易错05 二次函数（八大易错分析+举一反三+易错题通关）（原卷版）

易错05二次函数易错陷阱一、忽略二次函数中a≠0二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数.其中是自变量，分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．注意：二次函数的判断方法：①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．易错总结：题目中未指明函数是一次还是二次，要对函数进行分类讨论．例1．已知二次函数开口向下，则．例2．若二次函数有最小值，则的值是．变式1-1．关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？变式1-2．若抛物线与轴有交点，则的取值范围是（

）A．且 B． C．且 D．变式1-3．若函数的图象与直线有交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C．且 D．易错陷阱二、画图时忽略了开口方向二次函数中，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下易错总结：在做题的时候，的情况比较多，则会习惯性以为每个图都是开口向上的，这是一个不好的习惯例3．已知抛物线与y轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线与轴的交点坐标；(3)当在什么范围时，？当在什么范围时，？例4．已知抛物线是常数，且）经过点，对称轴为直线，有下列结论：①抛物线经过点；②当时，；③当关于x的方程有两个相等的实数根时，．其中，正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3变式2-1．直线与抛物线在同一平面直角坐标系内，直线与抛物线有两个交点，设两个交点间的距离为d，则下列说法正确的是（

）甲：当时，．乙：当时，．丙：符合条件的m的取值范围是．A．甲、乙、丙三人都对 B．只有甲对C．只有乙对 D．只有丙对变式2-2．已知抛物线过点，，若抛物线的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变式2-3．已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（

）A． B． C． D．易错陷阱三、混淆二次函数中不同系数的作用在二次函数中：①决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②和共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左边；当a与b异号时，对称轴在轴右边．③决定抛物线与轴交点，抛物线与y轴交于．易错提醒：需熟悉二次函数中系数代表的意义例5．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例6．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过

（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限变式3-1．如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线．下列结论中，正确的是（

）A． B．C． D．方程的两个根为，变式3-2．如图，抛物线顶点坐标为，对于下列结论：①；②；③；④若方程没有实数根，则．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式3-3．如图是二次函数（为常数）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的有（

）A．①②③ B．①②④ C．①②③⑤ D．①④⑤易错陷阱四、平移变换易出错与之间的关系函数平移到的两种方法：①（口诀:左加右减）（口诀:上加下减）；②（口诀:上加下减）（口诀:左加右减）；易错提醒：图象平移中，记得提取系数之后再进行左右平移变换例7．将携物线向右平移6个单位，所得的抛物线解析式为（

）A． B． C． D．例8．将抛物线向上平移m个单位后经过点，则m的值为．变式4-1．如图，在平面直角坐标系中，三个小正方形的边长均为1，且正方形的边与坐标轴平行，边在轴的正半轴上，边在轴的正半轴上，抛物线经过点和点．

(1)点的坐标为______，点的坐标为______．(2)求抛物线的函数表达式．(3)将正方形沿轴向右平移，使点落在抛物线上，求平移的距离．变式4-2．已知抛物线过点，顶点为Q，抛物线(1)求a的值和点Q的坐标．(2)求证：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上．变式4-3．已知抛物线经过点、、三点．(1)求，的值及二次函数的表达式；(2)将抛物线沿轴向左平移，所得抛物线经过点，点平移后的对应点为点，求平移后新抛物线的解析式和点的坐标．易错陷阱五、二次函数解决不等式不会看关键点函数与不等式：可以看作当一个函数的函数值大（小）于另一个函数的函数值，通过两个函数的交点可求自变量相应的取值范围易错提醒：容易把这类题型与求函数解析式题型混淆，直接去求函数解析式，思路错误后容易出现求解不出解析式的情况，导致无法做出答案例9．如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点，则关于的不等式的解集是．例10．如图，直线与坐标轴分别交于B，C两点，其中点坐标，抛物线与直线交于，两点．(1)求抛物线的解析式及点坐标；(2)直接写出关于不等式的解集．变式5-1．如图，直线与抛物线交于点，，则不等式的解集为（

）A．或 B． C． D．或变式5-2．如图，抛物线与直线相交于和，

(1)求和的值，及抛物线的解析式：(2)结合图象直接写出不等式的解集．变式5-3．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．易错陷阱六、解决实际问题忽略自变量的取值范围应用题的处理方式：1.待定系数法：若题目提供的信息中明确二次函数，可设为，然后求出对应的参数．2.列方程法：若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于因变量（y）和自变量（x）的方程，进而解出函数，得到函数解析式，并且要特别注意自变量的范围.易错提醒：学生在应用函数解决实际问题时，容易忽视问题的实际背景，或者不理解如何将实际问题转化为数学问题例11．如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，设矩形菜园的面积为（单位：米），的长为（单位：米）则关于的函数关系式是．例12．如图1是抛物线形拱桥，按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升3米后，则水面宽米变式6-1．如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为．(1)请写出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)怎样围才能使矩形场地的面积为？(3)当x为多少时，矩形的面积最大？最大为多少？变式6-2．如图，护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为x轴，所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，如图所示，经过测量，可知斜坡的函数表达式为．(1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式；(2)若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离．变式6-3．某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元．近期统计发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：周销售单价x（元/千克）707580859095周销售量y（千克）1009080706050假设一段时间内，不计其它因素和费用．解答下列问题：(1)求y与x的函数关系式；(2)若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？请说明理由；(3)求公司销售这种绿茶最大周利润，此时周销售单价是多少？易错陷阱七、含参求最值时忘分类讨论易错提醒：含参最值问题中，系数的符号不知道，函数的增减性就不清楚，故最值位置需分类讨论例13．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（

）A． B． C．或 D．或例14．已知二次函数，当，且时，的最小值为，最大值为，则．变式7-1．已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是（

）A．1 B． C．1或 D．1或变式7-2．二次函数（m为常数），当时，y的最大值为6，则m的值为（

）A．1 B． C．或2 D．1或变式7-3．当时，二次函数的最小值为0，则．易错陷阱八、与几何结合时考虑不全面易错提醒：在做几何与函数相结合的题目时，要注意结合几何性质来确定函数，有时候往往需要分类讨论，做此题的方法，最好可以在直角坐标系中画出几何图形，有利于解题思路的打开例15．如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求：此时点的坐标；(3)在轴上找点，使是等腰三角形，请直接写出点Q坐标．例16．已知抛物线与x轴交于两点，顶点为P，与y轴交于点C．(1)求该抛物线的函数表达式及点P的坐标．(2)将这条抛物线平移，使斜平移后的抛物线经过点Q，交y轴于点E．若点Q恰好在原抛物线上，是否存在以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由．变式8-1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，x轴上有一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在线段上运动时（不与点O，B重合）当时，求t的值．(3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．变式8-2．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．(1)求抛物线的解析式；(2)作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，在抛物线上是否存在一点，使面积为8，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；变式8-3．在平面直角坐标系中，抛物线过点，与y轴交于点C，对称轴为直线．(1)求抛物线L的表达式；(2)将此抛物线在坐标平面内平移，得到抛物线，使其经过原点．若在第二象限的抛物线上存在点P，使为等腰直角三角形，请求出抛物线的表达式．1．若关于的函数是二次函数，则的值为（

）A．0 B．2 C．或2 D．2．二次函数与一次函数（）的图象在同一坐标系中的大致位置是（

）A． B．C． D．3．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，下列结论：①；②该抛物线与轴的另一个交点坐标是；③若点和在该抛物线上，则；④对任意实数，不等式总成立．其中正确的有．4．已知抛物线（是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为，则；④抛物线是由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到的．其中一定正确的是．5．已知二次函数，在时有最小值，则（

）A．5 B．5或 C．5或 D．或6．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的序号是．7．已知二次函数的最大值为5，求a的值．8．在2024年巴黎奥运会跳水比赛中，中国跳水运动员以其精湛的技术和完美的表现赢得了全世界的瞩目，为了研究跳水运动员的运动轨迹，我们建立了如下的数学模型．跳水运动员从跳板起跳后，其身体（视为一点）在空中的运动轨迹可以近似地看作是一条抛物线．已知跳板的长度为，跳板距水面的高度为．运动员起跳后，在离起跳点（跳板右端）水平距离处达到距水面的最大高度．分别以，所在直线为轴和轴，点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求跳水运动员在空中的运动轨迹对应的函数解析