易错01 实数相关概念及其计算（六大易错分析+举一反三+易错题通关）（解析版）

易错01实数相关概念及其计算易错陷阱一：错误理解实数的有关概念一、实数的分类：二、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若，则；若，则。三、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数四、倒数：如果与互为倒数，则有，反之亦成立易错总结：（1）需要牢记与三者有关的概念以及相关概念之间的的包含与被包含的关系才能避免出错；（2）几个特殊值注意：0的相反数还是0；0没有倒数，1的倒数是1，－1的倒数是－1；一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0例1．下列说法中，正确的是（

）A．a不是正数，则 B．b是不大于0的数，则C．m不小于，则 D．a，b是负数，则【答案】D【详解】解：a不是正数，则，故选项A错误，不符合题意；b是不大于0的数，则，故选项B错误，不符合题意；m不小于，则，故选项C错误，不符合题意；b是负数，则，故选项D正确，符合题意．故选项为：D．易错警示：易错警示：在实数的各种概念里，0都是比较特殊的存在，所以遇到理论型问题，都要多想一下0适不适用变式1-1．若n是偶数，则的值是（

）A．最大的负整数 B．最小的非负数 C．绝对值最小的数 D．最小的正整数【答案】D【详解】解：∵是偶数，∴，是最小的正整数，∴只有D选项符合题意，故选：D．变式1-2．9的算术平方根的相反数为（）A． B．3 C． D．【答案】A【详解】解：∵，∴9的算术平方根是3，∴9的算术平方根的相反数是．故选：A．变式1-3．的相反数是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：，的相反数为：，故选：B．易错陷阱二、无理数的分类中容易多选或少选实数的分类：实数分类可以按正负分，也可以按整数、分数分。具体方法需牢记。例2．把下列各数填到相应的横线上（填序号）：①；②；③；④0.54；⑤0.13；⑥；⑦0；⑧；⑨；⑩（相邻两个2之间0的个数逐次加一）．有理数：；无理数：；正实数：；负实数：．【答案】②③④⑤⑦⑧⑨①⑥⑩①④⑤⑥⑨⑩②③⑧【详解】解：∵，，∴有理数：②③④⑤⑦⑧⑨；无理数：①⑥⑩；正实数：①④⑤⑥⑨⑩；负实数：②③⑧．故答案为：②③④⑤⑦⑧⑨；①⑥⑩；①④⑤⑥⑨⑩；②③⑧．易错警示：易错警示：实数范围内，所有的分数都是指的有理数；但不是说所有带分数线的数都是分数，如：变式2-1．下列说法中正确的是（

）A．0不是单项式 B．是二次三项式C．最大的负有理数是 D．一定小于0【答案】B【详解】解：A、0是单项式，原说法错误，不符合题意；B、是二次三项式，原说法正确，符合题意；C、没有最大的负有理数，原说法错误，不符合题意；D、不一定小于0，比如当时，，原说法错误，不符合题意；故选B．变式2-2．所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的正分数组成正分数集合，所有的非正整数组成非正整数集合．请把下列各数的序号分别填入相应的集合里：①，②0，③，④，⑤2006，⑥，⑦．(1)正数集合：；(2)负数集合；(3)正分数集合：；(4)非正整数集合：．【答案】(1)③⑤⑦(2)①④⑥(3)③⑦(4)①②⑥【详解】（1）解：正数集合：③，⑤2006，⑦，故答案为：③⑤⑦；（2）解：负数集合：①，④，⑥，故答案为：①④⑥；（3）解：正分数集合：③，⑦，故答案为：③⑦；（4）解：非正整数集合：①，②0，⑥，故答案为：①②⑥．变式2-3．下列各数：，，，，中，无理数的个数有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【详解】解：是无理数，符合题意，是有理数，不符合题意，是有理数不符合题意，是无理数，符合题意，是有理数，不符合题意，综上，无理数共有2个，故选：C．易错陷阱三、负数容易比反实数大小比较的常用方法：1、根据性质比较：正负＞0＞负数；2、数轴法：数轴上的两个数比较大小，右边的数总比左边的数大；3、差量法：对于任意两个实数，若例3．比较大小：（填“”“”或“”）．【答案】【详解】解：∵，∴，又∵，，∴．故答案为：．易错警示：易错警示：负数比较的时候要小心，画出数轴进行比较会更准确变式3-1．若，则一定是（

）A．最小，最大 B．最小，a最大 C．最小，a最大 D．最小，最大【答案】A【详解】可取，那么最小，最大．故选：A．变式3-2．下列选项中，最小的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：把、、、表示在数轴上，由数轴可知：，最小的数是：．故选：D．变式3-3．这三个实数之间的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：∵，∴，∴，则，∴，∴，故选：B．易错陷阱四、实数的运算顺序错误实数运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立例4．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：原式，；（2）解：原式．易错警示：易错警示：在有理数混合运算中不注意运算导致计算错误，所以要牢记运算顺序避免出错：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，后算大括号．变式4-1．计算：．【答案】【详解】解：．变式4-2．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：原式．（2）原式．变式4-3．对于有理数a，b，定义一种新运算“※”，规定：，例如：．则的值是．【答案】【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：易错陷阱五、绝对值的化简易出错1．定义：一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作2．绝对值的几何意义：的几何意义是到原点的距离；的几何意义是a到b的距离.3．总结：（1）（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数.）（2）（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数.）例5．已知．当分别取，，，，时，所对应值的总和是．【答案】【详解】解：，当时，，当时，，则所求的总和为：，故答案为：．易错警示：易错警示：可能对绝对值的定义和性质理解不足，例如将负数的绝对值理解为负数，或在处理涉及绝对值的复杂问题时出错变式5-1．点、、和原点在数轴上的位置如图所示，有理数、、各自对应着、、三个点，化简得（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】解：根据数轴可得，∴∴故选：C．变式5-2．有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：由数轴可得，，∴，，∴原式，故选：．变式5-3．若有理数x，y满足，，且，则．【答案】3或11【详解】解：∵，，∴，，∵，∴，∴或，∴或，故答案为：3或11．易错陷阱六、混淆有效数字和精确度一、科学记数法：表示形式为的形式，其中为整数．二、近似数：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位例6．将“万”这个数用科学记数法表示并保留2个有效数字为．【答案】【详解】解：万故答案为：．易错警示：易错警示：（1）科学计数法中确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，是正数；当原数的绝对值＜1时，是负数；（2）有效数字：从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字变式6-1．四舍五入后为百万，有效数字有个，精确到位．【答案】4万【详解】解：四舍五入后为百万，有效数字有4个，精确到万位，故答案为：4；万．变式6-2．下列近似数中，说法正确的是（

）．A．与精确度相同 B．精确到了百万位C．精确到了百分位 D．万精确到了万位【答案】B【详解】解：A、精确到十分位，精确到百分位，则与精确度不相同，此选项不符合题意；B、，则6在百万位上，因此精确到百万位，此选项符合题意；C、，则3后的第一个0在百位上，因此精确到了十位，此选项不符合题意；D、万，则5在千位上，因此万精确到了千位，此选项不符合题意．故选：B．变式6-3．近似数1.52万精确位.【答案】百【详解】解：近似数1.52万，它是精确到百位．故答案为：百．1．在，，，中，有理数有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【详解】解：，，是有理数，共个，故选：B．2．把下列各数填在相应的大括号内：，，，，，，，，，，，．正数：{

…}；非负整数：{

…}；整数：{

…}；负分数：{

…}．【答案】，，，，；，，；，，，，；，，．【详解】解：正数：{，，，，，…}；非负整数：{，，，…}；整数：{，，，，，…}；负分数：{，，，…}故答案为：，，，，；，，；，，，，；，，．3．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由数轴可知，，即，，．故选：B．4．若a是绝对值最小的数，b是的倒数，则．【答案】【详解】解：∵a是绝对值最小的数，b是的倒数，∴，∴故答案为：．5．用科学记数法表示0.00003245的近似数，并保留3个有效数字：．【答案】【详解】解：；故答案为：．6．数3.456用四舍五入法精确到0.1得到．【答案】3.5【详解】解：；故答案为：3.5．7．下列各数：，其中一定有平方根的数有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【详解】解：0有平方根，，有平方根，，有平方根，，没有平方根，，没有平方根，，有平方根，中，当时，没有平方根，综上所述，一定有平方根的数共有4个．故选：B．8．已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的立方根为．【答案】【详解】解：由题意，有，解得．这个正数的立