《高等数学 上册》课件 5.2微积分基本公式

上一节，我们介绍了定积分的定义和性质，但并未给出一个有效的计算方法．即使被积函数很简单，如果利用定义计算其定积分也是十分麻烦的．因此必须寻求计算定积分的新方法．导

言第二节：微积分基本公式第五章：定积分讲解：数学教研室单位：公共课部目录CONTENTS二、积分上限函数及其导数一、变速直线运动的路程四、小结三、牛顿—莱布尼茨公式1变速直线运动的路程一.变速直线运动的路程设某物体作变速直线运动，在t时刻的位置为s(t)，速度为v(t)=s’(t)，则该物体在时间间隔[a,b]上所经过的路程有以下两种表示：于是推广这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.猜测：2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式2积分上限函数及其导数2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式定义5-2若f(x)在区间[a,b]

上可积，则称积分为f(x)在区间[a,b]上的积分上限函数(变上限积分函数)；yxy=f(x)axbOAB记为C类似地，有

称为f(x)在区间[a,b]

上的变下限积分函数；统称为变限积分函数.(2)(1)接下来仅讨论变上限积分函数的性质，而变下限积分函数性质可以相应给出。2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式yxy=f(x)axbOAB

定理5-32.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式(x)Δyy=f(t)abOtxx+Δx2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式例5-8已知，求解：积分上限函数的导数12.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式例5-9已知，求解：2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式

练习P183习题5-2第1题2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式定义

若f(x)在区间[a,b]

上可积，则称积分为f(x)在区间[a,b]

上的变上限复合积分函数；可看作和复合而成22.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式例5-10已知，求解：该函数为变上限复合积分函数2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式计算下列导数：（9）解:（9）

练习P183习题5-2第1题2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式3212.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式求解：例5-112.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式综合练习

P183习题5-2第1题2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式例5-12

求解：利用洛必达法则2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式求利用洛必达法则解：例5-132.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式练习解：P183习题5-2第2题2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式定理5-4若f(x)在区间[a,b]

上连续，是函数f(x)在区间[a,b]

则函数

上的一个原函数.（原函数存在定理）说明：定理2

证明了连续函数的原函数是存在的，同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式3牛顿—莱布尼茨公式如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是

f(x)在区间[a,b]

上任一原函数，那么（牛顿－莱布尼茨公式）三、微积分基本定理定理5-5

2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式证:根据定理1,故因此得记作2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式微积分基本公式架起了不定积分和定积分之间的桥梁.注意求定积分问题转化为先求原函数的问题.2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式积分中值定理微分中值定理微积分基本公式2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式例5-14解由于

是

的一个原函数，故由N-L公式有

计算2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式解由于

是

的一个原函数，故由N-L公式有（3）练习P183习题5-2第4题2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式例5-15

计算

2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式

计算例5-162.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式基本积分表非常重要，必须熟记！2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式

练习P183习题5-2第4题2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式

答案2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式例5-17解:逐项积分求

2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式例5-18

加项减项解:2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式练习P183习题5-2第4题计算下列定积分2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式解：求例5-192.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式练习P183习题5-2第4题2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式解:设函数计算例5-202.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式练习解:

P183习题5-2第4题2.积分上限函数及其导数1.变速直线运动的路程3.牛顿—莱布尼茨公式1.微积分基本公式2.积分上限函数3.积分上限函数的导数小结微积分基本公式作

业

习题5-21（6）,4(12、13)