湖南省长沙大学附属中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试卷（解析版）

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※第=page1212页，共=sectionpages1313页长沙大学附属中学高三10月月考数学试题卷一、单选题1.已知集合A={1,2},B={1,2,3},C=x∣x2A．∅ B．{1,2,3} C．3 D．{1,2}【答案】D【解析】A∩B={1,2},C=x∣所以(A∩B)∩C={1,2}.故选D.2.已知z=12-A．12 B．22 C．32 D【答案】B【解析】由复数模的公式可知，|z|=1故选：B．3.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若c=4，A=π3，且BE为边AC上的高，AD为边BC上的中线，则ADA．2 B．-2 C．6 D．-6【答案】D【解析】因为AD为边BC上的中线，所以AD⟶又BE为边AC上的高，所以AC⋅在Rt△ABE中，AE所以AD=1故选D.4.已知sinα-π6A．-79 B．79 C．-42【答案】B【解析】由题意结合诱导公式得sin2α+由二倍角的余弦公式得cos(2α-π3)=1-2si故选：B5.已知l,m是两条不同的直线，α为平面，m⊂α，下列说法中正确的是()A．若l∩α=A，且l与α不垂直，则l与m一定不垂直B．若l与α不平行，则l与m一定是异面直线C．若l∩α=A，且A∉m，则l与m可能平行D．若l//α，则l与m可能垂直【答案】D【解析】对A：在平面α内，存在无数条直线和l垂直，故A错误；对B：当l⊂α时，l与m不是异面直线，故B错误；对C：若l∩α=A，且A∉m，l与m为异面直线，故C错误；对D：若l//α，在α内存在直线与l垂直，故其可能与m垂直，故D正确.故选D.【分析】结合点线面之间的关系逐项判断即可得.6.已知函数f(x)=-x2+2ax+3a,x<-1,x3A．(-∞,-1] B．[-1,0] C．[0,1]【答案】D【解析】因为f(x)=x3+1在解得-1≤a≤1．故选D．7.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π)的部分图象如图所示，则A．π6 B．π3 C．-2π【答案】A【解析】因为图象过点5π12,05π12为函数递减区间上的零点，可得5π因为|φ|<π，所以φ=π故选A.8.定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减，且f(3)=0，若关于x的不等式(mx-2)f(x-2)≥(nx+3)f(2-x)的解集为[-1,+∞)，则em-2n+A．2e3 B．2e2 C．2e 【答案】C【解析】解：因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x-2)=f(2-x)，所以(mx-2)f(x-2)≥(nx+3)f(2-x)可化为(mx-2-nx-3)f(x-2)≥0，即[(m-n)x-5]f(x-2)≥0，因为f(x)在(-∞,0]上单调递减，且f(3)=0，所以f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(-3)=0，所以当x∈(-∞,-1)∪(5,+∞)时，f(x-2)>0，当x∈(-1,5)时，因为[(m-n)x-5]f(x-2)≥0的解集为[-1,+∞),所以当x∈[-1,5]时，(m-n)x-5≤0恒成立，或x∈(5,+∞所以m-n=1，所以em-2n当且仅当m=1，n=0时取等号故选C.二、多选题9.数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布Bn,p，那么当n比较大时，X近似服从正态分布Nμ,σ2，其密度函数为φμ，σx=12πσe-（x-μ）22A．当x>0时，P(-x≤Z<x)=1-2B．ΦC．随机变量XNμ,σ2，当μ，σD．随机变量XNμ,σ2，当μ增大，σ减小时，概率【答案】BD【解析】对于A：当x>0时，P(-x≤Z<x)=1-PZ≤-x-PZ≥x对于B：根据正态曲线的对称性可得：Φ-x=P(Z<-x)=PZ≥x=1-P(Z<x)=1-Φ对于CD：根据正态分布的3σ准则，在正态分布中σ代表标准差，μ代表均值，x=μ即为图象的对称轴，根据3σ原则可知X数值分布在μ-σ,μ+σ的概率是常数，故由P(X-μ<σ)=P(μ-σ<X<σ+μ)可知，D正确，故选BD.10.已知函数f(x)=2eA．∃x0B．函数f(x)的图象是一个中心对称图形C．曲线y=f(x)有且只有一条斜率为3的切线D．存在实数a，b，使得函数f(x)的定义域[a,b]，值域为1【答案】ABD【解析】因为f(x)=2当fx0=-52，所以2-5ex0+1=-f(-x)+fx=2-5ex+1+2-f'(x)=5exex+12=5令f(x)=12x，f(x)=y=ex,y=x+64-x有两个交点，所以存在实数a，b，使得函数f(x)的定义域[a,b]故选：ABD.11.已知点F是抛物线C：y2=8x的焦点，点A是抛物线C的准线与x轴的交点，过点A且斜率为k的直线l与CA．k的取值范围为-1，0B．AMC．若NF=2MF，则k=D．点M关于x轴的对称点在直线NF上【答案】ABD【解析】抛物线C：y2=8x，其焦点F2，0，准线x=-2，则AA选项，联立y=kx+2y2=8x，消去由直线与抛物线有两个交点，得k≠0Δ解得-1<k<1且k≠0，即k取值范围是-1，0∪0，1B选项，过M、N作准线垂线，垂足为由抛物线定义知MD=MF，根据平行线分线段成比例，可得AMAN=MDNEC选项，由NF=2MF，则设Mx1，又y1+y2D选项，直线MF斜率kMF=y1xk设M关于x轴对称点为M'，则kM'F=-kMF=kNF，且M'F综上，答案选ABD.三、填空题12.若直线x+2y-2=0经过椭圆x2a2【答案】255【解析】直线x+2y-2=0与坐标轴的交点为2,0和0,1，若2,0是椭圆的焦点，0,1是椭圆的一个顶点，此时椭圆的焦点在x轴且c=2,b=1，所以a2=b若0,1是椭圆的焦点，2,0是椭圆的一个顶点，此时椭圆的焦点在y轴且c=1,b=2，所以a2=b所以椭圆的离心率为255或故答案为：255或13.若关于x的不等式lnx≤1ax2【答案】e【解析】由a≠0，x>0，原不等式可化为lnx-1x设fx=lnx-1x，则f'x=1x∈e2,+∞，f'x<0，fx递减.x>e时，fx>0.y=1ax-ab当a>0时，ab为直线y=1ax-ab再令fx=0，可得x=e，所以ab取得最大值为e.此时a=e2，b=1e【分析】由a≠0，x>0，原不等式可化为lnx-1x≤1ax-ab.再利用导数研究函数fx=lnx-114.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，且这三个数之积为偶数，记满足条件的这三个数之和为X；从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数之积为偶数，记满足条件的两个数之和为Y.则PX=Y【答案】5【解析】从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，要满足三个数之积为偶数，则这三个数中至少有1个偶数，总共有C9从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数之积为偶数，则这两个数中至少有1个偶数，总共有C52又Xmin=6,X接下来，找出X和Y相等的情况：当X=Y=6时，满足条件的取法情况有1,2,3∼2,4，共当X=Y=7时，满足条件的取法情况有1,2,4∼2,5,当X=Y=8时，无满足条件的情况；当X=Y=9时，满足条件的取法情况有1,2,6,2,3,4∼所以PX=Y四、解答题15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b+c=16．（1）若a=4，b=5，求cosC（2）若sinAcos2B2+sinBcos2A2【解析】（1）a=4，b=5，a+b+c=16，故c=7，由余弦定理得cosC=a（2）sinAcossinA⋅1+cosB即sinA+sinB+sinAcosB+sinBcosA=4sinC，即sinA+sinB+sinA+B=4sinC，sinA+sinB=3sinC，由正弦定理得a+b=3c，因为a+b+c=16，所以4c=16，解得c=4，故a+b=12，△ABC的面积S=12absinC=18sinC联立a+b=12与ab=36得a=b=6.16.已知椭圆C:x2a2+y2b2（1）求C的方程；（2）已知直线l:y=13x+m与C相交于A，B两点，若|AB|=5，求【解析】（1）由题意可得c=22,故C的方程为x2（2）联立x212+Δ=4m2设Ax1,AB=10解得m=±2，即m的值为±17.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，∠BAP=∠BAD，CD=1，AB=AP=AD=2，DP=2(1)求证：AB⊥DP；(2)若CD⊥AD，求直线BP与平面CDP所成角的正弦值．【解析】(1)证明：由AP=AD，∠BAP=∠BAD，可知△BAP≌△BAD，所以BP=BD取DP的中点E，连结AE，BE，则AE⊥DP，BE⊥DP，且AE∩BE=E，所以DP⊥平面ABE，又AB⊂平面ABE，所以AB⊥DP．(2)由(1)及AB//CD，可知CD⊥DP，又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，即AB⊥平面PAD，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立如图空间直角坐标系．则A(0，0，0)，B(2，设P(0，则PD得P(0，所以DC=(1，0，0)设平面PCD的法向量为n=(x则n⋅DC=0可取n=(0设直线BP与平面PCD所成角为α，则sinα=|cos所以直线BP与平面PCD所成角的正弦值为7418.已知函数fx=lnx-ax，（1）若函数y=fx存在2个零点，求a（2）记hx①当a=1时，求hx②若hx的最小值为2，求a【解析】（1）函数y=fx的定义域为0,+∞，令fx设tx=lnxx，则t'当0<x<e时，t'x>0，当x>所以tx=lnxx因为t1=0，te=1e，当（2）①当a=1时，hx设mx=x-ln令m'x=0，得当0<x<1时，m'x<0，当x>1时，所以mx=x-lnx在所以mminx=m1=1，当x=1②hx由①知，2lnx-2x≥2，当且仅当x=1所以0≤a≤2．19.（2025·天津）已知数列an是等差数列，bn是等比数列，（1）求an，b（2）∀n∈N*，I∈0,1，有（i）求证：对任意实数t∈Tn，均有（ii）求Tn【解析】解：（1）设数列an的公差为d，数列bn公比为则由题得2+d=2q+12+2d=2所以an（2）（i）证明：由（1）pnanbn当pn设Sn所以2S所以-S所以Sn=8+3n-4此时an+1所以对∀t∈Tn，均有（ii）法一：由（i）得Sn=8+3n-42由题意可得Tn当p1,p2,...,pn-