高考物理一轮复习 知识点29：万有引力定律及其应用（不考虑星球自转）（提高解析版）

知识点29：万有引力定律及其应用（不考虑星球自转）考点一：应用万有引力定律计算万有引力题型一：均匀球体与均匀球体之间万有引力的计算【知识思维方法技巧】（1）均匀球体与均匀球体之间万有引力计算的方法：万有引力定律法利用万有引力定律计算均匀介质球体之间的万有引力时，可以认为匀质球体质量集中于球心，r为两球心的距离，万有引力大小为F＝Geq\f(m1m2,r2)，引力的方向沿两球心的连线。（2）计算特殊均匀球体与质点之间万有引力的方法：填补法在质量分布均匀的实心球中挖去小球后其质量分布不再均匀，不可再随意视为质点处理.运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想。【典例1提高题】(多选)如图所示，两星球相距为L，质量比为mA∶mB＝1∶9，两星球半径远小于L.从星球A沿A、B连线向B以某一初速度发射一探测器．只考虑星球A、B对探测器的作用，下列说法正确的是()A．探测器的速度一直减小B．探测器在距星球A为eq\f(L,4)处加速度为零C．若探测器能到达星球B，其速度可能恰好为零D．若探测器能到达星球B，其速度一定大于发射时的初速度【典例1提高题】【答案】BD【解析】探测器从A向B运动，所受的万有引力合力先向左再向右，则探测器的速度先减小后增大．故A错误．当探测器合力为零时，加速度为零，则有：Geq\f(mmA,r\o\al(2,A))＝Geq\f(mmB,r\o\al(2,B))，因为mA∶mB＝1∶9，则rA∶rB＝1∶3，知探测器距离星球A的距离为x＝eq\f(L,4).故B正确．探测器到达星球B的过程中，由于B的质量大于A的质量，从A到B万有引力的合力做正功，则动能增加，所以探测器到达星球B的速度一定大于发射时的初速度．故C错误，D正确．题型二：均匀球体与球体外质点之间万有引力的计算【知识思维方法技巧】均匀球体与球体外质点之间万有引力计算的方法：万有引力定律法用万有引力定律计算均匀介质球体与球体外质点之间的万有引力时，可认为匀质球体的质量集中于球心，r为两球心的距离，万有引力大小为F＝Geq\f(m1m2,r2)，引力的方向沿两球心的连线。【典例2提高题】2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是()【典例2提高题】【答案】D【解析】由万有引力公式F＝Geq\f(Mm,R＋h2)可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A。故选D。题型三：均匀球体与球体表面质点之间万有引力的计算【知识思维方法技巧】均匀球体与球体表面质点之间万有引力计算的方法：万有引力定律法利用万有引力定律计算均匀介质球体与球体表面质点之间的万有引力时，可以认为匀质球体的质量集中于球心，r为两球心的距离，万有引力大小为F＝Geq\f(m1m2,r2)，引力的方向沿两球心的连线。【典例3提高题】火星的质量约为地球质量的eq\f(1,10)，半径约为地球半径的eq\f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为()A．0.2B．0.4C．2.0 D．2.5【典例3提高题】【答案】B【解析】万有引力表达式为F＝Geq\f(Mm,r2)，则同一物体在火星表面与地球表面受到的引力的比值为eq\f(F火引,F地引)＝eq\f(M火req\o\al(2,地),M地req\o\al(2,火))＝0.4，选项B正确．【典例3提高题对应练习】从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越．已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍．在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程．悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为()A．9∶1B．9∶2C．36∶1 D．72∶1【典例3提高题对应练习】【答案】B【解析】悬停时所受平台的作用力等于万有引力，根据F＝Geq\f(mM,R2)，可得eq\f(F祝融,F玉兔)＝Geq\f(M火m祝融,Req\o\al(2,火))∶Geq\f(M月m玉兔,Req\o\al(2,月))＝eq\f(9,22)×2＝eq\f(9,2)，故选B．题型四：均匀球体与球体内质点之间万有引力的计算【知识思维方法技巧】计算均匀球体与球体内质点之间的方法：推论法（1）推论Ⅰ：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。（2）推论Ⅱ：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝Geq\f(M′m,r2)。（2）计算特殊均匀球体与质点之间万有引力的方法：填补法在质量分布均匀的实心球中挖去小球后其质量分布不再均匀，不可再随意视为质点处理.运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想。【典例4提高题】如图所示，O1是一个半径为2R，质量为M的密度均匀球体的球心，现在其内以O2为球心挖去一个半径为R的球，并在O2处放置一个质量为m的质点。若已知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，则O1球剩余部分对O2处质点的万有引力为()A．eq\f(GMm,8R2)B．eq\f(GMm,4R2)C．eq\f(7GMm,8R2) D．eq\f(GMm,R2)【典例4提高题】【答案】A【解析】若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差，由于质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，故O2处质点所受的万有引力可等效于半径为R的球对处于其表面质量为m的质点的引力。易知半径为R的球质量为eq\f(1,8)M，则由万有引力定律知道剩余部分对O2处质点的万有引力为eq\f(GMm,8R2)，故A正确。【典例4提高题对应练习】如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体．从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，引力常量为G)()A.G B.0 C.4G D.G【典例4提高题对应练习】【答案】D【解析】若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对质点的万有引力等于完整大球体对质点的万有引力与挖去的小球体对质点的万有引力之差，挖去的小球体球心与质点重合，对质点的万有引力为零，则剩余部分对质点的万有引力等于完整大球体对质点的万有引力．以完整大球体球心为中心分离出半径为的球，易知其质量为M，则分离后的均匀球壳对质点的万有引力为零．综上可知，剩余部分对质点的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律，F＝G＝G，故D正确．考点二：应用万有引力定律分析计算天体运动【知识思维方法技巧】解决天体圆周运动问题的两条思路：（1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝meq\f(4π2r,T2)＝man.（2）在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时，万有引力等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，整理得GM＝gR2，称为黄金代换．(g表示天体表面的重力加速度)题型一：环绕中心天体运动各物理参量的比较及计算【知识思维方法技巧】解决天体环绕运动各物理量的比较解题思路：（1）列出四个连等式：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma。（2）导出四个表达式：a＝eq\f(GM,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))。结合r大小关系，比较得出a、v、ω、T的大小关系。可记忆为“三同一异，越高越慢”，只有T与r变化一致。【典例1提高题】如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M1和2M1的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是()A.甲的向心加速度比乙的小 B.甲的运行周期比乙的小C.甲的角速度比乙的大 D.甲的线速度比乙的大【典例1提高题】【答案】A【解析】根据G＝ma可得a＝G，则a1＝a2<a2，故A正确；根据公式G＝m可得T＝2π，则T1＝T2>T2，故B错误；根据公式G＝mω2r可得ω＝，则ω1＝ω2<ω2，故C错误；根据G＝m，可得v＝，则v1＝v2<v2，故D错误．【典例1提高题对应练习】“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季．假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍．火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动．下列关于火星、地球公转的说法正确的是()A．火星公转的线速度比地球的大B．火星公转的角速度比地球的大C．火星公转的半径比地球的小D．火星公转的加速度比地球的小【典例1提高题对应练习】【答案】D【解析】由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期，根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，结合C选项解析，可知火星公转的线速度小于地球公转的线速度，故A错误；根据ω＝eq\f(2π,T)可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝ma，可得a＝eq\f(GM,r2)，可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确．题型二：中心天体质量和密度的计算【知识思维方法技巧】计算中心天体质量和密度的两个方法:（1）卫星环绕法（“T、r”法）：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。①由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得中心天体M＝eq\f(4π2r3,GT2)。②若已知天体的半径R，则就能得到中心天体的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。特别是当卫星绕中心天体表面运行时，则中心天体的平均密度ρ＝eq\f(3π,GT2)。（2）重力加速度法（“g、R”法）：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq\f(gR2,G)。天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。【典例2提高题】假设某探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为T，已知火星的半径为R1，地球的半径为R2，地球的质量为M，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则火星的质量为()A. B. C. D.【典例2提高题】【答案】A【解析】对绕地球表面运动的物体，由牛顿第二定律可知：G＝mg，对绕火星表面做匀速圆周运动的探测器有：＝m′()2R1，结合两个公式可解得：M火＝，故A正确．【典例2提高题对应练习】2020年11月24日，我国成功发射“嫦娥五号”探测器，开启我国首次月面取样返回之旅，已知月球半径为R0，月球表面处重力加速度为g0。地球和月球的半径之比为eq\f(R,R0)＝4，表面重力加速度之比为eq\f(g,g0)＝6，则地球和月球的密度之比eq\f(ρ,ρ0)为()A．eq\f(2,3)B．eq\f(3,2)C．4D．6【典例2提高题对应练习】【答案】B【解析】由Geq\f(Mm,R2)＝mg得GM＝gR2，又ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，联立解得ρ＝eq\f(3g,4GπR)，同理ρ0＝eq\f(3g0,4GπR0)，则eq\f(ρ,ρ0)＝eq\f(gR0,g0R)，将eq\f(R,R0)＝4，eq\f(g,g0)＝6代入上式，解得eq\f(ρ,ρ0)＝eq\f(3,2)，选项B正确。题型三：中心天体表面重力加速度的计算【知识思维方法技巧】计算天体表面重力加速度的方法：不考虑地球自转时，地球表面处：由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得g＝Geq\f(M,R2)，也适用于其他星体表面。【典例3提高题】科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的．电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实的黑洞模样．若某黑洞的半径R约为45km，质量M和半径R的关系满足eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)(其中c＝3×108m/s，G为引力常量)，则该黑洞表面的重力加速度大约为()A．108m/s2 B．1010m/s2C．1012m/s2 D．1014m/s2【典例3提高题】【答案】C【解析】黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，设黑洞表面的重力加速度为g，对黑洞表面的某一质量为m的物体，有eq\f(GMm,R2)＝mg，又有eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)，联立解得g＝eq\f(c2,2R)，代入数据得重力加速度约为1012m/s2，故C正确．【典例3提高题对应练习】(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处．若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计．则()A．g′∶g＝1∶5B．g′∶g＝5∶2C．M星∶M地＝1∶20D．M星∶M地＝1∶80【典例3提高题对应练习】【答案】AD【解析】设初速度为v0，由对称性可知在地球表面竖直上抛的小球在空中运动的时间t＝eq\f(2v0,g)，在某星球同理，因此得eq\f(g′,g)＝eq\f(t,5t)＝eq\f(1,5)，选项A正确，B错误；在地球表面由Geq\f(M地m,R地2)＝mg得M地＝eq\f(gR地2,G)，在某星球同理，则eq\f(M星,M地)＝eq\f(g′R星2,gR地2)＝eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(1,80)，选项C错误，D正确．考点三：应用万有引力定律分析计算地球卫星运动题型一：地球卫星运动各物理参量的比较及计算【知识思维方法技巧】解决人造卫星圆周运动的两条思路：（1）人造卫星的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。人造卫星运动的向心力来源于地球与人造卫星之间的万有引力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝meq\f(4π2r,T2)＝man.（2）在地球表面或附近运动而又不涉及地球自转运动时，万有引力等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，整理得GM＝gR2，称为黄金代换．（g表示地球表面的重力加速度）类型一：地球一般卫星运行参量的计算【典例1a提高题】嫦娥四号中继星位于地月拉格朗日点，距地球约46万公里．中继星绕地球转动的周期与月球绕地球转动的周期相等．已知地月距离为38万公里，则中继星绕地运行时()A．角速度小于月球绕地运行的角速度B．线速度小于月球绕地运行的线速度C．所受地球的引力大于月球所受地球的引力D．向心加速度大于月球绕地运行的向心加速度【典例1a提高题】【答案】D【解析】因中继星绕地球转动的周期与月球绕地球转动的周期相等，由ω＝eq\f(2π,T)得，二者绕地运行的角速度相等，中继星的轨道半径比月球绕地球的轨道半径大，根据v＝rω，a＝ω2r知中继星绕地球转动的线速度和向心加速度比月球绕地球转动的线速度和向心加速度大，故A、B错误，D正确；中继星的质量远小于月球的质量，故所受地球的引力小于月球所受地球的引力，故C错误．类型二：地球近地卫星运行参量的计算【知识思维方法技巧】近地卫星运行参量计算的技巧：（1）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径r＝R（地球半径），运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9km/s(人造地球卫星的最大运行速度)，T＝85min（人造地球卫星的最小周期）．（2）在地球表面附近运动时，万有引力等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，整理得GM＝gR2，称为黄金代换．（g表示地球表面的重力加速度）【典例1b提高题】近地卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，若其轨道半径近似等于地球半径R，运行周期为T，地球质量为M，引力常量为G，则()A．近地卫星绕地球运动的向心加速度大小近似为eq\f(2π2R,T2)B．近地卫星绕地球运动的线速度大小近似为eq\r(\f(R,GM))C．地球表面的重力加速度大小近似为eq\f(M,GR2)D．地球的平均密度近似为eq\f(3π,GT2)【典例1b提高题】【答案】D【解析】由向心加速度公式可知，近地卫星绕地球运动的向心加速度大小an＝ω2R＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)R＝eq\f(4π2R,T2)，故A错误；近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，由向心力公式得Geq\f(Mm,R2)＝eq\f(mv2,R)，解得近地卫星绕地球运动的线速度大小v＝eq\r(\f(GM,R))，故B错误；地球表面的重力等于万有引力，所以有mg＝Geq\f(Mm,R2)，地球表面的重力加速度大小为g＝eq\f(GM,R2)，故C错误；近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，由向心力公式得Geq\f(Mm,R2)＝mrω2＝mReq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)，解得地球的质量为M＝eq\f(4πR3,GT2)，地球的平均密度为ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3π,GT2)，故D正确。【典例1b提高题对应练习】2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课．通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们()A．所受地球引力的大小近似为零B．所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零C．所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等D．在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小【典例1b提高题对应练习】【答案】C【解析】航天员在空间站中所受的地球引力完全提供做圆周运动的向心力，飞船对其作用力等于零，故C正确，A、B错误；根据F＝Geq\f(Mm,r2)可知，他们在地球表面上所受引力的大小大于在飞船中所受的万有引力大小，因此在地球表面所受引力大小大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D错误．类型三：地球极地卫星运行参量的计算【知识思维方法技巧】极地卫星运行参量计算的技巧：极地卫星运行时每圈都经过南北两极，即在垂直于赤道的平面内做匀速圆周运动的卫星，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。如极地气象卫星。【典例1c提高题】（多选）轨道平面与赤道平面夹角为90°的人造地球卫星被称为极地轨道卫星，它运行时能到达南北极的上空，需要在全球范围内进行观测和应用的气象卫星、导航卫星等都采用这种轨道．如图所示，若某颗极地轨道卫星从北纬45°的正上方按图示方向首次运行到南纬45°的正上方用时45分钟，则()A．该卫星的运行速度一定小于7.9km/sB．该卫星绕地球运行的周期与地球同步卫星的周期之比为1∶4C．该卫星的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径之比为1∶4D．该卫星的加速度与地球同步卫星的加速度之比为2∶1【典例1c提高题】【答案】AC【解析】由于卫星的轨道半径大于地球半径，所以卫星的线速度小于第一宇宙速度，即卫星的线速度小于7.9km/s，故A正确；由题意可知，卫星的周期T＝eq\f(360°,90°)×45min＝180min＝3h，而地球同步卫星的周期是24h，故它与地球同步卫星的周期之比为1∶8，故B错误；由万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，解得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，该卫星轨道半径与地球同步卫星轨道半径之比eq\f(r,r同步)＝eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,T同步)))2)＝eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,24)))2)＝eq\f(1,4)，故C正确；由万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，该卫星加速度与地球同步卫星加速度之比为eq\f(a,a同步)＝eq\f(r\o\al(2,同步),r2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,1)))2＝eq\f(16,1)，故D错误．类型四：地球同步卫星运行参量的计算【知识思维方法技巧】同步卫星的物理规律有“七个一定”的特点：①不快不慢：具有特定的运行线速度v＝eq\r(\f(GM,R＋h))≈3.1×103m/s、角速度和周期T＝24h。②不高不低：具有特定的位置高度h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R≈3.6×107m和轨道半径。③不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能在赤道上方特定的点运行，运行方向与地球自转方向一致。覆盖全球信号只需三颗卫星：由数学知识及上面的数据可算出一颗同步卫星可覆盖大于三分之一的地球面积，所以，均匀分布的三颗同步卫星就可覆盖全球。【典例1d提高题】2024年我国或将成为全球唯一拥有空间站的国家．若我国空间站离地面的高度是同步卫星离地面高度的eq\f(1,n)，同步卫星离地面的高度为地球半径的6倍．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，则空间站绕地球做圆周运动的周期的表达式为()A．2πeq\r(\f(n＋63R,n3g))B．2πeq\r(\f(n＋6R,ng))C．2πeq\r(\f(n＋63R,ng)) D．2πeq\r(\f(ngR,n＋6))【典例1d提高题】【答案】A【解析】在地球表面物体所受重力近似等于万有引力，即mg＝Geq\f(Mm,R2)，得GM＝gR2，空间站绕地球做匀速圆周运动时，Geq\f(Mm′,r2)＝m′req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2，轨道半径r＝R＋eq\f(1,n)×6R＝R＋eq\f(6R,n)，联立解得：T＝2πeq\r(\f(r3,GM))＝2πeq\r(\f(n＋63R,gn3))，故B、C、D错误，A正确．类型五：地球人造卫星运行参量的比较及计算【知识思维方法技巧】解决人造卫星绕地球运行参量的比较解题思路：（1）列出四个连等式：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma。（2）导出四个表达式：a＝eq\f(GM,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))。结合r大小关系，比较得出a、v、ω、T的大小关系。可记忆为“三同一异，越高越慢”，只有T与r变化一致。【典例1e提高题】如图所示，卫星a、b、c沿圆形轨道绕地球运行．a是极地轨道卫星，在地球两极上空约1000km处运行；b是低轨道卫星，距地球表面高度与a相等；c是地球同步卫星，则()A．a、b的周期比c大B．a、b的向心力一定相等C．a、b的速度大小相等D．a、b的向心加速度比c小【典例1e提高题】【答案】C【解析】根据万有引力提供向心力有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma，可知v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，T＝eq\f(2π\r(r3),\r(GM))，a＝eq\f(GM,r2)，由此可知，半径越大，线速度、角速度、向心加速度越小，周期越长，因为a、b卫星的半径相等，且比c小，因此a、b卫星的线速度大小相等，向心加速度比c大，周期小于卫星c的周期，选项C正确，A、D错误；由于不知道三颗卫星的质量关系，因此不清楚向心力的关系，选项B错误．【典例1e提高题对应练习】2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的()A．周期为eq\r(\f(4π2r3,GM)) B．动能为eq\f(GMm,2R)C．角速度为eq\r(\f(Gm,r3)) D．向心加速度为eq\f(GM,R2)【典例1e提高题对应练习】【答案】A【解析】嫦娥四号探测器环绕月球做匀速圆周运动时，万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，有eq\f(GMm,r2)＝mω2r＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r＝ma，解得ω＝eq\r(\f(GM,r3))、v＝eq\r(\f(GM,r))、T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))、a＝eq\f(GM,r2)，则嫦娥四号探测器的动能为Ek＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(GMm,2r)，由以上可知A正确，B、C、D错误。题型二：地球质量和密度的计算【典例2提高题】2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是()A．核心舱的质量和绕地半径B．核心舱的质量和绕地周期C．核心舱的绕地角速度和绕地周期D．核心舱的绕地线速度和绕地半径【典例2提高题】【答案】D【解析】根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r，可得M＝eq\f(v2r,G)＝eq\f(ω2r3,G)＝eq\f(4π2r3,GT2)，可知已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期以及已知核心舱的角速度和绕地周期，都不能求解地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可求解地球的质量．故选D．【典例2提高题对应练习】利用引力常量G和下列某一组数据，能计算出地球质量的是()A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离【典例2提高题对应练习】【答案】ABC【解析】由于不考虑地球自转，则在地球表面附近，有Geq\f(Mm0,R2)＝m0g，可得M＝eq\f(gR2,G)，故A项