,0),N(0,2,l),

图I

。(0,0,0),5(222),

XG=(-2,2,2),

加=(一2』,1),丽=(2,2,2).

—22

因为二5叶所以AG与MN不平行,A不正确;

因为力而疝V=2X(-2)+2Xl+2Xl=0,所以丽L厉V,即BQLWMB正确;

如图2,取的中点P,BP的中点、Q,连接AP,MQ.NQ,

图2

由正方体的性质可知，AP//DN.

因为M,Q分别为A&8尸的中点，所以AP〃MQ,所以ON〃MQ；

平面截正方体所得截面为梯形。MQN,

因为正方体的棱长为2,

所以DM=DN=小,MQ=7"侬=喙,

QN=q221(分=邛，

所以平面MNO截此正方体所得截面的周长为也方近，C正确；

由上面分析可知，DN〃MQ,DNu平面BiDN,MQQ平面&DN,

所以MQ〃平面&DM即点M到平面BiQN的距离等于点Q到平面BiON的距离，如图3,

所以三棱锥用一MN。的体积为1,D正确.

三、填空题

9.（2024.曲靖模拟）“中国天眼”（如图1）是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，其形状

可近似地看成一个球冠（球冠是球面被平面所截的一部分，如图2所示，截得的圆叫做球冠

的底，垂直于截面的直径被截得的线段叫做球冠的高.若球面的半径是R，球冠的高度是

则球冠的面积5=2兀/?〃）.已知天眼的球冠的底的半径约为2