北京市大兴区2024-2025学年高一年级下册期末检测数学试卷（含答案解析）

北京市大兴区2024-2025学年高一下学期期末检测数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

I.sin——cos——=（）

1?17

A.；B.yC.一二份D.3

49dA

2.已知复数2=1+i,则F卜（）

A.1—iB.2C.l+iD.72

3.某学校有高中学生500人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为160,150,

190,为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用按比例分层抽样的方法从中抽取•个

容量为50的样本，那么应抽取高二年级的人数为（）

A.15B.16C.19D.32

4.已知向量a=（1,〃），（—I,//）,且a/后，贝必=（）

A.TB.0C.1D.2

5.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲、乙两人中至少一人被选中的概率为（）

1n3-3、7

A.—B.C.-D.—

1010510

6.设a,。为两个不同的平面，则“a//。”是“a内有无数条直线与£平行”成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不

充分也不必要条件

7.若向量/与满足（；一£）2=2,且同=2,则J在6上的投影向量的模为（）

A.2B.4C.5D.8

8.设〃？，〃是两条不同的直线，cr,。是两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若〃?J_a,m/a,则，〃_!_〃：②若，〃_L。，mlla,则aJLS；

③若a〃6,mua,6,则/泌〃；④®m_La,〃_L6,且则〃?_L〃.

其中真命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

9.在锐角VABC中，S为VA8c的面积，a=2,目.2S=则。的取值范围是（）

10.在编号分别为汩=0,1,2，.一〃-1）的〃名同学中挑选一人参加某项活动，挑选方法如下：

抛掷两枚骰子，将两枚骰子的点数之和除以〃所得的余数如果恰好为i,则选编号为/的同

学.下列哪种情况是不公平的挑选方法（）

A.n=2B.n=3C.n=4D.n=6

二、填空题

11.若两条不同直线。，力没有公共点，则。，〃所有可能的位置关系是.

12.若非零向量/与/满足匕=闫二/一］，则/与丁夹角的大小为.

13.某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结

果统计如表所示.

赔付金额/元01000200030004500

车辆数/辆6008011012090

若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为：在样本车

辆中，车主是新司机的占15%,在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%,

估计在已投保的新司机中：获赔金额为4500元的概率为.

14.已知直角三角形的两条直角边长分别为3,4,分别以两条直角边和斜边所在直线为轴,

其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，则这三个几何体中，体积的最大值是;

表面积的最小值是.

15.如图，止四面体A8CZ）的所有棱长为1、E、尸分别是被8。、CQ上的点，且BE二。尸二八

/£（0,1），给出下列四个结论：

①存在］、使得BC//平面AE尸；②存在，，使得ACJL七「；

③不存在，，使得平面J.平面4CZ）；④三棱锥A-O体积的最大值为正.

4R

试卷第2页，共4页

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题

16.已知复数Z1=a+2i,Zj=1+2i,«GR.

(1)若三是实数，求。的值；

(2)若复数Z|Z?在复平面内对应的点在第二象限，求，的取值范围.

17.小明利用地图软件统计出他近期1()()次早上从家到公司的导航过程中的红灯等待时间，

他将数据分成了[55,65),[65,75),175,85),185,95),195,105](单位：秒)这5组，并整

(1)求图中a的值：

(2)估计小明红灯等待时间的第60百分位数(结果精确到0.1)；

(3)根据以上数据，估计小明在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于

85秒的次数.

2

18.在VA8C中，a2=b2-c2+-ac.

⑴求sin8的值;

(2)若b=2«,再从下列三个条件中选择一个作为已知，使VABC存在，求YA8C的面积.

条件①：c=2x/7：条件②：asinJ=：条件③：cosJ=—•

注：如果选择的条件不符合要求，第(H)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别

解答，按第一个解答计分.

19.一个口袋中有质地和大小完全相同的5个球，编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人

玩一种游戏，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号

的和为偶数算甲赢，否则竞乙赢.

试卷第3页，共4页

《北京市大兴区2024-2025学年高一下学期期末检测数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案ADABDACDDC

1.A

【分析】利用正弦的二倍角公式计算可得结果.

【详解】易知5皿'85工='X25亩与052二工［11(2x—1=Lin工-

1212212122I12J264

故选：A

2.D

【分析】根据共拢复数定义以及模长公式计算可得.

【详解】由z=l+i可得z=l—i,

因叫二卜Jf+(一1)~=y/2

故选：D

3.A

【分析】根据抽样比即可求解•.

【详解】应抽取高二年级的人数为型x50=15,

500

故选：A

4.B

【分析】根据向量平行的坐标表示计算即可.

【详解】由G〃方可得IX”一(—1)XZZ=o,即2/7=0,

解得〃=0.

故选：B

5.D

【分析】利用占典概型公式计算即可.

【详解】设这5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊：

从这5名学生中随机选出2人，共有甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙丁，乙戊，丙丁,

丙戊，丁戊，共10种选法；

易知“甲、乙两人中至少一人被选中”共有7种情况，

因此所求概率为。=1.

答案第I页，共13页

故选：D

6.A

【分析】根据面面平行性质以及线面平行性质判断即可.

【详解】易知当时，一定满足内有无数条直线与0平行”，因此充分性成立：

若“a内有无数条直线与。平行”，此时可能相交，有无数条直线与两平面的交线平行，

即必要性不成立；

所以是“a内有无数条直线与8平行''成立的充分不必要条件.

故选：A

7.C

【分析】先根据已知条件求出）1=10；再结合向量的投影公式，及向量模的计算即可求解.

【详解】由（二一£）勿=2,可得：/石=2+若

因为IN=2,

所以G-£=2+2M『=2+2X22=10.

电,

又因为J在屋上的投影向量为国.同，

ab_10.

所以a在b上的投影向量的8下］■=万=5・

故选：C.

8.D

【分析】根据空间中点线面的位置关系，即可结合选项逐一求解.

【详解】对于①，W±a,n//at贝如J_〃；①正确，

对于②，若，汕〃，n-L。,故〃」6,5bnllat则aJL。；②正确，

对于③，若Q//0,Q,"L。，则就/〃或者〃I,〃异面；③错误，

对于④，若〃JL£,且a_L6,则机_L〃，则④正确，

故选：D

9.D

【分析】结合三角形面积公式与余弦定理，可得2cosA=2—sin/1再根据cojA+sin2A=1,可

45

求解siM=W：结合正弦定理可蒯=；sin6,即可根据角的范围，结合三角函数的性质求解.

答案第2页，共13页

【详解】因为2s=d_（〃一«.）\且S=；6csin4

所以。csin4=〃一(b—c)2,即〃Z+c1—er=bc(2—sinA).

由余弦定理得：C0&4=--------:所以2cosA=2一sinA.

2bc

又cos^A+sin?4=1,所以sin?4+(l-：sin4)2=L解得：sirv1=^sinA=0.

4

因为VABC为锐角三角形，所以sinJ=：,coM=3

=一，

5

因为A+B+C=兀，所以sin8=sin(A+C)=siaAcosC+cosAsinC,

由正弦定理得：—=S*n^=—sinB故b=?sin6,

asinJ4)

J,兀

0<B<-A+Bn>—

22所以?-4<8<?.

因为VA8c为锐角三角形.所以

yr90

0<C<-0<B<

22

3

月f以1>sin8>sin--A=cosJ=-

<2JC55

因止曲=2sin8w

,即be

22521411

故选：D

10.C

【解析】首先求出两枚骰子的点数之和可能的取值对应的概率，再分别讨论四个选项中〃的

取值对应的余数的概率，若每一个余数的概率都相等则是公平的，若不相等则不公平，即可

得正确选项.

【详解】由题意知两枚骰子的点数之和为X,则X可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,数，12,

P(X=2)=JP(X=3)《，P(X=4)《，P(X=5)$P(X=6)=1

P(X=7)《，P(X=8)《，P(X=9)《，P(X=10)《，P(X=11)《

产(X=12)=1

对于选项A：〃=2时，/=0,1,

135x2=1，P(/=1)=

P(/=0)=--+--+--幺色+2」

36363636363636362

所以〃二2是公平的，故选项A不正确;

对于选项B：〃=3时,i=0,1,2,

答案第3页，共13页

241

P(/=0)=^7+P(/=l)=

1

145?

P(/=2)=—+—+—+^=-,所以〃=3是公平的，故选项B不正确;

3nSn3nin3

对于选项c：〃=4时，i=0,1,2,3

351442

P(/=0)=--+--—I—=—

*芯4M%Q

P(/=2)=—+—+A=12625

P("3)++

区祁补is

因为概率不相等，所以〃=4不公平，故选项C正确;

对于选项D：〃=6时，i=0,1,2,3,4,5

「(，=。)4+(=；，/>(/=1)=^=|»P(z=2)=(+1=/

/.7241次.八331Mc421

PD(/=3)=—+——=-,P(/=4)=——+——=-,P(/=5)=——+——=-

所以〃=6是公平的，故选项D不正确，

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是理解题意，对于所给〃的值的每一个余数出现的

概率相等即为公平，不相等即为不公平.

11.平行或异面

【分析】根据空间中两直线的位置关系即可得出结论.

【详解】当〃，〃在同一平面内时，若两条不同直线〃，力没有公共点，此时两直俄平行；

当〃，力不在同一平面内时，两直线无公共点，即两直线异面.

故答案为：平行或异面

兀

12.-/601

【分析】根据平面向量数量积的定义，向量模的计算方法及数量积的运算法则即可求解.

【详解】设力与7夹角为夕0^[o,n].

令同:「二|石一0=t,

则，＞0.

由5与卜可得:方2—第工+"=F，

又因为6万二例Wcosj

答案第4页，共13页

所以*・25cos6+尸=P,解得cosO=—,0=—,

73

故答案为：］

13.。2喘。呜

【分析】计算出赔付金额大于投保金额的频率，得到估计赔付金额大于投保金额的概率；在

求出投保的新司机人数和赔付金额为4500元的样本车辆中，新司机人数，估计出在已投保

的新司机中，获赔金额为4500元的概率.

【详解】赔付金额大于投架金额的频率为‘八八『八=021

600+X0+110+190+90

估计赔付金额大于投保金额的概率为0.21,

在样本车辆中，车主是新司机的占15%,

故投保的新司机人数为15。。x(600+80+110+120+90)=150,

在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%,即90*30。0=27人，

27

估计在已投保的新司机中：获赔金额为4500元的概率为=0.18.

ISO

故答案为：0.21,0.18

，/84

14.16兀一兀

S

【分析】由直角三角形绕其直角边旋转可以得到一个圆锥，直角三角形绕其斜边旋转可以得

到两个共用同一底面的圆锥的组合体，分别求出他们的表面积和体枳，进行比较可得答案.

【详解】由题意可知3力=4,斜边c=J不，齐=5,且斜边上的高力=/=?

当绕c=5边旋转时，此时得到的是以〃二上为底面圆半径，母线分别为。=3力=4的两个共

底面的圆锥，

其表面是两个扇形的表面，所以其表面积为S3=TTX?X(3+4)=9；

nl/1(12Y48

法体工积匕=1X7TX——Xc5=-Z-7t；

3I5J5

2

当绕b=4边旋转时，S2=rtx3+7rx3x5=247r,

体积匕=^XTTX32X4=12Z

2

当绕〃二3边旋转时，S2=zx4+7rx4x5=367c,

答案第5页，共13页

体积匕=lnx42x3=167r

・・・$>£>&{>%>

84

故答案为：16兀，—71

15.①③0

【分析】取/一1时，得到8a再根据线面平行的判定定理即可得解①；根据人。_1_平

面8c。，求解②，根据£。,尸三点共线时，平面AE/_L平面8c。，然后利用平面向量基本

定理的推论判断即可③：对于④，先求出三棱锥A-DE产的高A。，然后利用基本不等式求

出△£）£：尸面枳的最大值，即可求出三棱锥A-。£尸体积的最大值.

【详解】当/=2时，E、尸分别是棱3。、C。的中点，此时8C//EF，

因为E尸u平面AK/L8c丈平面所以4。〃平面AEF,故①正确.

取BD中点为N,连接/VANC,则N4J_8O,NC_L3。，N4nNC=N」VA,NCL平面NAC,则

BD2_平面NAC,4cL平面NAC,则

假设ACJLEF,ERBQr•平面4CZ）,且EF,8。为平面内88两相交直线，

故AC_L平面8C。，这显然不合理，因此不存在f,使得AC_LEA②错误，

设O为△BCD的中心，连接A0,因为经过点A有旦只有一条直线AO垂直于平面

BCD,所以经过点A且垂直于平面3C。的平面一定经过直线40,

即当且仅当E,。,厂三点共线时，平面AE广_L平面BC。，

因为。E=1,DF=t,

所以。月二」一瓦，DC=-DFt设8c的中点为M,连接。M,

I-//

则。。=；0点=；（0万+=一（~|-，DE-K0,：因为E,。,尸三点共线，

所以!（J—+2=1,整理得V-W+lnO,因为△=-3<0,所以此方程无解，

311Tt）

所以不存在f£（0，l），使得平面AE/_L平面BC。，故③正确.

答案第6页，共13页

ADZ-\^DM_76

易知4。==

3

在&DEF中,QE=1-1,DF=t,

所以&DEF的面积S=；・/・(l-/)-singvV5i+(IT)_B

T'[_2\"7?

当且仅当/=L时等号成立，所以三棱推4-7)石尸休积的最大值为1*6*#=6

9a1Aa4R

故④正确.

故答案为：①③④

16.(1)«=1

⑵(7.4)

【分析】(1)利用复数的除法运算以及爱数类型可求得结果；

(2)由乘法公式求出对应点坐标，再根据第二象限解不等式即可.

z.a+2i(t7+2i)(l-2i)a-2ai+2i—4i2a+42-2。

【详解】a：易知工=%=*点—=*+-

二，l+2i(1+21)(1-21)555

-2_'a

因为二1是实数，所以——=0,

二，s

解得a=1.

(2)易知ZB=(a+2i)(l+2i)=a+2/i+2i+4i2=a・4+(2〃+2)i,

所以复数ZK在复平面内对应的点为(a-4,2“+2),

a-4<0

该点在第二象限，所以"今，解得

2。+2>0

即a的取值范围为(-1,4)

17.(1)67=0.035

(2)82.1

(3)7

【分析】(1)根据频率分布直方图小矩形面积为【计算可得。；

(2)利用百分位数定义计算可得结果；

(3)求出红灯等待时间低于85秒的频率即可估计出所求次数.

答案第7页，共13页

【详解】(1)易知组距为10,依题意可得(0.01+0.025+0+0.02+0.01)x10=1,

解得。=0.035；

(2)易知［55,65)和［65,75)两区间的频率之和为(0.01+0.025)x10=0.35<0.6；

前三组［55,65),［65,75),［75,85)的频率之和为(0.01+0.025+0.035)x10=0.7>0.6；

因此第60百分位数位丁区间［75,85)内，

设第60百分位数为x,所以口2二咚”：

R5-7S

解得xb82.1

(3)由频率分布直方图可知红灯等待时间低于85秒的频率为(0.01+0.025+0.035)x10=0.7,

所以估计10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数为10x0.7=7次.

18.(1)-^-

(2)答案见解析

【分析】(I)利用余弦定理计算可得sin8=拽：

3

(2)若选择条件①，利用余弦定理解方程可知VABC不存在：

若选择条件②，利用正弦定理和余弦定理解方程可求得c=5,此时V43c存在同唯一；

若选择条件③，利用同角三角函数关系求出sin/二虫，再由正弦定理和余弦定理解方程可

3

求得c=5,此时VA8C存在且唯一.

【详解】(1：由/=/+彳«可得〃=/+C?一1℃：

21

由余弦定理可得层=+/・2^-COSB,即2cosB=-.因此cosB=Q；

又B£(0,7t),可祇inB=Jl-cos?B=1^2.

(2)若选择条件①：c=25：

由余弦定理"=〃+/-2改853可得24=/+28-2、；工2小：

整理可得/一半Q+4=O此时△=(孚)-4x4<0该方程无实数根，

即条件①使V人8C不存在：

若选择条件②；asinJ=V3：

答案第8页，共13页

由正弦定理工=―一可得迈=占痴=3J3,

winRsinA

3

联立〃sin4=JJ解得a=3,sin/1=：

2

由/二^一。2+§成可得9=24-c2+2c,即/-2cT5=0,

解得c=5或c=-3（舍），

此时条件②使V/18C存在且唯一，符合题意：

所以其面积为］QCsinB=Lx3x5x退=5戊

791

若选择条件③：cosA=—

易知sinA=V1-cos2A=—，

利用正弦定理一4二一工可得〃=3,

sinHsinA

、2

由。2=b?-c?+—或可得9=24-c2+2c»即c2-2cT5=0,

解得c=5或c=-3（舍），

此时条件③使VABC存在且唯一，符合题意；

所以其面枳为,acsinB=—x3x5x回5a.

77?

4

匹⑴又

（2）不公平，理由见解析：

（3）对乙有利:

【分析】（1）写出样本空间，利用古典概型公式计算即可；

（2）分别求出两人赢的概率，即可知游戏规则不公平；

（3）求出不放网时两人赢的概率，即可得出结论.

【详解】（1）根据题意可知摸出的所有球的组合情况共有以卜情况:

（甲、乙）12345

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)

答案第9页，共13页

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)

共25种情况,

其中编号和为5的事件发生的情况有（2,3）,G,2）,（1,4）,（4,1）,共4种;

4

因此编号和为5的事件发生的概率。二」-：

25

（2）易知两个编号的和为偶数的情况共有13种，

如果两个编号的和为偶数算甲赢，则甲赢的概率为%=4，

12

则乙赢的概率为?=一,

乙9S

显然两人赢的概率并不相等，因此这种游戏规则不公平.

（3）设甲胜为事件A,乙胜为事件B：

则甲胜即摸出球的两个编号的和为偶数所包含的基本事彳匕数为8个，

即（1,3）,（1,5）,（2,4）,（3,1）,（3,5）,（4,2）,（5,1）,（5,3）；

不放回摸球时易知甲、乙两人取出的数字共有25・5=20种

v7173

因此甲嬴的概率为P（力）=4=（乙赢的概率为尸（8）=玲=：

显然此时尸（人）＜尸①），比时游戏对乙有利.

20.（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）要证明线面平行，需要证明该直线与平面内一条直线平行即可，即证明石尸〃G4.

（2）要证明线面垂直，需要证明该直线与平面内的两条相交直线垂直即可，即证明

EFA_PC,EFA_PD.

【详解】（1）取PO的中点G,连接AGFG.

在中，PG=GD,PF=FC,所以//CD,GF=|cD.

因为/1B//QC,人8=DC,AE=EB,

所以GF//AE,GF=AE,所以四边形AEFG为平行四边形，

所以EF//GA,又GAL平面PAO,而E广不在平面PAQ内，

所以EF//平面PAD.

答案第10页，共13页

在AP.A。中，PA-AD,PG=GD,所以4G_LPD.

由（1）知EF//AG,所以EF_LPD.

因为PA_L平面4BCO,平面ABC。，所以PAJL48.

根据勾股定理得PE二Jp/+力E?.

而EC二JEB'Bd，P4=4D=BC,4E=EB

所以PE=EC,又PF=CF,所以Er_LPC.

又PCCPD=P,PC,PDu平面PCD,

所以EbJ,平面PC。.

21.⑴*

CF

（2）存在，汴二;I，理由见解析

（3）证明见解析

【分析】（1）证明平面AAC平面八BCD，故二面角A・AC・4的大小为二，△4AC为

9

等边三角形，上代入公式，求出COS上4AR的值；

（2）在（1）基础上，得到cos上£4。=拽1由同角三角函数关系和正弦定理得到

14

AE=41EC,再利用余弦定理得到方程，求出E