复变函数与积分变换 课件 第3章-复积分

习惯于思考、联想的人一定会走得深些、远些，没有思考、联想的人，虽然读万卷书，依然看不到书外的问题。——华罗庚第三章复变函数的积分§3.1复变函数的积分§3.2Cauchy积分定理§3.3积分基本公式与高阶导数公式主要内容

本章介绍复变函数的积分概念，解析函数积分的主要性质.重点是Cauchy积分定理、Cauchy积分公式、Cauchy(高阶)导数公式。§3.1复变函数积分的概念3.1.1复积分的定义3.1.2复积分存在的一个条件3.1.3复积分的性质与计算复习核心思想是什么？微积分学的现实意义abxyC定义3.1设

C

为简单光滑的有向(1)将曲线

C

任意划分：函数在

C

上有定义，令zkz0zkznzk-1(2)在每个弧段上任取一点若

存在(不依赖

C

的划分和的选取)，则称之为沿曲线

C

的积分，记为曲线，其方向是从a

到b，3.1.1复积分的定义表示沿曲线

C

的注(1)负方向积分；表示沿闭曲线

G(2)(的逆时针方向)积分；=

即其中f(z)

称为被积函数，C称为积分路径.可以看出，当C为x轴上的区间复积分即为一元实函数的定积分.,而f(z)=u(x)时，3.1.2复积分存在的一个条件定理3.1

若函数f(z)

=u(x,y)+iv(x,y)在光滑曲线C上连续，则f(z)沿曲线C的积分存在，且

由定理3.1它给出了复变函数积分存在的一个充分条件；它提供了计算复变函数积分的一种方法；研究复变函数的积分问题，可以转化为研究实变量的二元实值函数沿曲线C的线积分问题．从形式上可以看成第一类曲线积分(1)(4)(2)(3)其中，其中，L为曲线C的弧长。3.1.3复积分的性质与计算一、复积分的性质注：高等数学中积分中值定理，在复积分中不成立，例如，但任意给定的，显然

估计如的模的一个上界，其中

C

如图所示。xyCi1-1解二、复积分的计算常用方法：直接化为定积分

设曲线则其中，一般需要三个步骤：写出曲线C的参数方程z=z(t)=x(t)+i

y(t),(α≤t≤β)

；

将z=z(t)与dz=z′(t)dt代入被积表达式中，化为关于参数t的定积分；注意定积分的下限、上限分别对应于C的起点和终点．

解xyC21计算例3.1其中

C

为0到1+2i的直线段．C的方程为z=(1+2i)t(0≤t≤1)将z=(1+2i)t

，dz=(1+2i)dt代入所求积分，得xyC1C2C3i1计算例3.2其中

C

为：(1)(2)解(1)曲线

C3的方程为将dz=(1+i)dt，Rez=t

代入所求积分，得

解(2)曲线

C1的方程为曲线

C2的方程为xyC1C2C3i1计算例3.2其中

C

为：(1)(2)

由计算结果可以看出，本题中C的起点和终点虽然相同，但路径不同，积分的值不同.解积分路径的参数方程为例3.3

证明积分(n是整数),其中C是圆周:的正向.重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关.注

此例的结果很重要！

例3.4计算，

其中(1)

C为单位圆周的上半部分从1到-1的弧．

(2)C为单位圆周的下半部分从1到-1的弧．解

(1)

C的方程为于是(2)C的方程为于是都是从相同的起点到相同的终点,沿着两条不注意1

从例题看到,积分和相同的路径进行时,积分值不同,积分值相同.是否可以讨论积分与积分路径的关系?注意2

一般不能将函数f(z)在以a为起点,以b为终点的曲线C上的积分记成因为积分值可能与积分路径有关,所以记§3.2柯西积分定理3.2.1单连通区域的柯西定理——柯西-古萨基本定理3.2.2复积分的牛顿-莱布尼兹公式3.2.3复连通区域的柯西定理——复合闭路定理D定理3.2设函数

f(z)

在单连通域

D

内解析，G

为D

内的任意一条简单闭曲线，则有GG3.2.1单连通区域的柯西定理——柯西-古萨基本定理证

用黎曼(1851年在添加条件下给出)的证明方法，依此法，是在添加条件“

f′(z)在G内连续”下证明．设z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

，Green公式(?)C

-

R方程1900年古萨(GourSat)在免去f′(z)在G内连续这一假设条件下，给出新的证明，证明过程比较复杂，我们在这里就不证了.定理3.2称为积分基本定理，又常称作柯西-古萨基本定理(或柯西积分定理)．定理3.2揭示了解析函数的一个深刻性质，即解析函数沿其解析区域内的任意一条围线的积分为零，亦即解析函数的积分只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径无关．另外，定理3.2提供了一种计算解析函数沿围线积分的方法．定理3.3设函数f(z)

在复平面上的单连通区域D内处处解析，则积分f(z)在D内积分与路径无关，仅与起点、终点有关.即对D内任意两点，积分的值，不依赖与D内连接起点与终点的曲线.的简单曲线，路径无关性定理3.3设函数

f(z)

在单连通域

D

内解析，C1,

C2

为

D

内的任意两条从到证明由

可见，解析函数在单连域内的积分只与起点和终点有关，则有3.2.2复积分的牛顿-莱布尼兹公式由定理3.3知道，解析函数f(z)在单连通区域内的积分只与起点与终点有关，即当下限固定，上限在D内变动时，积分即为上限的函数，记为D定理3.4若

在单连域

D

内处处解析，则在

D

内解析，且

令定理3.5若

在单连域

D

内处处解析，为

的原函数，

由此是的一个原函数.Newton-Leibniz公式复积分的换元积分公式复积分的分部积分公式例3.5求解求解例3.6练习解使用“凑微分”解利用分部积分法可得练习3.2.3复连通区域的柯西定理——复合闭路定理定理3.6

(泼拉德定理)设围线C是单连通区域D的边界，若

f(z)

在D内解析，且在上连续，则

该定理与柯西积分定理是等价的.在柯西积分定理中，我们所考虑的区域D是单连通的，f(z)在D内解析，如果这两个条件有一个不满足，一般来说定理的结论就不再成立.如果f(z)在D内有奇点，我们考虑将这些奇点挖去，于是区域就含有“洞”，这样单连通区域就变成多连通区域，于是得到在多连通区域上的解析函数的积分定理.定理3.7（复合闭路定理）设有围线C0，C1，C2，，Cn，

其中C1，C2，，Cn

均在C0的内部，且中的每一条均在其余各条的外部；又设C1，C2，，Cn

G为由C0的内部与C1，C2，，Cn

的外部相交的部分组成的复连通区域，若f(z)在G内解析，且在闭区域上连续，则

DC1C2C0C3Cn…(2)

其中(C0取正向，C1，C2，，Cn都取负向)

(1)

其中C1，C2，Cn

都取正向.如设二连域

D

的边界为

(如图)，或Dab分析如图，作线段

a

b，则二连域D

变为单连域，由或函数在

D

内解析，在

D+C

上连续，则从而有D

在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，称此为闭路变形原理。

闭路变形原理如图，设在

D

内解析，在边界上连续，G为

D

内的一条“闭曲线”，则DrCG解如图以

为圆心

r

为半径作圆，则函数在因此有当时，当时。上解析，▲重要

例

3.7解显然函数

例3.8

计算积分其中C为圆周在复平面有两个奇点0和1,并且G包含了这两个奇点.打洞!根据,Cauchy定理重要公式Cauchy定理重要公式（挖“奇点”法）§3.3积分基本公式与高阶导数公式3.3.1柯西积分公式3.3.2高阶导数公式实际问题：

如果测得地球表面各点的温度，能否测得地心的温度？如何测？寻求：由D边界上的函数值导出D内点的函数值的表达式.数学模型3.3.1柯西积分公式DC一、柯西积分公式Gd定理3.8如果函数在区域D

内解析，在D+

C

上连续，证明(思路)如图，以为圆心，d

为半径作圆

G，则左边右边|

右边

-

左边

|则(跳过?)在D+

C

上连续，

则一、柯西积分公式定理3.8如果函数在区域D

内解析，DdGC证明(思路)(当充分小时)|

右边

-

左边

|即只要

d足够小，所证等式两边的差的模可以任意小，由于左边与右边均为常数，与

d无关，故等式成立。在边界

C

上连续，

则一、柯西积分公式定理3.8如果函数在区域D

内解析，DdGC意义将换成，积分变量换成，

解析函数在其解析区域内的值完全由边界上的值确定。

换句话说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种特定的积分形式表达出来。则上式变为是多连域。一、柯西积分公式注意柯西积分公式中的区域D

可以应用

推出一些理论结果，从而进一步认识解析函数。比如对于二连域

D

,其边界为，DC1

反过来计算积分则

P53推论

3.3

在上解析

例3.9(1)解(柯西积分公式)求下列积分（取圆周正向）解(2)在C内解析，被积函数在C内有奇点-i，则C1C2令解则令

C1：

C2：

其中

C

如图所示。(3)C201则(复合闭路定理)(柯西积分公式)C203-

3解

试考虑积分路径为的情况。定理3.9如果函数在区域D

内解析，在上连续，则的各阶导数均在

D

上解析，证明(略)意义解析函数的导数仍解析。应用

推出一些理论结果。

反过来计算积分且(进入证明?)3.3.2高阶导数公式一、高阶导数定理分析则由柯西积分公式有又……如果函数在区域D

内解析，在上连续，二、平均值公式如果函数在内解析，定理(平均值公式)在上连续，qxRyC证明由柯西积分公式有则有

P53推论3.2

(连续函数的平均值)例3.10计算下列积分解

（1）在C内解析，被积函数在C内有奇点i，由高阶导数公式得(2)令

则(复合闭路定理)C2C1C2

i-

i如图，作

C1

,C2两个小圆，记为

C2C2-

iC1

i(高阶导数公式)同样可求得复变函数的积分积分存在的条件及计算积分的性质Cauchy积分定理原函数的概念复合闭路定理Cauchy积分公式高阶导数公式Newton-Leibniz公式本章内容总结1.Cauchy积分定理2.复合闭路定理

3.Cauchy积分公式与高阶导数公式本章的重点4.复变函数积分的计算完了？谁完了？积分学，学完了Classisover祝你下课！第三章完GeorgeGreen(1793.7.14-1841.5.31)自学而成的英国数学家、物理学家.出色地将数学方法应用到电磁理论和其他数学物理问题.1928年出版了出版了小册子《数学分析在电磁学中的应用》,其中有著名的Green公式.40岁进入剑桥大学学习,1839年聘为剑桥大学教授.他的工作培育了数学物理学者的剑桥学派,其中包括G.Stokes和C.Maxwell.IsaacNewton

(1642.12.25-1727.3.20)伟大的英国物理学家和数学家.1661年,进入剑桥大学三一学院学习.大学毕业后,在1665和1666年期间,Newton做了具有划时代意义的三项工作:微积分、万有引力和光的分析.1687年发表《自然哲学之数学原理》.1669年任剑桥大学教授,1703年当选为皇家学会会长,1705年被英国女王授予爵士称号.他还担任过造币厂厂长.Natureand

Nature’slawslayhi