易错08 圆的应用（六大易错分析+举一反三+易错题通关）（原卷版）

易错08圆的应用易错陷阱一、圆内一条弦对应无数个圆周角一．圆周角定理及其推论圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半圆周角定理的推论半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等二、圆中模型“知1得4”由图可得以下5点：①AB=CD；②；③OM=ON；④；⑤；以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。易错提醒：圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为180°；【例1】如图，是的弦，是过点的切线，若，则所对的圆周角的度数为．【例2】已知弦与的半径相等，则弦所对的圆周角的度数为【变式1-1】已知的半径为6，圆心O到弦的距离为3，则弦所对的圆周角的度数是．【变式1-2】已知⊙O的半径为，则长为的弦所对的圆周角的度数为．【变式1-3】已知弦把圆周分成的两部分，则弦所对的圆周角的度数为．易错陷阱二、忽略圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的性质与推论：圆内接四边形对角互补；推论：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角易错提醒：圆内接四边形对角为同一个条弦的两个圆周角，故两角互补【例3】如图，在半径为2的中，点A、B、P是圆上的三个点，且满足，则弦长为（

）A．2 B． C．3 D．【例4】如图，四边形内接于，为的直径，．点E在的延长线上，若，则的度数为．【变式2-1】如图，是的内接三角形，点是弧的中点，已知，，则度．【变式2-2】如图，在中，，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式2-3】如图，四边形内接于，为上的任意一点（点不与点重合），连接，交于点．若，则的度数不可能为（

）A． B． C． D．易错陷阱三、两条弦平行时易忽略讨论易错提醒：求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的异侧．【例5】如图，的半径为5，C是上一点，直线交于A，B两点，垂足为H，已知．若将直线l沿所在的直线平移后恰与相切，则平移的距离为．【例6】在半径为5的圆中，有两条弦的长分别为6和8，这两条弦的中点的距离x的取值范围是.【变式3-1】已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（

）A． B． C． D．或【变式3-2】已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是．【变式3-3】⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（

）A．2 B．14 C．2或14 D．7或1易错陷阱四、证明直线为切线出现混乱1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵且过半径外端，∴是⊙的切线易错提醒：证明切线的两种核心方法是：1.连半径证垂直：若直线与圆有公共点（如切点），连接该点与圆心，证明这条半径与直线垂直；2.作垂线证半径：若直线与圆无明确公共点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长度等于圆的半径【例7】如图，中，，以为直径的交边于，于．求证：是的切线．【例8】如图，在菱形中，是边上的高，以为直径的分别交，于点，，连接．(1)求证：是的切线；(2)求证：．【变式4-1】如图，是的直径，点C是半圆的中点，点D是上一点，连接交于E，点F是延长线上一点，且．(1)求证：是的切线；(2)连接、、，若，，求的半径．【变式4-2】中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且．(1)求证：是的切线；(2)连接交于点，若，，求弧的长．【变式4-3】如图，是的直径，点C是劣弧中点，与相交于点E．连接，，与的延长线相交于点F．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)若，求的长．易错陷阱五、混淆外接圆和内切圆的构成1.外接圆的概念：外接圆是指经过三角形所有顶点的圆，三角形的每个顶点都在这个圆上。圆心称为外心，是三角形三条边的垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等，且锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部。2.内切圆的概念：内切圆是指与三角形三边都相切的圆，且圆心到三角形三边的距离相等。圆心称为内心，是三角形三条内角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等，且一定位于三角形内部。易错提醒：要区分好外接圆和内切圆的构成，以及外心和内心的性质【例9】如图，中，，，，其内切圆的半径为，外接圆半径为，则的值为（

）A． B． C． D．【例10】在中，斜边，其重心与外心之间的距离为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【变式5-1】是等腰三角形的外接圆，圆心O到底边的距离为，的半径为，则腰的长为（

）A． B．C．或 D．或【变式5-2】如图，在中，点O是的内心，，则．【变式5-3】如图，中，，点是的外心，且，延长交于点，若，则．易错陷阱六、扇形公式的弧长、面积公式记混（一）扇形的弧长和面积计算（1）扇形弧长公式：；（2）扇形面积公式：其中：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积注意：（1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；（2）公式中的表示1°圆心角的倍数，故和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；（3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.（4）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；（5）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.（二）扇形与圆柱、圆锥之间联系立体图侧面展开图表面积公式体积公式圆柱=圆锥=易错提醒：所有公式均围绕圆心角与半径展开，理解弧长是圆周的比例，面积同理【例11】如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，扇形的圆心角的度数是，则圆锥的侧面积为（结果保留）．【例12】如图，，分别为正方形边，的中点，以为半径，为圆心做扇形与延长线交于点，与交于点．若，则长为（）A． B． C． D．【变式6-1】如图，在扇形中，，将扇形沿方向平移得到扇形，点恰好落在上．若，则图中阴影部分的面积为．【变式6-2】如图，在中，，，．以A为圆心为半径画圆，交于点D，则阴影部分面积是（

）A． B． C． D．【变式6-3】如图，一个直径为4厘米的半圆，以点为中心，把半圆按顺时针旋转，这时点落到处，求阴影部分的面积1．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（

）A．55度 B．45度 C．35度 D．25度2．用半径为30，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（

）A．20 B．15 C．10 D．53．如图，已知是的直径，、是半圆上两点，且满足，，则弦长为（

）A．1 B． C．2 D．34．已知是的两条弦，．若的直径为,则弦和之间的距离是．5．一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的半径为．6．在中，，截三边所得的线段相等，那么的度数是7．如图，为半圆的直径，为半圆上的一点，，垂足为，延长与半圆交于点．若，则图中阴影