易错12 统计与概率（五大易错分析+举一反三+易错题通关）（解析版）

易错12统计与概率易错陷阱一、求中位数和众数时不排序出错众数：一组数据中出现次数最多的那个数据中位数：将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数为偶数时)易错总结：要观察数据有没有按照顺序排列，没有的要先排列顺序再找，避免出错．【例1】某城市月份某星期天的最低气温如下（单位）：，，，，，，这组数据的中位数、众数分别是（）A．， B．， C．， D．，【答案】D【详解】解：把这些数从小到大排列为：，，，，，，则这组数据的中位数是，出现了次，出现的次数最多，这组数据的众数是故选：D．【例2】阳光体育运动要求学生每天锻炼一小时，如图是依据某班50名学生一周体育锻炼的时间绘制的条形统计图，那么该班50名学生一周参加体育锻炼时间的中位数为h．【答案】9【详解】解：由图可知，第25和第26个数据均为，∴中位数为：；故答案为：9．【变式1-1】在一次定点投篮比赛（每人投10次）中，甲组6位同学投中的次数分别为4，5，6，6，7，8，记录员在誊抄时，误把其中的4抄成了9，那么该同学所誊抄的数据和原数据相比，不变的统计量是（

）A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数【答案】D【详解】解：∵误把其中的4抄成了9，6的个数不变，∴不变的统计量是众数．故选D．【变式1-2】某校航模兴趣小组共有40位同学，他们的年龄分布如表：年龄（岁）12131415人数（人）518143则这40名同学年龄的中位数是（

）A．12岁 B．13岁 C．14岁 D．15岁【答案】B【详解】解：这40名同学年龄的最中间的数是第20和21个数，分别是13，13，故这40名同学年龄的中位数是，故选：B．【变式1-3】某育苗基地，在温室内，经过一段时间育苗，随机抽取一些种苗并对它们的株高进行测量，把测量结果制成尚不完整的扇形统计图与条形统计图，如图所示．若种苗株高的平均数或中位数低于，则需要对育苗办法适当调整．(1)在扇形统计图中，________．(2)求抽取的种苗株高的平均数、中位数，并判断是否需要对育苗方法进行调整．【答案】(1)20(2)平均数是，中位数是，需要对育苗办法适当调整【详解】（1）解：，；故答案为：20；（2）解：抽取种苗的总株数为；株高为的种苗株数为；株高为的种苗株数为；所以抽取的种苗株高的，从小到大排列抽取的40个数据中，处于第20、21个株高均为，，中位数为，种苗株高的平均数或中位数均低于，需要对育苗办法适当调整．易错陷阱二、混淆平均数和加权平均数平均数：一般地，个数，我们把叫做这个数的算术平均数，记做个数的加权平均数：如果在个数中，出现了次，出现了次，……出现了次，那么加权平均数为易错总结：加权平均数即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数．在做题的时候，要注意题设中有没有出现“权”，不能将加权平均数和平均数混淆．【例3】射击比赛中，某选手的次射击成绩如表所示：成绩/环次数则该选手的平均成绩是环．【答案】【详解】解：该选手的平均成绩是（环），故答案为：【例4】某校学期综合评价成绩是由平时作业、期中检测、期末考试三项成绩构成的，如果学期综合评价成绩在90分以上则评为“优秀”．如表是小明和小亮两位同学某学科的成绩．学生平时作业/分期中检测/分期末考试/分小明907689小亮926595(1)若将三项成绩的平均分记为学期综合评价成绩，请计算比较两人的学期综合成绩；(2)若将平时作业、期中检测、期末考试三项成绩按的比例来确定学期综合评价成绩，请你通过计算判断小明、小亮该学科能否被评为“优秀”．【答案】(1)小明的学期综合评价成绩为比小亮的学期综合评价成绩好(2)小明和小亮该学科不能被评为“优秀”【详解】（1）解：（分），∴小明的学期综合评价成绩为85分；（分），∴小亮的学期综合评价成绩为84分；∴小明的学期综合评价成绩为比小亮的学期综合评价成绩好；（2）解：由题意，∴小明在期末考试中的成绩是85.3分，，∴小亮在期末考试中的成绩是85.4分，∵学期综合评价成绩在90分以上则评为“优秀”，∴小明和小亮该学科不能被评为“优秀”．【变式2-1】如果一组数据的平均数是2023，那么的平均数是．【答案】2020【详解】解：∵数据的平均数是2023，∴，∴的平均数为：，故答案为：2020．【变式2-2】某校学生期末评优奉行五育并举，德智体美劳全面发展的原则，按从德、智、体、美、劳五方面评分，确定最终成绩．小明本学期这五方面的得分情况如图所示，则小明期末评优最终得分为（

）A．9.1 B．9.2 C．9.3 D．9.4【答案】C【详解】解：（分），∴小明期末最终得分为分．故选：C．【变式2-3】学校广播站要新招1名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入到复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如表：学校规定口语表达按，写作能力按计入总成绩，根据总成绩择优录取．通过计算，你认为同学将被录取．口语表达写作能力甲8090乙9080【答案】乙【详解】根据题意可知，甲同学的成绩为：（分）；乙同学的成绩为：（分）；，∴乙同学将被录取，故答案为：乙．易错陷阱三、对方差公式记忆出错方差：一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数.方差的算术平方根就是标准差．方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．易错总结：方差公式其实为各数据与平均数的差平方的平均【例5】计算数据1，2，3，4，5的方差为，则．【答案】2【详解】解：平均数为：，∴方差为：；故答案为：2【例6】若一组数据1，3，5，7，9的方差是，另一组数据11，12，13，14，15的方差是，则（填“>”“<”或“=”）．【答案】>【详解】解：，，，，∴，故答案为：．易错警示：易错警示：负数比较的时候要小心，画出数轴进行比较会更准确【变式3-1】现有一组数据：5，6，6，7，9，9，方差为；去掉数字7得到一组新的数据，方差为；则（填“”，“”或“”）．【答案】【详解】解：第1组数据的平均数为，则其方差；去掉数字7得到的新数据的平均数为，则其方差；∵，∴，故答案为：．【变式3-2】一组数据的方差计算为：，则这组数据的平均数为．【答案】【详解】解：∵一组数据的方差计算为：，∴这组数据为5，3，6，4，∴这组数据的平均数为：．故答案为：．【变式3-3】数学课上张老师给出了如下算式，计算某数据的方差，据此判断下列说法错误的是（

）A．样本众数是3 B．样本中位数是3 C．n的值是4 D．样本平均数是4【答案】D【详解】解：根据方差算式可得，样本数据为，因此，样本众数为，中位数是，平均数为，故选：D．易错陷阱四、含参求数据特征时考虑不全面易错总结：在求众数、平均数、中位数时，如果是一组含有未知数的数据就要分类讨论。其实对于此类题目的解题本质还是掌握好众数、平均数、中位数的概念以及联系、区别，再对未知数可能取值的范围进行分类讨论就可顺利解决。【例7】已知一组数据：，这组数据的平均数与中位数相等，则．【答案】或或【详解】解：数据的平均数为，若中位数为，则，解得；若中位数为，则，解得；若中位数为，则，解得；综上，或或，故答案为：或或．【例8】如果数据，，，的中位数与平均数相同，那么的值为．【答案】或【详解】解：这一组数据的平均数为，（）当时，该组数据从小到大顺序排列为：、、、，这时中位数为，则，解得；（）当时，该组数据从小到大顺序排列为：、、、，这时中位数为，则，解得，不在内，此时不存在；（）当时，该组数据从小到大顺序排列为：、、、，这时中位数为，则，解得；故答案为：或【变式4-1】一组数据2，3，5，6，a的众数与中位数相等，则．【答案】3或5【详解】解：中位数可能是或5，由于众数与中位数相等，故或5，故答案为：3或5．【变式4-2】一组从小到大排列的数据：，，，，（为正整数），唯一的众数是，则数据是．【答案】或【详解】解：一组从小到大排列的数据：，3，4，4，为正整数），唯一的众数是4，数据是1或2．故答案为：1或2．【变式4-3】一组数据按从小到大的顺序排列为这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为.【答案】3和6【详解】解：∵按从小到大的顺序排列为3，3，4，a，6，8这组数据的中位数是5，，解得：，这组数据为：3，3，4，6，6，8，3和6出现的次数最多，故众数为3和6．故答案为：3和6．易错陷阱五、没看清放回还是没放回易错总结：放回与不放回常因混淆导致错误。放回时样本总量不变（如摸球后放回），每次抽取独立，概率计算直接相乘；不放回时样本减少（如一次性抽取多个），后续概率需调整分母，且需用树状图（不含重复分支）计算【例9】在一个不透明的袋子里，装有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同．将袋子里的球摇匀，随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，统计发现，摸到白球的概率为0.2，由此估计袋子里黑球的个数是（

）A．24个 B．30个 C．20个 D．14个【答案】A【详解】解：设袋子里黑球的个数为个，由题意可得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，∴袋子里黑球的个数是24个，故选：A．【例10】中华文化之瑰宝−−“四大名著”，即《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》，在中国文学史上有着极其重要的地位．(1)若从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是_____．(2)若从这四大名著中随机抽取两套（先随机抽取一套，不放回，再随机抽取另一套），请用画树状图或列表的方法，求抽到的两套恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是．故答案为：．（2）解：从这四本书籍中随机抽取两本的情况列表如下（记四本书籍依次为A，B，C，D）：ABCDA−B−C−D−共有12种等可能结果，其中《水浒传》和《三国演义》被选中的结果有2种，抽到的两本恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率为．【变式5-1】一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“泉”、“城”、“济”、“南”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．从中任取一球，不放回，再从中任取一球，取出的两个球上的汉字能组成“泉城”的概率（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字能组成“泉城”的结果数为2，所以取出的两个球上的汉字能组成“泉城”的概率为，故选：C．【变式5-2】1个袋子中装有1个白球和1个黑球，它们除颜色外其他完全相同．甲、乙两人去摸球，每人摸1次，1次摸出1个球．(1)如果摸出球后放回摇匀，并规定摸出黑球的人获胜，那么这个游戏对双方公平吗？(2)若摸出球后不放回，同样规定摸出黑球的人获胜，则这个游戏的公平性是否和摸出球后放回摇匀时的一样？(3)若袋子中装有除颜色外其他完全相同的5个白球和5个黑球，甲、乙两人先后去摸球，一人摸1次，1次摸出1个球，摸出后放回摇匀，并规定摸出黑球的人获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？【答案】(1)这个游戏对双方公平(2)这个游戏的公平性和摸出球后放回时的一样(3)这个游戏对双方是公平的，理由见解析【详解】（1）解：由于是摸出后放回，每个人摸出黑球的概率都是，所以对双方公平；（2）解：由于是摸出后不放回，则总的结果为甲黑乙白，或甲白乙黑，则他们获胜的概率和放回时一样都是，对双方公平；（3）解：游戏对双方公平，因为袋子中白球和黑球各有5个，每人摸出黑球的可能性都是，所以这个游戏对双方是公平的．【变式5-3】一个不透明的盒子里装有2个黑球，5个白球和1个红球．它们除颜色不同外其余都相同．(1)若从中任意摸出1个球，摸出黑球的概率是___________；(2)将盒子中的白球取出4个后，利用剩下的球小张和小王进行摸球游戏，他们约定：先摸出1个球后放回，再摸出1个球，若这两个球中有红球，则小张胜，否则小王胜，问该游戏是否公平？请用列表或画树状图说明理由．【答案】(1)(2)不公平，理由见解析【详解】（1）解：从中任意摸出1个球，摸出黑球的概率为故答案为：．（2）该游戏不公平．理由如下：画树状图为：共有16种等可能的结果，其中两个球中有红球的结果数为7，所以小张胜的概率；，小王胜的概率为∵所以该游戏不公平．1．某校体育测试，女生考核“立定跳远”、“800米”、“仰卧起坐”三项，并按的权重计算体育成绩．已知小颖这三项的测试成绩分别为80分、90分、100分，则小颖的体育成绩为分．【答案】91【详解】解：根据题意得：（分）；故答案为：91．2．如图描述了某班10名学生对课后延时服务的打分情况，下列判断不正确的是（

）A．打分的众数为4分B．打分的平均数为3.2分C．去掉一个最高分和一个最低分后，中位数和众数都不会发生改变D．若该班有50名学生，估计打分为4分的有25人【答案】D【详解】解：由扇形统计图可知，打分为5分的百分比为，从图中可知打4分的学生占比为，即打4分的人数最多，所以打分的众数为4分，故A选项正确；打分的平均数为分，故B选项正确；这组数据有10个（偶数个），所以中位数是第5、6个数的平均数，即分，去掉一个最高分和一个最低分后，中位数不会发生改变，故C选项正确；若该班有50名学生，估计打分为4分的有人，故D选项不正确；故选：D．3．某次射击训练中，一小组的成绩如表所示：环数人数若该小组的平均成绩为环，则成绩为环的人数是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：设成绩为环的人数是x，根据题意得：，解得：，则成绩为环的人数是，故选：．4．有两组数据，甲组：2，4，6，8，10；乙组：12，14，16，18，20．则甲组数据的方差乙组数据的方差（填“”“”或“”）．【答案】【详解】解：甲组数据的平均数为，方差为；乙组数据的平均数为，方差为；∴．故答案为：5．某班期末英语的平均成绩为75分，方差为225，如果每名学生都多考5分，下列说法正确的是（

）A．平均分不变，方差不变 B．平均分变大，方差不变C．平均分不变，方差变大 D．平均分变大，方差变大【答案】B【详解】解：由题意知，每名学生都多考5分，则平均分比原来大5，平均分变大，∵数据的波动情况不变，∴方差不变，故选：B．6．某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：190，194，198，200，202，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员．与换人前相比，下列对5名场上队员身高的平均数和方差描述正确的是（

）A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大【答案】C【详解】解：原数据的平均数为，新数据的平均数为，原数据的方差为，新数据的方差为，所以平均数变大，方差变小．故选：C．7．某人在统计15个数据时，算出中位数和平均数都是85，但后来发现，错将其中的一个数据78输入为87，由此求出的中位数（

）A．等于85 B．小于85 C．小于等于85 D．大于等于85【答案】C【详解】解：∵原来的中位数85，将78输入为87，∴最中间的数是85的前一位数，应该小于等于85，即中位数小于等于85，故选：C．8．有一组数据有唯一众数，且众数与中位数相等，则a的值为（

）A．3 B．5 C．3或5 D．3或4【答案】C【详解】解：∵一组数据有唯一众数，∴a一定是2，3，5，6中的某一个数，∴当a的值为2或3时，这种数据的中位数3；当a的值为5或6时，这组数据的中位数为5，∵众数与中位数相等，∴a的值