2025年人教A版高一数学暑假作业9：高一综合（一）含解析

人教A版高一暑假作业9:高一综合（1）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.（2025•江苏省淮安市•月考试卷）设i为虚数单位，若复数z满足i3z=1+2i,则z在复平面内对应的点在

（）

A.第一象限B.笫二象限C.笫三象限D.笫四象限

2.（2025.江苏省苏州市•月考试卷）已知。为锐角，且cos（0+6=£则sin0=（）

./3+1n2-/3厂2/3+1n4/3-3

A--B—

3.（2025•江苏省苏州市•月考试卷）在EIA8C中，已知Q=b=y[3,B=60。，则力角的度数为（）

A.30°B.45°C.45°或135°D.60°

4.（2025•江苏省苏州市•月考试卷）已知同一5,\b\-4,若云在石上的投影向量为一:石，则五与石的夹角为（）

O

A.60°B.120°C.135°D.150°

5.（2025•江苏省扬州市•月考试卷）设样本数据卬上，…，%的均值和方差分别为1和2,若%=2芍-=

12…,10）,则…,的方差为（）

A.1B.3C.4D.8

6.（2025•江苏省苏州市•月考试卷）已知la,£是两个不同的平面:/是两条不同的直线，若znua,an

B=l，则“山〃”是“m〃优'的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.（2025.黑龙江省哈尔滨市•期中考试）如图，在正四棱柱48。。-力中心义中,

AAt=3AB,则异面直线与4Di所成角的余弦值为（）

4937

A,sB,T6c,5D,io

8.（2025,湖北省武汉市•月考试卷）如图,平行四边形力BCD中，AB=BD=DC=2,乙4=45。.

现将0BCD^BD折起，使二面角C—BD—力大小为120。，则折起后得到的三棱锥C-4BD外接球的表面

积为（）

A.IOTTB.157rC.207rD.20-\T3TT

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.（2025•江苏省淮安市•月考试卷）已知m,n是不同的直线，a,。是不重合的平面，则下列命题中，真命题

有（）

A.若a〃/7,mLa,m//nf则几J.£

B.若7?i//a,mJIB,an/?=ri,则m〃7i

C.若77i〃a,m//n,则n〃a

D.若m_La,ml/?,nca,则////?

10.（2025•浙江省・单元测试）某保险公司为客户定制了5个险种：日，一年期短险；乙，两全保险：丙，理财

类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险。各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种

参保客户进行抽样调查，得出如图所示的统计图，以下四个选项中，说法正确的有（）

不同年龄段人均叁保责用

A.54周岁及以上客户人数最少B.18-29周岁客户参保总费用最少

C.丁险种更受客户青睐D.30周岁以上的客户约占参保客户的80%

11.（2025•江苏省无锡市•月考试卷）已知正三棱台A/iG-ABC,AB=2A1B1=4,44=，！，下列说法

正确的是（）

A.正三棱台Ai/G-ABC体积为/讶

B.侧棱与底面ABC所成角的余弦值为空

C.点力到平面BB]CiC的距离为

D.三棱台4避16-4BC的外接球的表面积为整

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(2025•内蒙古自治区赤峰市・期中考试)已知向量d,而夹角为尊同=，3,

\b\=1,则|3d+瓦=.

13.(2025•江苏省镇江市•月考试卷)在△4BC中，内角人B,C所对的边Q,b,c满足

a2-b2=be,则4=,三角形4BC为锐角三角形，贝i」cos(C—B)+cosA的取

D

值范围是.

14.(2025.江苏省宿迁市•月考试卷)如图，在长方体48C0中，

AB=AD=1,44]=2,P为DD】的中点，过P8的平面a分别与棱441，CQ交于点E,F,且4C〃Q,则截

面四边形PE8F的面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(2025•北京市・模拟题)(本小题13分)

已知cosa=?,sin(a-/?)=且a，夕6(0,?).求：

(l)cos(2a-£)的值；

(2)0的值.

16.(2025•江苏省连云港市•月考试卷)(本小题15分)

如图，48是圆0的直径，点P在圆。所在平面上的射影恰是圆0上的点C,且2。=力。=28。=4,点。是

PA的中点，点F为PC的中点.

(1)求异面直线8F和PA所成角的大小;

(2)求二面角0一BC—4的大小.

19.(2025•辽宁省大连市・期末考试)(本小题17分)

将连续正整数1，2,3,•••,"riEN)从小到大排列构成一个数123…几，/(九)为这个数的位数.例如：当

几=12时，此数为123456789101112,共有15个数字，则F(12)=15.现从这个数中随机取一个数字，

P5)为恰好取到0的概率.

⑴求P(101);

(2)当九32024时，求F(九)的表达式；

(3)令/(")为这个数中数字9的个数，g(九)为这个数中数字。的个数，h(n)=f(n)-g(n\S={n|h(n)=

l,n<100,ne/V}»求当九£S时P(n)的最大值.

1.【答案】B

【解析1解：由i3z=l+2i,

得一iz=1+23

:.-i2z=(14-2i)i=-2+i,

则z=-2+i,

二z在复平面内对应的点的坐标为位于第二象限.

故选:B.

2.【答案】D

【解析1解：因为。为锐角，

所以吟，等，

所以sin(e+》=/l-cos2(0+^)=^

b\□□

所以sin[(O+1)-1]=sin(。+1)cos|-cos(0+1)sin|

4vz/33、，14/3-3

=5X--5X2=­U)—•

故选：D.

3.【答案】B

【解析】解：由Q=沉，b=得Q<b，于是4V8,贝以为锐角,

由正弦定理得sin4=罕==苧，

bV32

:.A=45°,

故选:B.

4.【答案】B

【蟀析】解：因为同=5,历|=4,R在3上的投影向量为一部

所以胃•百=母，所以五.五=一10,

设2与B的夹角为6,则cosJ===一J，

又0°wewi80°,所以6=120°.

故选B.

5.【答案】D

【解析】解：由方差的性质可得,

D(%)=D(2Xi-1)=4D(xt)=8.

故选：D.

6.【答案】C

【解析】解：,••m，，是两条不同的直线，a,/?是两个不同的平面，且771ua,aC\p=I,即mua"u

B，

若“m〃广，根据线面平行的判定，则“m〃0”成立；

反之，若m〃氏aop=l,由线面平行的性质可得m〃八

故“m〃/”是“m〃优'的充要条件，

故选C.

7.【答案】B

【解析】解：如图连接BGMIG，因为-Ai&GDi为正四楂杆,

所以且相=GJ,所以四边形力BGDi为平行四边形,

所以BCJ/4D1，则4&BC1或其补角就是异面直线力道与力劣所成的角,

设48=1,则A&=3,可得=BCX=/IO,&G=

10+10-29

|COSZT!I8GI

故=I2"HBQ|2x10U)

故选:B.

8.【答案】C

【解析】解:如图所示，过点。作DE〃/18,过点力作力E〃BD,两直线相交于点从

因为48=BD=DC=2,LA=45°,

所以4408=45°,AB1BD,则DE180,

由于COJ.80,乂平面CBOn平面/BO=80,

NCDE即为二面角C-BD一力的平面角，

则“DE=120°,

过点C作DE延长线的垂线，交0E延长线于点F,

因为BO1DE,BD1CD,DEC\CD=D,u平面COF,

故801平面W,

因为CFu平面COF,所以80JLCF,

XCF1DE,BDC\DE=D,BD,DEu平面力BOE,

则CFJL平面4BDE,KZCDF=60%

取4）的中点”，则外接球球心。在平面力BD上的投影为H,即平面NBDE,

连接FH,AO,CO,则40=CO,

过点0作0Gle尸，交直线CF于点G,

因为CT_L平面小BDE,FHu平面ABDE,则CFJ.FH,所以OG//FH,

又OH_L平面480E,所以G尸〃。H,

所以四边形0，/7G为平行四边形，则0"二/G,

因为CO=2,MCF=CDsin6O0=V3,DF=CDcos60°=1,

AH=DH=^AD=\/2,

在八DF”中，由余弦定理得尸，=7DF2+DH?-2FD•DHeos乙FDH=Jl+2-2x1x/x（-苧）=

瓜

设OH=h,则尸G=h,故CG=CF-FG=遮一忙

由勾股定理得DC?=OG24-CG2=5+（V3-/i）\OA2=OH2AH2=2+F,

2

故5+（JS—h）=2+层，解得人二百，

故外接球半径为。力=V2+h2=75,外接球表面积为4兀­5=207r.

故选:C.

9.【答案】ABD

【解析】解：对于A,由。〃。，mla,得ml0,

又7H〃71,因此711夕，故A正确；

对干5,由小〃。，得存在过m的平面y与a相交，

令交线为a（不与n重合），则m〃%

由m〃B，得存在过m的平面6与/?相交，

令交线为b（不与几重合），则m〃匕,于是。〃6，

显然bUa,则b〃a,而bu/7,an£=几，

因此b〃九，m//n,故8正确；

对干C,m//a,m//n,

则?2〃a或？ica,故C错误；

对于。，由?nla,7nl0,且a,0是不重合的平面，得a〃夕,

而”ua,贝加〃/?,故。正确.

故选：ABD.

10.【答案】ACD

【解析】解：由扇形图可判断54周岁及以上所占比例最少，故参保人数最少，4选项正确;

由折线图可估计19〜29周岁大约参保费用为3900元，所占比例为20%,

设参保人数为%人,则总费用大约为:3900・20%7=780%元，

而54周岁以上人群大约参保费用为6000元，所占比例为8%,

故总费用大约为：6000•8%:=480%元，

故8选项错误；

由条形图可知丁险种的参保比例更高，可判断C选项正确；

由扇形图可知30周岁以上所占比例为1一20%=80%,故。诜场正确.

故选人CO.

11.【答案】BCD

【解析】解：正三棱台A/iG-ABC,AB=2&Bi=4,&A=

设E,当分别为zMBC,ZL4]8]G的中心，

设0为三棱台481G-力员:的外接球的球心，

设8C,81GL的中点分别为凡&，

对于4CE=,BC・sin60"二弓-4•浮二殍，

•JO乙D

-2_•“。2_2/3

。花1=T8D1G•sin60=-•2•—=—^―，

EE】=J"J_Q—CiE])2=J(，1)2—(苧一苧尸=争

S=^-AB2=4/1，S'=W48/=G

4411

匕8C-/8百=1(S+C?+S')•EE.

=；x(4C+Q7F7?+C)x苧=空故A错误；

对于B,侧棱CCi与底面4BC所成角为“iCE,

dCE=爷旦=亏产邛，故8正确：

1CC]V23

对于C,设点力到平面B81GC的距离为九，

则FFi=JCC.2-(^1£1)2=J2—(号产=1，

SABCB,=I-BC•FF1=|x4xl=2,

由匕-8c8i=VBI-ABC，

可得|应北&•九=：$A8c,EEl，

nnix2xh=|xl/3x^J解得无=2，1，故C正确；

2222

对于0,0C?=0C，CE+0E=CAE1+(FEi-OF),

(警)2+阳=(雪)2+(苧-0E)2,

解得0E=-学，说明球心。在线段E】E的延长线上，

6

0C2=CE2+0E2=(笄)2+(乎)2=4

DCO

三棱台481G—力BC的外接球的表面积为47r•0。2=4万•尊=手4，故。正确.

故选：BCD.

12.【答案】719

【解析】解：由向量落石的夹角为胡，@=C，⑹=1,

则I五盛|cos年=-5

则|34+方|=](3己+。2=[9|中2+6互不+|加|2

=/9x3+6x(-|)+1=/19.

故答案为：V19.

13.【答案】2；(1,也

【解析】解：a?一/=元

dz=b2+be=b2+c2-2bccosA,即be=c2-2bccosA

:.s.nBsinC=sin2c—2sinBsinCcosA

As.nB=sinC-2sinBcosA=sin(/I+8)-2sinBcosA

即sinB=sin(4—B)

得B=A—B或8+(4-8)=TT(含)

A

A-x=2

A=2B,A+B+C=7t

nTin

•••0<C=TT-38<5,0V4=2B<5,0<8<：5

•••cos(C-B)+cos/1=COS(TT-4B)+cos2B=-cos4F+cos2B

19

=-2COS2(2F)+cos(28)+1=-2[cos(2F)-^]2+g

又•:IV28V*即cos2Be(0,1)

9

[cos(C-B)+cosA]G(1,-];

故答案为2,(1,1].

14.【答案】苧

【解析】解•：如图：过点B作AC的平行线分别与ZZ4,DC的延长线交于G,

连接PG,PH,并分别与A4,CR交于E,F,

?______Ci

因为4C//GH,且力CC平面尸GH,GHu平面PGH,

小6V

所以何〃平面PGH,

所以平面PGH即为平面a,

又平面BCGBi八平面PGH=BF,平面NDOiACl平面PGH=PE,

平面8CG81〃平面ADDiA，

所以BF〃PE,同理BE〃PF,所以四边形PEBF为平行四边形，

又7I8=8C=1,AE=FC=I，所以=所以四边形PEB广为菱形,

因为EF=4C=JI,PB=G

所以S四边形PEBF=|xFFxPfi=Ix/2x/3=^.

故答案为：苧.

15.【答案】解：⑴因为a,夕6(0,力所以a—0£(T，5).

又因为sin(a—/?)=>0,所以。<a-0<与

所以sina=V1—cos2a=cos(a-/?)=5/1—sin2(a—/?)=

JJLU

cos(2a-/?)=cos[a4-(a-/7)]=cosacos(a-/?)-sinasin(a一夕)=g1

1051010

/r、nrr，\,♦/、洋3V10,2V-5V10'12

(2)cosp=cos[a—(a—/7)]=cosacos(a-/n?)+sinasinfa-/>)=—x+——x——=—.

•xAVAKz

又因为夕£（0,令，所以S=%

16.【答案】解：（1）取AC中点M,连接BM,FM,

因为F,M分别为PC,4C的中点，所以

FM//PA,所以iBPM（或其补角）为异面直线BF和P4所成角,因为

pC=AC=2BC=4,C为以

48为直径的圆上的点，所以乙478=90。，所以

在直角三角形8cM中，BC=

MC=2,Z.BCM=90°,

由勾股定理得8M=2/2，

因为点P在圆。所在平面上的射影哈是圆。上的点C,

所以PO1面A8C,又BC,AC在平面内，

所以PCJL8C,PC1AC,又BC=CF=MC=2,

所以Br=FM=2/I，所以三角形8MF为正三角形，48rM=60。，

异面直线BF和P｛所成角是60。；

(2)由(1)知BC1PC,BCLAC,PCOAC=C,

得BCJ"平面P&4,且DCu平面PC4,

所以BC1CD,y.BCLAC,

所以，DCA为二面角D-BC-A的平面角，

在等腰直角三角形PCA中易知/。以=45。，

故二面角。-BC-A的大小为45。.

17.【答案】解：⑴由。2=瓦？•前?-ZCS,

可得=c-a-cosB-2y/~3x^acsinB,即c=acosB—V3asinF,

结合正弦定理可得sinC=sin力cosB—VSsin/lsinB.

在公力BC中，sinC=sin[jr-(A+8)]=s\n(A+B)=sin/lcosB+cos/sinR,

所以sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB-x/-3sinzlsinF,

整理得cosAsinB=-CsinAsinB.因为8e(0,兀)，sinB>0,

故cos/=-V3sin4即taru4=——,又AW(0,兀)，所以A=3;r；

Jb

(2)因为。是边BC的中点，故SM8D=SMCD，

乂48_L/10,所以=Jb.AO.sin4ZX4C,

即;cYD=%.4D・sin(即_[),

L乙。乙

整理得c=^b①，

在公力8C中，由余弦定理得小=b2+c2-2bccosz.BAC,

即/+c2+Cbc=4②，联立①②，可得b=《今，c=^=,

因为。是边BC的中点，故8。=1,在中，由勾股定理得

AD2=BD2-AB2=l-(^)2=去，所以40=等.

IX.【答案】(1)解：•・•△P/W为F匚角形,N为4。中点.

APN1AD.

乂•.■平面P401平面4BCD,平面PADC平面48CD=AD,

•••PN1平面4BCD.又NCu平面4BCD,

PN1NC,

NDNC为二面角。-PN-C的平面角，二tan乙DNC=2=篇.

又DN=1,0C=2,.•.底面48CD为正方形.又易得PN=C，

.•.匹棱锥尸-的体积V=Jx2x2xC=殍.

(2)证明:由(1)知,PN1平面ABCD,DMa^ABCD,.-.PN1DM.

在正方形4BCD中，易知ADAMNACDN,•••乙ADM=£DCN.

而，40M+4M0C=9O°,

Z.DCN+Z.MDC=90°,:.DM1CN.

•••PNC\CN=N,:.DM_L平面PNC.

•••PCu平面PNC,ADM1PC.

(3)解：设DMCCN=O,连接P0,MN.

vDM1平面PNC,4MP0为直线PM与平面PNC所成的角.

77T9汨八A”/~Frin1x22门.rp2/53/o

"J求得，DM=v5,DO=—?=■=-z—,AMO=v5-----=-

v5555

又MN=