易错02 代数式、分式与二次根式（五大易错分析+举一反三+易错题通关）（解析版）

易错02代数式、分式与二次根式易错陷阱一、混淆代数式中各公式的应用幂的运算：①同底数幂的乘法：；②幂的乘方：；③积的乘方：；④同底数幂的除法：.完全平方公式：平方差公式：易错总结:整式的运算中，需要记忆的公式比较多，如：同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、完全平方公式、平方差公式等。前面三个公式常一起出选择题，做题中一定要分清楚对应公式，最好四个选项都判断完再做出选择。后两个公式常在整式的化简计算中出现，并且正向逆向应用都有可能，所以就更需要考生对这些公式有足够的熟悉才行例1．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）；（2）．易错警示：易错警示：1、整式的化简求值其实就是去括号法则与合并同类项法则的联合应用，所以需要多熟记去括号法则和合并同类项法则；2、平方差公式和完全平方公式可以正向应用，也可以逆向应用，出现对应格式，就往对应公式去想或凑；变式1-1．已知，则m和n的值分别为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【详解】解：∵，∴，∴，，解得：，，故选：D．变式1-2．（1）已知，求的值；（2）已知，求t的值．【答案】（1）8；（2）【详解】解：（1）因为，所以，所以．（2）因为，所以当时，，所以，解得．变式1-3．若（且是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：（1）如果，那么的值为；（2）如果，那么的值为．【答案】【详解】解：（1），，，，解得：，故答案为：；（2），，故答案为：.易错陷阱二、十字相乘法、因式分解的应用因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解一般步骤：“一提”【提取公因式】:,“二套”【套用乘法公式】:平方差公式和完全平方公式“三分组”【分组分解因式】:多项式项数一般在四个及以上“二次三项想十字”【十字相乘法】:例2．将多项式进行因式分解得到，则的值为．【答案】13【详解】解：依题意，因为多项式进行因式分解得到，所以那么，，故，，所以，故答案为：．易错警示：易错警示：1、由定义可知，因式分解与整式乘法互为逆运算；2、分解因式必须分解彻底，即分解到每一个多项式都不能再分解为止；在提公因式时就需要把公因式提彻底；变式2-1．某同学对多项式进行因式分解的过程如下：设，原式．(1)该同学因式分解的结果是否正确？若不正确，请直接写出因式分解的最后结果；(2)请仿照以上方法对多项式进行因式分解．【答案】(1)不正确，最后结果应为(2)【详解】（1）解：不正确，正确解答如下：设，原式；（2）解：设，则．变式2-2．解决下列问题：(1)分解因式：；(2)已知满足．试判断之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)．理由见解析【详解】（1）解：．（2）解：．理由：因为，所以，所以，所以，所以或．因为，所以．变式2-3．若三角形的三边长满足，则．【答案】16【详解】解∶，∵为三角形的三边，边长不能为0，∴，∴，即，故答案为：16．易错陷阱三、分式的分母不能为0一、分式：一般地，如果表示两个整式，并且中含有字母的式子二、分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变易错总结：求分式值时要主要到隐藏条件，即分式的分母不能为零，否则原分式无意义．例3．若分式的值为0，则的值为．【答案】2【详解】解：由题意得：得，且，解得：，故答案为：2．易错警示：易错警示：分式有意义，只需要考虑分母，让分母整体=0即可；而分式值为0，则需要分子=0的同时，满足分母≠0变式3-1．关于分式的说法：①当时，分式的值一定为零；②若这个分式的值为零，则．其中正确的是（填序号）．【答案】②【详解】解：若这个分式的值为零，则，，解得，，则，综上，①说法错误，②说法正确；故答案为：②．变式3-2．先化简，再求值：，请从，，，这四个整数中选一个适当的数作为的值代入求值．【答案】，【详解】解：，要使原代数式有意义，则且且，∴且且，∴只能取，当时，原式．变式3-3．化简：，再从、0、1三个数中，选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值．【答案】，【详解】解：，∵，∴，，∴，∴当时，原式．易错陷阱四、分式的化简易出错分式的基本性质只有乘除，没有加减，并且要同乘一个相同的非零代数式。分式混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，能约分的先约分。例4．先化简，再求值：，其中．【答案】．【详解】解：，当时，原式．易错警示：易错警示：分式的化简求值问题中，加减通分，乘除约分，结果最简变式4-1．先化简，再求值：，其中．【答案】，【详解】解：，

当时，原式．变式4-2．先化简，再求值：，从，0，1中选择一个适当的数作为的值代入求值．【答案】【详解】解：原式；∵，∴，∴时，原式．变式4-3．观察下面的解题过程．先化简，再求值：，其中．解：原式①②．③(1)解题过程中开始出现错误的是步骤______（填序号），请写出正确的化简过程；(2)若代入求值后的值就是4，求图中被遮住的的值．【答案】(1)②，正确过程见解析(2)【详解】（1）解：原式，，故解题过程中开始出现错误的是步骤②；（2）解：∵代入求值后的值就是4，∴，∴，解得，经检验：是方程的解，∴图中被遮住的的值为．陷阱五、忽略了根式需化为最简根式最简二次根式的判断：最简二次根式是指被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，以及分母中不含有根号的分式。学生常常会忽略这一点，导致答案错误例5．若，化简二次根式的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵，∴，∵有意义，，∴，∴，故选：B．变式5-1．若，把化成最简二次根式为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵，，∴，∴，故选：D．变式5-2．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）

；（2）．变式5-3．解决下列问题：(1)计算：；(2)先化简，再求值：，其中．【答案】(1)(2)，【详解】（1）解：（2）解：，当时，原式．1．已知，则代数式的值是．【答案】【详解】解：，，设，则有整理得：，分解因式得：，或，或，一元二次方程中，，一元二次方程无解，不成立，舍去，当时，．故答案为：．2．若，则的值为（

）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】B【详解】解：等式左边，∴，∴，故选：B．3．如图是一个现代简约茶几，其正方形台面的周长为，则它的对角线的长度为．【答案】【详解】解：∵正方形台面的周长为，∴它的边长为，∴它的对角线的长度为．故答案为：．4．在计算时，嘉嘉和琪琪使用的方法不同，但计算结果相同，则（

）嘉嘉：原式．琪琪：原式．A．嘉嘉正确 B．琪琪正确 C．两人都正确 D．两人都不正确【答案】D【详解】解：，∴两人都不正确，故选：D．5．已知．（1）代数式的值是；（2）代数式的值是．【答案】1115【详解】解：∵，∴，（1），∴原式；（2），∴原式；故答案为：①；②．6．先化简，再求值：，其中x、y满足等式．【答案】，【详解】解：，∵，∴，解得，∴．当，时，原式．7．推理能力：已知关于x的多项式的化简结果为，求的值．【答案】【详解】解：原式．∵的化简结果为，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴．8．对于任意自然数是否能被24整除？【答案】能【详解】解：原式．∵n为自然数，∴能被24整除，故对于任意自然数能被24整除．9．（1）计算：（2）解方程：（3）已知，，则的值．【答案】（1）；（2），；（3）6【详解】解（1）；（2）整理得，配方得，即，开方得或，∴，；（3）∵，，∴，∴，即，∴，∴．10．已知，求a的值．【答案】1【详解】解：因为，所以，所以，所以，解得．11．先化